Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear Lista de Exercícios: Estudo Analítico de Retas e Planos Prof. Lilian Caroline Xavier Candido 1. (a) Sejam B = ( 5,,3) e C = (4, 7, 6). Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica para a reta BC. Verifique se D = (3,1,4) pertence a essa reta. (b) Dados A = (1,, 3) e u = (3,, 1), escreva equações da reta que contém A e é paralela a u, nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.. Escreva equações paramétricas dos eixos coordenados. Essas equações podem ser colocadas na forma simétrica? 3. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas x = 1 + λ y = λ z = 4 + λ Verifique se os pontos P = (1, 3, 3) e Q = ( 3, 4, 1) pertencem à reta. 4. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1,4, 7) e é paralela à reta de equações paramétricas x = 00 λ y = 3 3λ z = 0 5. Sejam B = (1,1,0) e C = ( 1,0,1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (3,3,3) e é paralela a BC. 6. Escreva equações nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto A = (,0, 3) e é paralela à reta descrita pelas equações 1 x = 3y = z Sejam A = (1,, 3) e B = (, 3, 0). Escreva equações da reta AB nas formas vetorial, paramétrica e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam 19 de A. 8. Sejam A = (1,,5) e B = (0,1,0). Determine o ponto P da reta AB tal que. PB = 3 PA 9. SejamA = (1,1,1),B = (0,0,1) er : X = (1,0,0)+λ(1,1,1). Determine os pontos der equidistantes de A e B. 10. Sejam P = (,1, 1) e Q = (0, 1,0). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 9, nos casos: (a) A = (0,3,0),B = (6,3,3) (b) A = (,3,4),B = ( 6, 1,6) (c) A = ( 1,1,),B = ( 5, 3,4) (d) A = (1,,7),B = ( 5, 4, 5)

2 11. Escreva uma equação vetorial e equações paramétricas do plano π, utilizando as informações dadas em cada caso. (a) π contém A = (1,,0) e é paralelo aos vetores u = (1,1,0) e v = (,3, 1). (b) π contém A = (1,1,0) e B = (1, 1, 1) e é paralelo ao vetor v = (,1,0). (c) π contém A = (1,0,1) e B = (0,1, 1) e é paralelo ao segmento de extremidades C = (1,,1) e D = (0,1,0). (d) π contém os pontos A = (1,0,1), B = (,1, 1) e C = (1, 1,0). (e) π contém os pontos A = (1,0,), B = ( 1,1,3) e C = (3, 1,1). 1. Obtenha as equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1,1,) e é paralelo ao plano x = 1 + λ + µ y = λ + µ z = λ 13. Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados. 14. Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso. (a) π contém A = (1,1,0) e B = (1, 1, 1) e é paralelo a u = (,1,0). (b) π contém A = (1,0,1) e B = (0,1, 1) e é paralelo a CD, sendo C = (1,,1) e D = (0,1,0). (c) π contém A = (1,0,1), B = (,1, 1) e C = (1, 1,0). (d) π contém A = (1,0,), B = ( 1,1,3) e C = (3, 1,1). (e) π contém P = (1,0, 1) e r : x 1 = y 3 = z. (f) π contém P = (1, 1,1) e r : X = (0,,)+λ(1,1, 1). 15. Obtenha equações gerais dos planos coordenados. 16. Verifique se o vetor u é paralelo ao plano π : 4x 6y +z 3 = 0, nos casos: (a) u = ( 1,,3) (b) u = (0,1,6) (c) u = (3,,0) (d) u = ( 3,,4) 17. Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso: (a) π contém A = (1,1,1), B = (1,0,1) e C = (1,,3) (b) π : X = (1,,0)+λ(1, 1,1)+µ(0,1, ) (c) π : x y +4z +1 = Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano: (a) (b) x = 1 + λ µ y = λ + µ z = 3 µ x = 1 + λ y = z = 3 λ + µ (c) (d) x = + λ µ y = λ + µ z = λ + µ x = λ 3µ y = λ + µ z = 3λ µ

