Matemática. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

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1 Modelação em Programação Matemática C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

2 Modelação de problemas simples Problema da compra de bilhetes Nas próximas 5 semanas vou, de avião, a Bruxelas. O voo de ida tem de ser às 2 a s feiras e o de regresso às 4 a s feiras. Um bilhete normal de ida e volta custa 400 euros, contudo o bilhete terá um desconto de 20% se incluir o fim de semana. Um bilhete simples (de ida ou volta) custa 75% do preço do bilhete normal. De que forma deveremos comprar os bilhetes para as próximas 5 semanas? C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

3 Modelação de problemas simples Identificar várias componentes Quais as decisões alternativas? Sob que restrições é efetuada a decisão? Qual é o critério apropriado capaz de avaliar as alternativas? C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

4 Modelação de problemas simples As alternativas são as seguintes Comprar 5 bilhetes normais de ida e volta. Comprar um bilhete para Bruxelas, 4 bilhetes de Bruxelas para Portugal que incluam o fim de semana e um bilhete de Bruxelas para Portugal. Comprar um bilhete de ida e volta com ida na segunda da 1 a semana e volta na quarta da última semana, e 4 bilhetes de Bruxelas para Portugal que incluam o fim de semana para as restantes viagens. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

5 Modelação de problemas simples Neste exemplo a restrição é só uma Devo ser capaz de ir na segunda-feira e voltar na quarta-feira da mesma semana. E um critério óbvio é o do preço dos bilhetes (que pretendo seja o menor possível). C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

6 Modelação de problemas simples A alternativa com o menor custo será a melhor? Temos custo da alternativa 1: = 2000 euros custo da alternativa 2: = 2200 euros custo da alternativa 3: 5 ( ) = 1600 euros A alternativa 3 é a melhor. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

7 Modelação de problemas simples Este exemplo mostra-nos as principais componentes de um modelo de investigação operacional. alternativas variáveis de decisão que são usadas para construir as restrições e o critério de decisão função objetivo através de funções adequadas C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

8 Modelação de problemas simples O resultado é um modelo matemático que relaciona as variáveis, as restrições e a função objetivo. A solução do modelo corresponde a valores para as variáveis que otimizam (minimizam ou maximizam) o valor da função objetivo e satisfazem todas as restrições. A solução resultante é referida como a solução admissível ótima. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

9 Modelação de problemas simples Um modelo matemático de IO típico é organizado da seguinte forma min / max sujeita a: (função objetivo) (restrições) C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

10 Modelação de problemas simples Problema das caixas de madeira Uma pequena marcenaria faz caixas de madeira de dois tamanhos diferentes. O tamanho pequeno requer 3 horas de trabalho no torno e o tamanho grande requer 2 horas. Existem 4 tornos com operadores especializados e cada um trabalha 40 horas por semana, pelo que temos 160 horas de trabalho no torno disponíveis por semana. A caixa de tamanho pequeno precisa de 1Kg de madeira e o tamanho grande precisa de 3Kg. Infelizmente o tipo de madeira usado para fabricar estas caixas especiais é muito escasso no mercado, pelo que é apenas possível obter 200Kg por semana. Quando vendidas, cada caixa de tamanho grande dá um lucro de 20 u.m. e cada caixa de tamanho pequeno, um lucro de 5 u.m.. O problema consiste em decidir quantas caixas de cada tamanho devem ser fabricadas por semana de modo a maximizar o lucro. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

11 Modelação de problemas simples Programa (linear) do problema das caixas max z = 5x x 2 (lucro) s. a: 1x 1 + 3x (madeira) 3x 1 + 2x (tempo no torno) x 1, x 2 0 C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

12 Modelação de problemas simples Resolução model CAIXAS uses mmxprs ;!access to the Xpress-Optimizer solver declarations x1, x2 : mpvar end-declarations Lucro:= 5*x1 + 20*x2 Madeira:= 1*x1 + 3*x2 <= 200 Torno:= 3*x1 + 2*x2 <= 160!Mosel assume que todas as variaveis sao nao negativas maximize(lucro) writeln( Solucao ) writeln( Lucro=,getobjval) writeln( Fabricar, getsol(x1), caixas pequenas ) writeln( Fabricar, getsol(x2), caixas grandes ) end-model C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

13 Modelação de problemas simples Solução Solução Lucro= Fabricar 0 caixas pequenas Fabricar caixas grandes C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

