DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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1 ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências DISTRIBUIÇÃO NORMAL Definição: DISTRIBUIÇÃO NORMAL Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição Normal com média μ e variância σ 2 (denota-se X ~ N(μ; σ 2 )) se sua função densidade de probabilidade f for escrita como f(x)= 1 exp 1 ( x µ ) 2, < x <. 2πσ 2 2σ 2

2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PROPRIEDADES DA NORMAL f(x) A média é um parâmetro de localização e a variância é um parâmetro de escala; f(x) N( 1, 1) N(0, 1) N(1, 1) x µ x 5 PROPRIEDADES DA NORMAL PROPRIEDADES DA NORMAL A média é um parâmetro de localização e a variância é um parâmetro de escala; f(x) N(0, 1) N(0, 2) N(0, 3) Pode-se obter uma normal padrão (média zero e variância um) a partir de qualquer variável aleatória X, que seja normal com média μ e variância σ 2, utilizando a transformação Z = X µ σ Note que o denominador corresponde ao desvio padrão, e não à variância σ = σ x 6

3 PROPRIEDADES DA NORMAL EXEMPLOS Diferentes probabilidades referentes a X podem ser obtidas de tabelas normais padrão simplesmente padronizando ( ) = P X µ P X x σ x µ = P Z x µ σ µ A normal padrão é simétrica em torno de zero, facilitando vários cálculos. Por exemplo, ( ) = P ( Z < z ) P Z > z Sejam X~N(0;1), Y~N(-2;4), V~N(6;9) e W~N(3;0,25). Calcule: a) b) c) d) P( X 1,96 ) P( Y > 0) P( 4,5 V 6,5) P( W 3,5) PROPRIEDADES DA NORMAL EXEMPLOS Através da tabela, pode-se também obter pontos z p tais que P( Z > z p ) = p p Sejam X~N(0;1), Y~N(-2;4), V~N(6;9) e W~N(3;0,25). Calcule x, y, v, e w que garantem as respectivas probabilidades: a) P x X x b) c) ( ) = 0,95 P( Y > y) = 0,025 P( V v) = 0,975 0 z p 10 d) P( W w) = 0,95

4 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA Em muitos experimentos, mais de uma variável aleatória é observada; DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS Exemplos: O diâmetro (X) e a espessura (Y) de um disco moldado por injeção; A espessura de um substrato (X), de uma camada ativa (Y) e de uma camada de revestimento (Z) de um produto químico; DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA Suponha que estejamos interessados em analisar probabilidades conjuntas relacionadas às variáveis aleatórias X e Y. Por exemplo, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [a,b] e Y pertencer ao intervalo [c,d]: P(a X b,c Y d) Assim como no caso univariado, esse tipo de probabilidade será calculada de acordo com o tipo de variável aleatória; Caso contínuo: b d P(a X b,c Y d)= f(x,y)dxdy, em que f (x, y) corresponde à função densidade de probabilidade conjunta de X e Y; Caso discreto: b d P(a X b,c Y d)= f(x,y), em que f(x,y)= P(X = x,y = y). a c x=a y=c

5 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA No caso do exemplo anterior, poderíamos imaginar que a distribuição conjunta entre Diâmetro e Espessura seria como na figura ao lado. f(x,y) Espessura Diâmetro DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS É possível simplificar os cálculos relacionados a probabilidades conjuntas, dependendo das suposições do modelo de probabilidade; Uma suposição bem frequente em várias situações corresponde ao caso de independência de variáveis aleatórias; De uma forma mais geral, podemos considerar não apenas duas variáveis (por exemplo, X e Y), mas X 1,X 2,,X n. Definição: As variáveis aleatórias X 1, X 2,..., X n são independentes se, para quaisquer conjuntos E 1, E 2,..., E n, tivermos P(X 1 E 1,X 2 E 2, X n E n )= P(X 1 E 1 )P(X 2 E 2 ) P(X n E n ).

6 Exemplo 1: O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de um eixo selecionado ao acaso obedecer às especificações? Denotemos por X o diâmetro do eixo. Portanto, temos que X ~ N(0,2508;0, ). Logo, 0,2485 0,2508 0,2515 0,2508 P(0,2485 < X < 0,2515)= P < Z < 0,0005 0,0005 = P( 4,6 < Z <1,4) = P(Z <1,4) P(Z < 4,6) = 0,9192 0,0000 = 0,9192 Exemplo 1 (continuação): O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de que todos os diâmetros dos 10 eixos obedeçam às especificações? Suponha que os diâmetros sejam independentes. Denotemos por X i o diâmetro do i-ésimo eixo, i =1,2,,10. Portanto, temos que X i ~ N(0,2508;0, ). Sob a suposição de que os diâmetros são independentes, a probabilidade de todos os eixos obedecerem às especificações será P(0,2485 < X 1 < 0,2515,0,2485 < X 2 < 0,2515,,0,2485 < X 10 < 0,2515) = P(0,2485 < X 1 < 0,2515)P(0,2485 < X 2 < 0,2515) P(0,2485 < X 10 < 0,2515) = 0,9192 0,9192 0,9192 = 0, ,4306

