Sequência divergente: toda sequência que não é convergente.

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1 1.27. Sequências convergentes Noção de sequência convergente: uma sequência é dita convergente quando os termos dessa sequência, conforme o aumento do n, se aproximam de um número constante. Esse número constante, se existir, podemos chamar de limite da sequência Sequência divergente: toda sequência que não é convergente. Observação: Na linguagem matemática usa-se: x y para ler-se "x tende a y". Se uma sequência é convergente, e seu limite é L, então escrevemos: Se n, então a n = L. Exemplos: (a n) =,,,,. Termo geral: a n = (b n) = (1, 3, 5, 7, 9,...). Termo geral: b n =. 3.(c n) = 3 4 6, 5 9, 6 12,,. Termo geral: c n =. 7 Observação: Não podemos fazer contas com o infinito, pois o infinito não é um número, é uma ideia que só a mente humana pode conceber. Para determinar a convergência de uma sequência se houver, precisamos imaginar o infinito e o que acontecerá com ele em dadas circunstâncias. No contexto que estamos, interessa apenas perceber se a sequência é convergente e para que número (d n) = 2,,,,. Termo geral: e n = Sequências

2 5. (e n) = (1, 1, 2, 3, 5, 8,...). Sequência de Fibonacci. 6. (f n) = (486, 162, 54, 18,...). Termo geral: f n =. 7. (g n) = (1, 2, 4, 8, 16, 32,...). Termo geral: d n = (h n) = 2,,,,,.... Termo geral: h n = Sequências convergentes podem ser crescentes ou decrescentes, possuir os termos alternados, positivos ou negativos. Não temos indício que nos garanta a convergência ou divergência de uma sequência, a não ser analisando o seu termo geral e deduzindo o que acontecerá quando n. Essa análise não é tão simples e exigiria uma nova definição o que ocorrerá somente na graduação Soma de infinitos termos de uma sequência. Será, que pelo fato de uma soma ter infinitas parcelas, o resultado será também infinito? Paradoxo de Zanon. É impossível cobrir qualquer distância dada do seguinte modo: se primeiro a metade da distância deve ser percorrida, depois metade do que falta e assim por diante, então sempre faltará um pedaço a ser percorrido. É considerado um paradoxo, pois vai de encontro ao senso comum. Encontramos argumentos contra e a favor de Zanon. Escreva alguns: A C D E F H B 28 Sequências

3 = 1 Por esse exemplo, podemos notar que a soma infinita dos termos de uma PG às vezes pode ser determinada. Basta definir quando e como Dízimas periódicas. Se você ainda não se convenceu que podemos ter a soma de infinitas parcelas igual a uma constante, vamos pensar nas dízimas periódicas (a) = 0,666...= 0,6 + 0,06 + 0, , = Concorda? Então: Note que na dízima periódica está sendo somado termos de uma PG em 3 1 que a 1 = e q = (b) = 1,333...= 1 + 0,3 + 0,03 + 0, = Note que com exceção do primeiro termo os demais são a soma de uma PG em 3 1 que a 1 = e q = (c) = 0, = 0,13 + 0, , = = Agora temos a soma de uma PG em que a 1 = e q = (d) = 1, = 1,6 + 0, , , = = O primeiro termo, na soma, não pertence a uma PG, mas do segundo em diante 9 1 sim. A partir do segundo temos a soma de uma PG em que a 1 = e q= Analisando alguns casos. Exemplos: 1. (b n) = (1, 3, 5, 7, 9,...). 2. (g n) = (1, 2, 4, 8, 16, 32,...) 29 Sequências

4 3. (i n) = (1, 1, 1,...) Para a pergunta inicial, podemos afirmar que a soma de sequências que são divergentes. Pois se os termos com n, a n, a soma de todos os termos será também infinita. Isso nos possibilita afirmar que não existe a soma dos infinitos termos de uma PA. Se lembrarmos da fórmula da soma da PA: S n = a 1 an n 2 Primeiro detalhe, que o a n seria o último da soma, se estamos somando os infinitos termos ele não é definido. Mesmo que fosse, para obter a soma multiplicamos por n, ou seja, por infinito. Logo o resultado também será infinito. Para determinar a soma dos infinitos termos da sequência e n 2,,,,, por exemplo, não temos subsídios, pois não sabemos calcular nem a soma de n termos, já que não é uma PA, nem PG. Se a sequência que queremos analisar não for uma PA, nem uma PG não teremos uma fórmula prévia da soma de n termos. Estes casos deixaremos de lado. Exemplo: (h n) = 2,,,,, Soma dos infinitos termos de uma PG Quando a soma dos infinitos termos de uma PG existe? Pela fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG, temos: n a 1(q 1) S n = q 1 Se n, o que influenciará o resultado final é a potência q n. A soma dos infinitos termos de uma PG convergente existe, pois neste caso q n = 0, se n. Para que razões isso acontece? Lembre-se só é zero, porque estamos somando absolutamente todos os infinitos termos da PG. Sabemos que uma função exponencial é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. Há restrição para a positivo para termos uma função exponencial. Para as PGs, não há essa restrição, apenas que q 0. Outro resultado das funções exponenciais que nos interessa é o fato do eixo ox ser assíntota da função, isso significa que quanto maior o x, mais 30 Sequências

5 y se aproxima de 0, só é 0 no infinito. Assim, relacionando com as PGs, sabemos que se 0 < q < 1, a sequência q n é decrescente e se n, então q n 0. No infinito é zero. Gráficos das funções exponenciais y = a x a > 1 y = a x 0< a < 1 Eis a condição para existência da soma infinita dos termos de uma PG existir: 0 < q < 1. Então: S = S = 0 < q < 1 Exemplos: 1(a). Determine as frações geratrizes de : 0, e 0, (b) Determine exatamente: 0, , Sequências

6 1.29. Exercícios 1. Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. No caso de serem convergentes indique seu limite (a n) =, 1,,,... (b n) = ,,,, (c n) = 3,, 3,,,... (d n) =,,,,, Determine a soma de todos os termos da sequência: (h n) = (1.000, 200, 40, 8,...) Calcule o valor de A definido pela expressão: A = Resolva as equações abaixo, em lr: a. x x 2 + x 4 3 x = 4 3 b. 2 x + 2 x x = c = x 1 (x 1) (x 1) Qual o valor de S = ? a. Determine a fração geratriz da dízima periódica: 0, b. Determine a fração geratriz da dízima periódica: 1, c. Determine o resultado exato de: 0, x3, d. Determine o resultado exato de: 2, , Dado um quadrado Q 1 cujo lado tem comprimento l = 1, considere a sequência infinita de quadrados em que cada quadrado é obtido unindo-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Qual a soma das áreas de todos os quadrados dessa sequência? 8. Há uma diferença ao se somar apenas dez termos da PG (1, 2 1, 4 1,...) em vez da soma de todos os termos dessa PG. Determine essa diferença. 9. O lado de um quadrado mede 12 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados opostos, obtêm-se quatro novos quadrados. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos novos quadrados cada vez menores, conforme a sequência de figuras abaixo, que mostra parte de uma sequência infinita. Se colocássemos somente as áreas hachuradas da segunda figura em diante, (em rosa) em cima da primeira (verde), sem sobreposição dos quadrados menores, qual a fração desta figura seria preenchida? Respostas dos exercícios S 8 = 312( 5 1) 2. a 1= 3 3. a 1 = 5 a 14 = m 5. n = 9 6. a. R$ 4095,00 b. Você é que sabe, não seja maldoso. 7. a. 49 dias b. Resposta pessoal 8. a 12 = 3 x b a 26 = a = 7 32 Sequências