14 Modelação de problemas simples Resolução gráfica C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

15 Modelação de problemas simples Análise da solução o nível de cada recurso e a sua importância (preços sombra) bem como os custos reduzidos das variáveis de decisão C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

16 Modelação de problemas simples Mais um problema simples Um agricultor tem 80 hectares da sua propriedade disponíveis para plantar dois produtos, milho e couves. Para satisfazer a procura, tem de plantar pelo menos 10 hectares de milho e 20 hectares de couves. Ele prefere cultivar mais couves que milho, contudo os seus recursos (homens e equipamento) apenas lhe permitem cultivar, no máximo, três vezes a quantidade de couves em relação ao milho. O lucro obtido com a venda do milho é de 800 u.m. por hectar, e com a vendo das couves é de 500 u.m. por hectar. Que quantidades deve cultivar de cada cultura de modo a obter o maior lucro. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

17 Modelação de problemas simples E outro problema simples Um comerciante pretende obter um lucro não inferior a 140 euros com a venda de um produto que pode ser encomendado a duas fábricas A e B. A fábrica A garante um lucro de 20 euros/tonelada e pode produzir 1 tonelada em 4 meses, mas não pode produzir mais de 5 toneladas. A fábrica B garante um lucro de 17.5 euros/tonelada e pode produzir à razão de 1 tonelada em cada 3 meses, mas não mais de 6 toneladas. Como efetuar as encomendas de modo a obter a mercadoria no mínimo prazo possível? C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

18 Modelação de problemas simples Problema Financeiro Pretendo investir 200 u.m. nos próximos cinco meses de modo a maximizar a quantidade disponível no final do quinto mês. Em cada mês é possível decidir a quantidade de dinheiro a investir em determinado tipo de investimento. Ao fazê-lo, por cada u.m. investida, recebo no final do terceiro mês 4 u.m., contudo fico obrigada a pagar 1 u.m. no primeiro mês e 2 u.m. no segundo mês, por cada u.m. investida. Uma exigência é a de que no final de cada mês a quantidade de dinheiro disponível seja positiva. Formule o programa linear. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

19 Construção de alguns tipos de restrições Construção de alguns tipos de restrições Embora modelar seja uma arte, não significa que deveremos tratar cada novo problema como se começássemos do zero. Antes pelo contrário, devemos aprender com experiências anteriores que nos permitem também melhorar as nossas capacidades de modelação. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

20 Construção de alguns tipos de restrições Restrições de limites inferiores e superiores restrições de mercado impedem-me de vender mais de 100 unidades do produto C comprometi-me a enviar pelo menos 20 toneladas do produto A para o Porto tenho de enviar exatamente 30 toneladas do produto B para Lisboa a eletricidade flui em qualquer direção ao longo de uma linha C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

21 Construção de alguns tipos de restrições Restrições de satisfação da oferta/procura possuo um tanque com 1000 litros e três clientes C1, C2, C3 para abastecer costumo obter madeira de três fornecedores diferentes, F1, F2, F3, e no próximo mês preciso de pelo menos 5000Kg no total possuo dois fornecedores de combustível, FC1 e FC2. Pago aos fornecedores a quantidade que chega à fábrica, contudo perco, por fugas, 1% do combustível do fornecedor FC1 e 2% do fornecedor FC2. A fábrica precisa de litros de combustível por semana. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

22 Construção de alguns tipos de restrições Restrições nos recursos tenho apenas disponíveis conetores por mês. Cada Industry PC produzido necessita de 8 conetores e cada Home PC necessita de 5 conetores. Cada tonelada do químico Q1 usa 50gr de um catalisador raro e 1Kg de um certo químico especial. Por outro lado cada tonelada do químico Q2 requer 130gr do catalisador e 1,5Kg do químico especial. Apenas há disponibilidade económica para adquirir 10Kg do catalisador por mês e apenas é possível comprar 200Kg do químico especial por mês. Se realizar a atividade i gasto c i u.m. do meu rendimento disponível. O meu rendimento disponível para a próxima semana é de 150 u.m.. coeficientes tecnológicos C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

23 Construção de alguns tipos de restrições Restrições de recursos (cont.) tenho apenas disponíveis 50 horas para realizar duas atividades a e b (demorando 3 horas a atividade a e 5 horas a atividade b) e cujo lucro é de 100 u.m. e de 400 u.m., respetivamente: C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