3 19. Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano. (a) 4x+y z+5 = 0 (b) 5x y 1 = 0 (c) z 3 = 0 (d) y z = 0 0. O plano π 1 contém A = (1,0,0), B = (0,1,0) e C = (0,0,1); o plano π contém Q = ( 1, 1,0) e é paralelo a u = (0,1, 1) e v = (1,0,1), e o planoπ 3 tem equaçãox = (1,1,1)+λ(,1,0)+µ(1,0,1). (a) Obtenha equações gerais dos três planos. (b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o. 1. Mostre que o ponto P = (4,1, 1) não pertence à reta r : X = (,4,1)+λ(1, 1,) e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P.. Obtenha os pontos de r : X = (1, 1, 1) + λ(, 0, 1) que pertencem ao plano π, nos casos: (a) π : x y z = 0 (b) π : x+3y z +1 = 0 (c) π : x y 4z +3 = 0 (d) π é o plano xoz 3. Obtenha os pontos de π 1 : X = (1,0,0)+λ(,1,1)+µ(0,0,1) que pertencem a π = x+y+z 1 = Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção. (a) r : X = (1,1,0)+λ(1,,3) s : X = (,3,3)+µ(3,,1) x = 1 + λ x = 1 + 4λ (b) r : y = λ s : y = 1 + λ z = 1 + 3λ z = + 6λ x = 4λ (c) r : y = 4 + 5λ s : x = y 1 = z z = 11 (d) r : x = y+ = z s : x = y = z Mostre que as retas r e s são concorrentes, determine o ponto comum e obtenha uma equação geral do plano determinado por elas. x = λ (a) r : y = λ s : x 1 = y 5 = +z z = 1 + 4λ x = λ (b) r : y = 4 + λ z = 3λ x = 1 + λ s : y = λ z = λ (c) r : x 3 = y 6 = z 1 s : x = y = z Obtenha a interseção da reta r com o plano π. (a) r : X = ( 1, 1,0)+λ(1, 1, 1) π : x+y +z +1 = 0 (b) r : X = ( 1, 1,1)+λ(1, 1,0) π : x+y +z +1 = 0 (c) r : x 3 = y = z+1 π : x+y z = 10 (d) r : X = ( 1, 1,0)+λ(1, 1,0) π : x+y +z +1 = 10 (e) r : x = λ y = λ z = 1 3λ π : x = 1 + α y = 3 + β z = 1 + α + β

4 7. Determine a interseção dos planos π 1 e π. Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equações paramétricas. (a) π 1 : x+y z 1 = 0 π : x+y z = 1 (b) π 1 : z 1 = 0 π : y x+ = 0 (c) π 1 : x y = 1 3z π : 6z y = x (d) π 1 : 3x 4y +z = 4 π : 15x+0y 10z = 9 8. Obtenha uma equação vetorial da interseção dos planos π 1 e π, se esta não for vazia. (a) π 1 : X = (1,,0)+λ(1,0, 1)+µ(0,0, 1) (b) π 1 : X = (1,0,0)+λ( 1,1,0)+µ(1,0,1) (c) π 1 : X = (4,4, )+λ(,, 1)+µ(0,1,4) (d) π 1 : X = (1,0,0)+λ(0,1,1)+µ(1,,1) π : X = (1,0,3)+λ(1,,0)+µ( 1,1, 1) π : X = (1, 1, )+λ(1,0,1)+µ(0,1,1) π : X = ( 4,,10)+λ(4,5,)+µ(6,8,5) π : X = (0,0,0)+λ(0,3,0)+µ(, 1, 1) 9. Estude a posição relativa das retas r e s. Se r e s forem paralelas ou concorrentes, obtenha uma equação geral do plano determinado por elas; se forem reversas, obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo a s. (a) r : x+1 = y = z+1 s : X = (0,0,0)+λ(1,,0) 3 (b) r : X = (8,1,9)+λ(, 1,3) s : X = (3, 4,4)+λ(1,,) (c) r : x 1 = y 5 = z s : x = y = z 1 4 (d) r : x+3 = y 4 = z s : X = (0,,)+λ(1,1, 1) 30. Sejam r : X = (1,0,)+λ(,1,3) e s : X = (0,1, 1)+λ(1,m,m). Estude, segundo os valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas. 31. Estude, segundo os valores de m e n, a posição relativa das retas r e s. Obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas. { x = z r : X = (1,m,0)+λ(1,,1) s : y = nz 1 3. Mostre que as retas r e s determinam um plano π e obtenha uma equação geral de π. (a) r : x 1 = y = z s : x 1 = y = z (b) r : x 1 = y 3 = z s : x = y = z Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P. (a) r : X = (1,1,0)+λ(0,1,1) π : x y z = (b) r : x 1 = y = z π : X = (3,0,1)+λ(1,0,1)+µ(,,0) (c) r : X = (0,0,0)+λ(1,4,1) π : X = (1, 1,1)+λ(0,1,)+µ(1, 1,0) (d) r : X = x+ 3 = y 1 = z+3 3 π : 3x 6y z = Calcule m para que r seja paralela a π. r : X = (1,1,1)+λ(,m,1) π : X = (0,0,0)+λ(1,,0)+µ(1,0,1)

