Métodos Computacionais em Física

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1 Métodos Computacionais em Física Tatiana G. Rappoport

2 Integração usando o método da rejeição Queremos calcular a integral Definimos um retângulo de altura H que contenha a área a ser calculada Sorteamos N pontos uniformemente distribuídos dentro do retângulo a xi b, 0 yi H Ao contarmos os valores aceitos, yi f(xi), obtemos uma estimativa da integral

3 Integração - método da média Podemos obter o valor da integral pela relação (teorema do valor médio para integrais): Como calcular a média? Se tivermos conjunto de números aleatórios uniformemente distribuídos entre a e b podemos aproximar: então... Para calcular a integral, basta calcular o valor médio da função!

4 Estimativa da Incerteza Como relacionar número de sorteios com a precisão do resultado obtido? Um dos principais problemas dos métodos de Monte Carlo. No caso do mé todo da mé dia, podemos usar as leis da estatística para estimar a incerteza da integral. Uma sequência de números pseudo-aleatórios possui uma média μ = X e uma dispersão, medida por sua variância, σ 2 = (X μ) 2 X 2 X 2. O desvio padrão, σ, define um intervalo onde ha uma certa concentração dos números, 68% se a distribuição for Gaussiana Pode-se mostrar que o desvio padrão da média vale: µ p N

5 Estimando a incerteza de uma média Podemos calcular essa incerteza realizando M experimentos independentes, cada um com N eventos {xi }. Temos para os valores de f (xi ): {μ1,μ2,...μm} e {σ1,σ2,...σm} Obs: a mesma ideia do exemplo do Teorema do Limite Central da aula passada. Combinando medidas independentes: A média das médias, um valor mais provável da medida, e : µ = P M j=1 µ j A dispersão das médias de cada experimento é: M onde µ j = P N i=1 x i N 2 = h(µ i µ) 2 i = hµ i i 2 µ 2 Experimentos diferentes significam sementes diferentes em simulação!

6 Exercício Escreva uma função em C que implemente um algorítmo para calcular a integral de uma função usando a sua média. Use essa função para calcular a integral de x 3 entre 0 e 1. Faça M cálculos independentes da integral para um dado número de sorteios N e calcule não só a média e o valor da integral como o desvio quadrático da função

7 Simulando caminhadas aleatórias Movimento das moléculas em um gás é semelhante a um passeio aleatório. Colisões levam a mudança na direção e sentido do movimento Vários sistemas podem ser simulados com caminhadas aleatórias Movimento browniano Difusão em líquidos e gases Dinâmica de populações Polimeros etc

8 Caminhada aleatória em uma dimensão Algorítmo para uma caminhada em uma dimensão: Definimos um tamanho fixo de passo dx Definimos o número máximo de passos Npasso Enquanto i<npasso: Sorteamos um número entre 0 e 1 Se o número for menor que 1/2, o caminhante dá um passo para a direita. Caso contrário, dá um passo para a esquerda (xi+1=xi+dx).

9 Caminhada aleatória em uma dimensão Após Npasso, a que distância do ponto de origem o caminhante se encontrará? Pergunta não faz sentido, são eventos aleatórios Qual a distância média? qual é a incerteza?

10 Caminhada aleatória em 2D Todos os passos têm o mesmo comprimento. Passos só são dados ao longo dos eixos x ou y. A probabilidade de andar em qualquer uma das quatro direções é a mesma. Após Npasso, a que distância do ponto de origem o caminhante se encontrará? Qual a distância média? qual é a incerteza? r M experimentos indep Podemos simular M experimentos independentes

11 Caminhada aleatória em 2D Todos os passos têm o mesmo comprimento. Passos só são dados ao longo dos eixos x ou y. A probabilidade de andar em qualquer uma das quatro direções é a mesma. Inicialize a posição inicial: x = 0 e y = 0 Defina o número de passos em 1 caminhada: Npasso = 10 Para cada passo i de 1 até Npasso: sorteie uma das direções (Pense numa forma de fazer este sorteio usando um gerador de núḿeros aleatórios uniformemente distribuídos de 0 a 1) Calcule a nova posição (houve variação de x ou y dependendo do sorteio) Calcule a distância da posição final até a origem r =(x 2 +y 2 ) 1/2

12 Vários caminhantes É possível modificar o algoritmo anterior para fazer de forma automática, várias caminhadas Ncam, cada uma com Npasso. Nesse caso, é preciso fazer as médias sobre todas as caminhadas. Pode-se fazer sobre cada caminhada e depois fazer a média das distâncias médias de cada caminhada.

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14 Exercício Faça um programa que simule um passeio aleatório em uma dimensão. Rode o programa com o número de passos entre 100 e 1000, variando Npasso de 100 em 100. Calcule a média e o quadrado da incerteza e veja se o comportamento se aproxima do esperado para valores grandes de Npasso Faça um programa que simule o passeio aleatório em duas dimensões. Guarde a posição (valores de x e y) para cada passo dado e faça no final um gráfico de y em função de x no gnuplot para ver como se comportou o seu caminhante. Guarde também a distância r em relação à origem e plote r em função do número de passos dados.