7 Exemplo 2: Suponha que X 1, X 2 e X 3 representem a espessura em micrômetros de um substrato, de uma camada ativa e de uma camada de revestimento de um produto químico, respectivamente. Supondo independência e que X i ~ N(µ i ;σ 2 i ),i =1,2,3, em que µ 1 =10.000,µ 2 =1.000,µ 3 = 80,σ 1 = 250,σ 2 = 20,σ 3 = 4. As especificações para a espessura do substrato, a camada ativa e a camada de revestimento são, respectivamente, ±800, 1.000±50 e 80±5. Qual a proporção de produtos químicos que atende a todas as especificações? Qual tem a menor probabilidade de atender às especificações? Usando a notação da definição de independência, temos que E 1 =(9200;10800),E 2 =(950;1050) e E 3 =(75;85). Como as variáveis aleatórias são independentes, P(9200 < X 1 <10800,950 < X 2 <1050,75 < X 3 < 85) = P(X 1 E 1,X 2 E 2,X 3 E 3 ) = P(X 1 E 1 )P(X 2 E 2 )P(X 3 E 3 ) = P(9200 < X 1 <10800)P(950 < X 2 <1050)P(75 < X 3 < 85). Após a padronização, temos que Resolução (continuação): P(9200 < X 1 <10800,950 < X 2 <1050,75 < X 3 < 85) = P( 3,2 < Z < 3,2)P( 2,5 < Z < 2,5)P( 1,25 < Z <1,25) = 0,9986 0,9876 0,7888 = 0,7779. Lembrando que Z ~ N(0,1). Além disso, a espessura da camada de revestimento apresenta a menor probabilidade de atender às especificações, sendo esta 0,7888. Exemplo 3: Considere um sistema com dois componentes em série. Esse sistema opera somente se ambos os componentes estiverem funcionando. As probabilidades do primeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os componentes operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema?

8 Denotemos por C i o evento em que o componente i está funcionando, i=1, 2. Para o sistema operar, ambos os componentes devem estar funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será P(C 1 C 2 )= P(C 1 C 2 )= P(C 1 )P(C 2 )= 0,9 0,95 = 0,855. Exemplo 4: E se os componentes estivessem em paralelo? Em outras palavras, o sistema estará operacional se pelo menos um dos componentes estiverem funcionando. A probabilidades do primeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema? Denotemos por C i o evento em que o componente i está funcionando, i = 1, 2. Para o sistema operar, pelo menos um dos componentes deve estar funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será P(C 1 C 2 )= P(C 1 )+ P(C 2 ) P(C 1 C 2 ) = P(C 1 )+ P(C 2 ) P(C 1 )P(C 2 ) = 0,9 + 0,95 0,9 0,95 = 0,995. Resolução 2: Denotemos agora C i como sendo o evento em que o componente i falha, i = 1, 2. Nesse caso, também podemos calcular a probabilidade do sistema funcionar fazendo P(C 1 C 2 )=1 P(C 1 ' C 2 ' )=1 P(C 1 ' )P(C 2 ' ) =1 0,1 0,05 = 0,995. Observe que, nesse exemplo, o sistema falha apenas se todos os componentes falharem.

9 Definição: Confiabilidade é o nome que se dá a probabilidade de um componente não falhar ao longo do tempo de sua missão; Suponha que r i denote a confiabilidade de um componente i em um sistema que consiste em k componentes, e que r denote a probabilidade do sistema não falhar ao longo do tempo da missão; r pode ser chamado de confiabilidade do sistema; A confiabilidade de um sistema em série corresponde a r = r 1 r 2!r k ; A confiabilidade de um sistema em paralelo corresponde a Exemplo 5: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione independentemente dos demais. Qual a probabilidade do sistema operar? r =1 (1 r 1 ) (1 r 2 )! (1 r k ).