5 35. Calcule m e n para que r esteja contida em π. (a) r : X = (n,,0)+λ(,m,1) π : x 3y +z = 1 (b) r : X = (m,3,n)+λ(1,1,n) π : nx ny +mz = Para que valores de m a reta r : x 1 m = y = z m é transversal ao plano π : x+my +z = 0? 37. Sejam r : X = (n,,0)+λ(,m,n) e π : nx 3y+z = 1. Usando, em cada caso, a informação dada, obtenha condições sobre m e n. (a) r e π são paralelos; (b) r e π são transversais; (c) r está contida em π. 38. Estude a posição relativa dos planos π 1 e π. (a) π 1 : X = (1,1,1)+λ(0,1,1)+µ( 1,,1) (b) π 1 : X = (4,,4)+λ(1,1,)+µ(3,3,1) (c) π 1 : x y +z 1 = 0 π : 4x y +4z = 0 (d) π 1 : x y +z = 0 π : X = (1,0,0)+λ(1, 1,0)+µ( 1, 1, ) π : X = (3,0,0)+λ(1,1,0)+µ(0,1,4) π : X = (0,0,1)+λ(1,0,3)+µ( 1,1,1) 39. Calcule m para que os planos π 1 : X = (1,1,0)+λ(m,1,1)+µ(1,1,m) e π : x+3y +z +n = 0 sejam paralelos distintos, nos casos: (a) n = 5 (b) n = Mostre que os planos x = λ + µ π 1 : y = mλ z = λ + µ x = 1 + mλ + µ π : y = + λ z = 3 + mµ são transversais, qualquer que seja o número real m. 41. Estude a posição relativa dos planosπ 1 : x+y+3z+1 = 0eπ : X = (1,1,1)+λ(1,1,0)+µ(, 1,m). 4. Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. (a) r : X = (1,,3)+λ(1,,1) (b) r : x+3 = y = z 3 s : x 4 = 4 y 1 = z s : X = (,4,4)+λ( 1,1, 1) (c) r : x 1 = y 3 = z s : X = (1,3,0)+λ(0, 7,5) 5 7 (d) r : X = (0,1,0)+λ(3,1,4) s : X = ( 1,1,0)+λ(1,0,1) (e) r : X = (, 5,1)+λ(3,, 1) s : x 4 = y = z Sejam r : X = (1,1,1)+λ(1,1,1) e s : X = (1,,0)+λ(,3,m). Verifique se existe algum valor de m tal que r e s sejam ortogonais ou perpendiculares. 44. Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém P e é perpendicular a r, nos casos: (a) P = (,6,1), r : X = ( 3,0,0)+λ(1,1,3). (b) P = (1,0,1), r contém A = (0,0, 1) e B = (1,0,0).