24 Construção de alguns tipos de restrições Restrições de equiĺıbrio ou de conservação de fluxo o que sai deve, no total, ser igual ao que entra m in i = i=1 n out j j=1 transferência de produtos entre períodos diferentes, considerando uma série de períodos consecutivos. Em cada um desses períodos um determinado produto é produzido e vendido, e supõe-se que há ainda a possibilidade de o armazenar. Em cada um desses períodos uma determinada matéria prima é comprada, é usada e supomos que também pode ser armazenada. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

25 Construção de alguns tipos de restrições Restrições de satisfação da qualidade esta gasolina não pode conter mais de 0,02% de enxofre esta mistura desidratada de ameixa deve conter pelo menos 3% de proteínas este produto alimentar não pode conter menos de 5% de gordura e não mais de 10% C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

26 Construção de alguns tipos de restrições Restrições de mistura generalizadas ocorre, por exemplo, quando é possível operar de diferentes modos (diferentes proporções), mas apenas num modo de cada vez suponhamos que temos de satisfazer 5x + 2y 10 OU 3x 4y 24 C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

27 Construção de alguns tipos de restrições Restrições com variáveis SOS são usadas, de forma defensiva, em restrições que podem facilmente ser violadas podem ser usadas em restrições de disponibilidade de recursos para permitir a eventual aquisição de uma quantidade adicional de um recurso escasso; a restrição original pode ser violada, mas com um determinado custo penalizador na f.o. podem também ser usadas em restrições de procura, podemos penalizar o não cumprimento da quantidade mínima requerida por um determinado cliente se uma variável SOS tem valor não nulo na sol. otima: ou a penalização usada é muito baixa, ou estamos a ser obrigados a usar estas variáveis para atingir a admissibilidade C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

28 Construção de alguns tipos de restrições Modelação com variáveis binárias Modelam a decisão: seleciona / não seleciona seleção entre diferentes possibilidades implicações simples: se fazemos a temos de fazer b se fazemos a, então não fazemos b se não fazemos a, então fazemos b se fazemos a, então fazemos b e se fazemos b, então fazemos a implicações com três variáveis se fazemos a então temos de fazer b e c se fazemos a então temos de fazer b ou c se fazemos b ou c então temos de fazer a se fazemos b e c então temos de fazer a C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

29 Construção de alguns tipos de restrições Modelação com variáveis binárias (cont) Exemplo. Suponhamos que temos seis projetos onde podemos investir. Seja y i (i =..., 6) a variável binária com valor 1 se é efetuado investimento no projeto i, e consideremos as seguintes inter relações entre os projetos. O projeto 3 só é realizado se o projeto 2 for realizado. Temos de investir em pelo menos 1 dos três primeiros projetos. Apenas um dos projetos 2, 4, e 6, pode ser realizado. Exatamente dois dos últimos quatro projetos podem ser investidos (mas não interessa em quais). C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

30 Construção de alguns tipos de restrições Modelação com variáveis binárias (cont) Também podemos usar para definir custos fixos em caso de produção: Quantos objetos devemos produzir? x = numero de objetos produzidos o custo de produção de um objeto é de 7 u.m. além disso há um custo fixo de 500 u.m. se ele for produzido (se não for produzido não haverá qualquer custo) Como representar o custo? seja y a variável binária com valor 1 se é produzido algum objeto, e com valor zero se não é produzido Custo= 7x + 500y e teremos de ter x My, sendo M um número grande, e.g. M = 1000 C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

31 Problema de programação Problema de programação C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

32 Problema de programação Forma Geral de um Problema de Programação min (max) z = f (x) s. a: g i (x) b i, i I 1 (1) g i (x) b i, i I 2 (2) g i (x) = b i, i I 3 (3) onde x j 0, j J 1 (4) x j 0, j J 2 (5) x j 0, j J 3 (6) z é a função objectivo a ser optimizada (1), (2), (3), (4), (5) e (6) são as restrições (4), (5) e (6) são as restrições de sinal nas variáveis x = [x j ] são as variáveis de decisão C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

33 Problema de programação Solução admissível vector x que satisfaça todas as restrições do problema Região admissível conjunto de todas as soluções admissíveis Problema de Programação de entre todas as soluções admissíveis, encontrar uma que optimize (maximize ou minimize) o valor da função objectivo C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34

34 Problema de programação Problema de Programação Linear (P.L.) a função objectivo f e as restrições g são lineares Problema de Programação Linear Inteira (P.L.I.) a função objectivo f e as restrições g são lineares todas as variáveis x são inteiras Problema de Programação Não Linear (P.N.L.) a função objectivo f é não linear as restrições g podem ser lineares ou não lineares C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 34