10 Exemplo 5: C 1 0,92 C 2 C 3 0,95 C 4 0,99 Denotemos por B o evento em que o subsistema de componentes em paralelo C 2 e C 3 esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C 1, B e C 4 estejam funcionando em série. C 1 0,92 C 2 C 4 0,99 C 3 0,95 Bloco B A probabilidade do subsistema B estar operacional é P(B)= P(C 2 C 3 )=1 (1 P(C 2 )) (1 P(C 3 )) =1 0,1 0,05 = 0,995. Portanto, como cada componente funciona de forma independente dos demais, a probabilidade do sistema funcionar será Exemplo 6: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione independentemente dos demais. Qual a probabilidade do sistema operar? P(C 1 B C 4 )= P(C 1 ) P(B) P(C 4 ) = 0,92 0,995 0,99 = 6246.

11 Exemplo 6: C 2 C 5 Denotemos por B i o evento em que o subsistema de componentes em paralelo do Bloco i esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C 1, B 1, B 2, C 7 e C 8 estejam funcionando em série. C 1 0,92 C 3 0,80 C 4 C 6 0,95 C 7 0,99 C 8 0,98 C 1 0,92 C 2 C 3 0,80 C 4 C 5 C 6 0,95 C 7 0,99 C 8 0,98 Bloco 1 Bloco 2 Pode ocorrer de se querer saber a respeito do tempo de vida de um sistema; Considere um sistema com k componentes, e que o tempo de vida do componente i seja denotado pela variável aleatória X i, i = 1, 2,..., k. Suponha independência entre as variáveis; O tempo de vida T de um sistema dependerá da forma como seus componentes estão dispostos; No caso em que o sistema for em série, a distribuição do tempo de vida do sistema será o mínimo dos tempos dos componentes: P(T t)=1 P(T > t) =1 P(X 1 > t,!,x k > t) =1 P(X 1 > t)! P(X k > t); No caso em que o sistema for em paralelo, a distribuição do tempo de vida do sistema será o máximo dos tempos dos componentes P(T t)= P(X 1 t,!,x k t) = P(X 1 t)! P(X k t);

12 Exemplo 7: Considere um sistema com três componentes operando em série. Suponha que o tempo de vida (em dias) de cada componente seja exponencialmente distribuído com a mesma taxa de falha λ= 0,01. Assuma também q u e o s c o m p o n e n t e s f u n c i o n a m o u f a l h a m independentemente. a) Qual o tempo médio de vida de cada componente? b) Qual o tempo médio de vida do sistema? c) Qual a probabilidade do tempo de vida do sistema ser superior a 400 dias? d) Responda os itens acima supondo que o sistema funcione em paralelo. COMBINAÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S O estudo relacionado ao tempo de vida de sistemas (em série e/ou paralelo) é apenas um exemplo de transformações de variáveis aleatórias (independentes); Um outro tipo de transformação de variáveis aleatórias muito comum, e que será abordado com frequência, corresponde à combinação linear de variáveis aleatórias; A suposição de independência também será comum aqui; Definição: Sejam X 1, X 2,..., X n variáveis aleatórias com média E(X i )= µ i e variância V(X i )= σ 2 i, i =1,,n. Dizemos que, para c 1, c 2,..., c n constantes, Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 +!+ c n X n corresponde a uma combinação linear de variáveis aleatórias.

13 COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S A média de Y será E(Y)= c 1 µ 1 + c 2 µ 2 +!+ c n µ n ; Se X 1, X 2,..., X n forem independentes, a variância de Y será V(Y)= c 12 σ 2 + c 2 σ 2 +!+ c 2 σ 2 ; n n Se X 1, X 2,..., X n forem normais e independentes, então Y também terá distribuição normal; Exemplo 8: Considere o estudo de uma peça fabricada em que as variáveis aleatórias X 1 e X 2 representam, respectivamente, o comprimento e a largura da p e ç a. S u p o n h a q u e a s v a r i á v e i s s e j a m independentes e normalmente distribuídas com E(X 1 )=2cm e V(X 1 ) =0,01cm 2, E(X 2 )=5cm e V(X 2 )=0,03cm 2. Denote por Y o perímetro da peça. a) Qual a distribuição do perímetro? b) Qual a probabilidade do perímetro ser superior a 15 cm? COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A. S Exemplo 9: Uma montagem em cadeia consiste em quatro componentes em sequência. Sabe-se que os comprimentos (em polegadas) X i dos componentes são X 1 ~ N(2,0; 0,0004), X 2 ~ N(4,5; 0,0009), X 3 ~ N(3,0; 0,0004) e X 4 ~ N(2,5; 0,0001). Suponha que os comprimentos dos componentes sejam independentes. As especificações do planejamento sobre o comprimento do sistema montado são 12,00 ± 0,10. Determine a fração de montagens conformes (montagens que se enquadram nesses limites de especificação). REFERÊNCIAS

14 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Montgomery, D. C. (LTC) Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros Pinheiro, J. I. D et al. (Campus) Probabilidade e Estatística: Quantificando a Incerteza