6 45. Verifique se r e π são perpendiculares: (a) r : X = (0,0,4)+λ(1, 1,1) π : X = (1,,3)+λ(1,,1)+µ(1,0,1) (b) r : X = (3,1,4)+λ( 1,0,1) π : X = (1,1,1)+λ(0,,0)+µ(1,1,1) (c) r : X = (1,1,0)+λ(3, 3,1) π : 6x 6y +z 1 = Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π. (a) P = (1,3,7), π : x y +z = 6 (b) P = (1, 1,0), π : X = (1, 1,1)+λ(1,0,1)+µ(1,1,1) (c) P = (1,,3), π : x+y z = (d) P = (0,0,0), π : X = (1,0,0)+λ( 1,1,1)+µ( 1,1,0) 47. Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r. (a) P = (0,1, 1) (b) P = (0,0,0) r : X = (0,0,0)+λ(1, 1,1) r contém A = (1, 1,1) e B = ( 1,1, 1) 48. Sejam r : X = (1,0,0)+λ(1,1,0) e s : X = (0,0,1)+λ(0,1,1). (a) Mostre que essas retas são concorrentes. (b) Obtenha equações na forma simétrica da reta perpendicular comum a r e s. 49. Verifique se π 1 e π são perpendiculares: (a) π 1 : X = (1, 3,4)+λ(1,0,3)+µ(0,1,3) (b) π 1 : X = (1,1,1)+λ( 1,0, 1)+µ(4,1,1) (c) π 1 : X = (4,3,1)+λ(1,0,1)+µ(3,1,0) π : y 3z = 0 (d) π 1 : x+y z = 0 π : 4x y +z = 0 π : X = (0,0,0)+λ(1,1,6)+µ(1, 1,0) π : X = (3,1,1)+λ(1, 3, 1)+µ(3,1,0) 50. Estude a posição relativa dos planosπ 1 : x+y+3z+1 = 0 eπ : X = (1,1,1)+λ(1,1,0)+µ(, 1,m) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π sejam perpendiculares. 51. Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = (1,0,)+λ(4,1,0) e é perpendicular a π : 3x+y = Obtenha uma equação geral do plano que contém π 1 π e é perpendicular a π 3, sendo π 1 : x y +z +1 = 0 π : x+y z 1 = 0 π 3 : x+y +z = Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem, é paralelo a r : x = 1 y perpendicular a π : X = (1,,3)+λ(0,4, 3)+µ(1, 1, ). = 1 z e O ângulo  do triângulo isósceles ABC mede 10. Sabendo que A = (1,1,1) e que BC está contido na reta r : X = (,1,0)+λ(1, 1,0), determine B e C e calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A. 55. O triângulo ABC é retângulo em B e está contido no plano π 1 : x+y +z = 1. O cateto BC está contido no plano π : x y z = 0 e o ângulo Ĉ mede 30. Dado A = (0,1,0), determine B e C e calcule o comprimento da altura relativa à hipotenusa.

7 56. Obtenha a media angular em radianos entre a reta r e o plano π. (a) r : x = y = z π : z = 0 (b) r : X = (0,0,1)+λ( 1,1,0) π : 3x+4y = 0 (c) r : X = (1,0,0)+λ(1,1, ) π : x+y z 1 = Calcule a medida angular entre os planos π 1 e π. (a) π 1 : x+y z 1 = 0 π : x y +3z 10 = 0 (b) π 1 : X = (1,0,0)+λ(1,0,1)+µ( 1,0,0) π : x+y +z = 0 (c) π 1 : X = (0,0,0)+λ(1,0,0)+µ(1,1,1) π : X = (1,0,0)+λ( 1,,0)+µ(0,1,0) 58. Calcule a distância entre os pontos P e Q, nos casos: (a) P = (0, 1,0), Q = ( 1,1,0) (b) P = ( 1, 3,4), Q = (1,, 8) 59. Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B. (a) r : x 1 = y = z A(1,1,0) B(0,1,1) (b) r : X = (0,0,4)+λ(4,, 3) A(,,5) B(0,0,1) (c) r : X = (,3, 3)+λ(1,1,1) A(1,1,0) B(,,4) 60. Calcule a distância do ponto P à reta r. (a) P = (0, 1,0), r : x = y 3 = z 1 (b) P = (1,0,1), r : x = y = 3z (c) P = (1, 1,4), r : x = y = 1 z 4 3 (d) P = (,0,1), r : X = (1,,0)+λ(3,,1) 61. Obtenha os pontos da interseção dos planos π 1 : x+y = e π : x = y +z que distam s : x = y = z Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t: r : x = y = z s : X = (1,0,0)+λ(1,1,0) t : X = (0,0,1)+λ(1,0, 1) 63. Calcule a distância do ponto P ao plano π. (a) P = (0,0, 6) π : x y z 6 = 0 (b) P = ( ) 1,1, 15 π : 4x 6y +1z +1 = 0 6 (c) P = (9,, ) π : X = (0, 5,0)+λ ( 0, 5,1) +µ(1,0,0) 1 (d) P = (1,1,1) π : x y +z 3 = Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π 1 e π. (a) r : X = (0,1,1)+λ(1,1,) π 1 : x+y z 3 = 0 π : x y +z = 1 (b) r : x 1 = y = z π 1 : x 3y 4z 3 = 0 π : 4x 3y z +3 = Calcule a distância entre as retas r e s. (a) r : x+4 = y = z s : X = (1, 5,)+λ(6, 4, 1) (b) r : x 1 = y = z s : X = (0,0,)+λ(, 1,1) (c) r : x = y 3 = z s : x 3 = y+1 = z 14 3 da reta

8 66. Calcule a distância entre a reta r e o plano π. (a) r : X = (1,9,4)+λ(3,3,3) (b) r : x = y 1 = z +3 π : x+y 3z 10 = 0 (c) r é o eixo das abcissas; π : y +z = π : X = (5,7,9)+λ(1,0,0)+µ(0,1,0) 67. Dados os planos π 1 : x+y +z 1 = 0, π : 3x+y z = 0 e π 3 : x+y +z = 0, seja π o plano que contém π 1 π e é perpendicular a π 3. Calcule a distância de π a r : X = (1,,3)+λ(1,1,1). 68. Calcule a distância entre os planos π 1 e π. (a) π 1 : x y +z +9 = 0 π : 4x y +4z 1 = 0 (b) π 1 : x+y +z = 0 π : x+y +z + = 0 (c) π 1 : x+y +z = 5 π : X = (,1,)+λ( 1,0,3)+µ(1,1,0) (d) π 1 : x+y +z = 0 π : x+y +z + = 0 (e) π 1 : x+y +z = 5 π : X = (,0,0)+λ( 1,0,1)+µ( 1,1,0) 69. O plano π : x+y z = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular a área do triângulo ABC. 70. Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x+y 4z 1 = 0 e pelos planos coordenados.

9 Respostas 1. (a) Forma vetorial: X = (4, 7, 6)+λ(1, 1, 1) x = 4 λ Forma paramétrica: y = 7 + λ z = 6 + λ Forma simétrica: x 4 = y+7 = z D não pertence à reta (b) Forma vetorial: X = (1,,3)+λ(3,,1) x = 1 + 3λ Forma paramétrica: y = + λ z = 3 + λ Forma simétrica: x 1 = y = z Vetores diretores unitários: ± (3,,1) 14 x = λ x = 0. Ox : y = 0 Oy : y = z = 0 z = 0 λ x = 0 Oz : y = 0 z = λ 3. Vetores diretores: (1,1,) e ( 1, 1, ). P não. Q não. x = 1 λ 4. y = 4 3λ z = 7 x = 3 + λ 5. y = 3 + λ z = 3 λ x = 15λ 6. Forma paramétrica: y = 4λ Forma simétrica: x = y = z z = λ 7. Forma vetorial: X = (1,,3)+λ( 3,1, 3) x = 1 3λ Forma paramétrica: y = + λ z = 3 3λ Forma simétrica: x 1 z 3 = y = 3 3 Os pontos são (7, 0, 9) e ( 5, 4, 3) 8. ( 3, 7, ) ( ou 3, 5, ) (1,0,0) 10. (a) (,1, 1) ou (, ) , 11 9 (b) Não existe C (c) Qualquer ponto da reta PQ é solução. (d) Não existe C

10 11. (a) Forma vetorial: X = (1,,0)+λ(1,1,0)+µ(,3, 1) x = 1 + λ + µ Forma paramétrica: y = + λ + µ z = µ 1. (b) Forma vetorial: X = (1,1,0)+λ(0,,1)+µ(,1,0) x = 1 + µ Forma paramétrica: y = 1 + λ + µ z = λ (c) Forma vetorial: X = (1,0,1)+λ(1, 1,)+µ(1,1,1) x = 1 + λ + µ Forma paramétrica: y = λ + µ z = 1 + λ + µ (d) Forma vetorial: X = (1, 1,0)+λ( 1,,1)+µ(0,1,1) x = 1 λ Forma paramétrica: y = 1 λ + µ z = λ + µ (e) π não está determinado x = 1 + λ + µ y = 1 + λ + µ z = λ x = λ 13. Oxy : y = µ z = 0 x = λ Oxz : y = 0 z = µ x = 0 Oyz : y = λ z = µ 14. (a) x y +4z +1 = 0 (b) 3x y z 1 = 0 (c) 3x y +z 4 = 0 (d) o plano não está determinado (e) 3x y 3 = 0 (f) x+z = Oxy : z = 0 Oxz : y = 0 Oyz : x = (a) Não (b) Sim (c) Sim (d) Sim 17. (a) (1,0,0) (b) (1,,4) (c) (1,,1) 18. (a) x y 3z+7 = 0 (b) y = 0 (c) y z = 0 (d) 7x+8y 5z = 0 x = λ x = λ 19. (a) (b) y = µ z = 5 + 4λ + µ x = λ y = 1 + 5λ z = µ (c) (d) y = µ z = 3 x = λ y = + λ z = µ 0. (a) π 1 : x+y +z 1 = 0; π : x y z = 0; π 3 : x+y z = 0 (b) ( 1, ) 3, x+6y z 39 = 0

11 . (a) (3,1,) (b) Não existem (c) Todos os pontos de r (d) Não existem 3. São os pontos da reta r : X = (1,0,0)+λ(,1, 3) 4. (a) Concorrentes em (, 3, 3) (b) Não são concorrentes. 5. (a) (,,7) 17x+7y +6z 6 = 0 (b) (,6, 6) 4x+y +3z +4 = 0 (c) Concorrentes em (, 1, 11) (d) Não são concorrentes (c) (1,4,0) 4x 7y +6z +4 = 0 6. (a) {(,0,1)} 7. (a) (b) É a reta r (b) x = λ y = λ z = 1 + 3λ x = λ y = + λ z = 1 (c) {(5,4,3)} (c) A interseção é o plano π 1 (igual a π ) (d) É o conjunto vazio (d) A interseção é vazia (planos paralelos, distintos) (e) {( 3, 1 3,)} 8. (a) X = (3, 1,5)+λ(3,0,) (b) A interseção é vazia 9. (a) Reversas. 4x y z +3 = 0 (b) Concorrentes. 4x y 3z 4 = 0 (c) A interseção é o próprio plano π 1 (igual a π ) (d) X = (4,5,3)+λ(,3,1) (c) Concorrentes. 17x 7y 6z +6 = 0 (d) Reversas. 5x 4y +z + = Se m = 3 as retas são concorrentes e determinam o plano de equação x y z = 0. Se m 3 as retas são reversas. 31. Se n = as retas são paralelas distintas para todo m e determinam o plano π : (m+1)x 3y+(5 m)z +m 1 = 0 3. (a) x y 1 = 0; r e s são concorrentes em P = (1,0,0) (b) 8x 4y z +4 = 0; r e s são paralelas distintas 33. (a) r e π são transversais; P(1, 0, 1) 34. (b) r é paralela a π (c) r é transversal a π; P ( 1 9, 4 9, 1 9 (d) r é paralela a π ) 35. (a) m = 1, n = 7 (b) m = 0, n = Para qualquer valor não-nulo 37. (a) m = n ± 7 (b) m n (c) m = n = ± 7

12 38. (a) iguais (b) transversais (c) paralelos distintos (d) transversais 39. a) Não existe m; b) Os planos são transversais, qualquer que seja m. 4. (a) Perpendiculares (b) Perpendiculares (c) Perpendiculares (d) Não são ortogonais (e) Não são ortogonais 43. As retas são ortogonais se m = 5. Não existe m tal que sejam perpendiculares. 44. (a) s : X = (,6,1)+λ( 41, 5,31) (b) s : X = (1,0,1)+λ(1,0, 1) 45. (a) Não (b) Sim (c) Sim 46. (a) X = (1,3,7)+λ(, 1,1) (b) X = (1, 1,0)+λ( 1,0,1) (c) X = (1,,3)+λ(,1, 1) (d) X = (0,0,0)+λ(1,1,0) 47. (a) x y +z + = 0 (b) x y +z = (a) (b) x = y+1 = z. Esta reta contém o ponto comum a r e s e é perpendicular ao plano determinado 1 por elas. 49. (a) Não (b) Sim (c) Sim (d) Sim 50. Os planos são transversais, qualquer que seja m. Os planos são perpendiculares se, e somente se, m = x 4y +z 3 = 0 5. x+y z 1 = x+51y 41z = (3,0,0) e (0,3,0); B = (, ( 3 3 3), 1 ; C = 3, 1, ( 3 3) ou C =, 5 3 3, 4 3 ) (a) arcsen( 3 ( 57. (a) arccos 66 ) ). A altura mede. (b) arcsen (c) arcsen 10 3 (b) arccos 1 3 (c) π (a) 5 (b) (a) Não existem tais pontos (b) Qualquer ponto de r é solução 60. (a) 5 (b) 34 7 (c) 61. (,0,) e (0,, ) (c) (5,6,0) (d) 3 9 7

13 6. (a) (b) 7 (c) (d) (0,0,0) e (1,1,1) 64. (a) (, 7, ) ( e, ) 1 3 3, (a) 13 (b) 41 1 (b) (3,1,) e ( 1, 1, ) (c) (a) 0 (b) 0 (c) (a) 13 (b) 3 (c) 0 (d) 0 (e)