Teste Intermédio B I (35%)

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1 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 104 nálise de Dados e Probabilidade 1º Semestre 7/8 Fernando rito Soares Erica Marujo Pedro Chaves Teste Intermédio Data: 1 de Outubro de 7, Duração: 2 horas ota: utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. tenção: Responda a todos os grupos no enunciado. ão desagrafe nenhuma folha. presente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (5%) companhia aérea TOP realizou um estudo sobre a capacidade de utilização e a eficiência da sua frota, composta por 150 aviões. ssim, foram registados os dados relativos ao número de horas de voo efectuadas por cada avião durante um mês. Os dados registados foram os seguintes: úmero de horas de voo úmero de aviões a 9 a a) (10%) Sabendo que a mediana é 5000, determine o valor de a e construa a tabela de 1 frequências, indicando pontos médios, amplitudes, frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas e densidades de frequência. b) (5%) Se não respondeu à alínea anterior, assuma a 400. Calcule o número médio de horas de voo diárias efectuado por cada avião, bem como o número de horas de voo que se registou mais frequentemente, nesse mês. c) (5%) Represente graficamente a distribuição através de um histograma de área 1. d) (5%) Qual a percentagem de aviões cujo número de horas mensais de voo é superior à média? e) (5%) Determine o grau de assimetria de Pearson e classifique a distribuição quanto à assimetria. 1

2 Teste Intermédio f) (5%) Um dos administradores da TOP fez a seguinte afirmação: Queremos expandir a nossa frota com a aquisição de pelo menos 20 novas aeronaves, no curto prazo. Tal decisão baseia-se no facto de uma grande parte do total das horas de voo serem efectuadas pelos aviões que voam mais horas por mês, o que conduz ao seu rápido desgaste. Comente a afirmação através do cálculo do Índice de Gini. II (25%) eatriz trabalha numa empresa que fabrica um baralho de cartas por dia, onde tem que pintar as figuras. Recebe Euros por dia, independentemente do tempo que demorar. O seu ordenado horário depende, por isso, da sua rapidez. o fim do dia, joga um jogo de King, em que as pontuações podem ser positivas ou negativas, com os empregados da fábrica. O registo dos dias 1, 2 e de Outubro é o seguinte: Dia Ordenado horário Pontuação da eatriz a) (5%) Calcule a pontuação média da eatriz. Calcule a média dos desvios para a média. igualdade dos resultados verifica-se em qualquer amostra? b) (5%) Calcule o desvio padrão da pontuação da eatriz. esta amostra específica, que outra medida é equivalente a esta? c) (5%) Calcule a taxa média de crescimento do ordenado horário. d) (10%) Calcule o ordenado horário médio. III (20%) Considere uma amostra C constituída por duas subamostras, e, ambas simétricas. Sabese que e têm a mesma média, mas a variância de é superior à de. Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações, justificando sempre: a) (5%) média de C é superior à média de e à média de. b) (5%) variância de C é superior à variância de e inferior à variância de. c) (5%) C é mais dispersa do que. d) (5%) C é simétrica. 2

3 Teste Intermédio IV (20%) 1. (10%) Considere o seguinte quadro estatístico: 1 2 Totais Totais a) (5%) Escreva a distribuição condicionada do atributo dada a modalidade 2. b) (5%) Os atributos e serão independentes? Justifique. 2. (10%) O que diferencia o índice de Laspeyres do índice de Paasche?

4 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 104 nálise de Dados e Probabilidade 1º Semestre 7/8 Fernando rito Soares Erica Marujo Pedro Chaves Correcção Teste Intermédio I (5%) companhia aérea TOP realizou um estudo sobre a capacidade de utilização e a eficiência da sua frota, composta por 150 aviões. ssim, foram registados os dados relativos ao número de horas de voo efectuadas por cada avião durante um mês. Os dados registados foram os seguintes: úmero de horas de voo úmero de aviões a 9 a a) (10%) Sabendo que a mediana é 5000, determine o valor de a e construa a tabela 1 de frequências, indicando pontos médios, amplitudes, frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas e densidades de frequência. j 1,2,, m: l l x 2 h l l f n S n l h 2 F S f d f h n 1

5 Correcção Teste Intermédio x j x j h j n j f j S j F * j d j ]0;100] , ,08 0,008 ]100;] ,18 9 0,26 0,0018 ];a] +a 2 a- 9 0, ,52 0,26 a- ]a;500] a a 54 0,6 12 0,88 0,6 500-a ]500;600] , ,98 0,001 ]600;650] , , mediana é dada por F * x 0,5. través das frequências relativas acumuladas apresentadas na tabela de frequências, podemos concluir que a mediana se situa na classe ];a]. ssim, por interpolação linear, temos que: F a F a F x F x 0,52 0,26 a 0,24. a 48 0,24a 48 a 400 0,5 0, , ssim, após substituir o valor de a na tabela de frequências, obtemos: x j x j h j n j f j S j F * j d j ]0;100] , ,08 0,008 ]100;] ,18 9 0,26 0,0018 ];400] , ,52 0,001 ]400;500] ,6 12 0,88 0,006 ]500;600] , ,98 0,001 ]600;650] , , b) (5%) Se não respondeu à alínea anterior, assuma a 400. Calcule o número médio de horas de voo diárias efectuado por cada avião, bem como o número de horas de voo que se registou mais frequentemente, nesse mês. Para dados classificados, a média aritmética mensal é dada por: 2

6 Correcção Teste Intermédio x n.x M f.x 0, , , , , , ,5 Para obtermos a média diária (assumindo que um mês tem 0 dias), temos: x Dá x M 0 8,5 0 11,28 Dado que as classes têm amplitudes diferentes, a classe modal é a classe com maior densidade de frequência: Classe modal ]400;500]. Podemos então determinar a moda (número de horas de voo semanais mais frequente) pela Fórmula de King: d500; 600 modx l; 400 h400; 500. d; 400 d500; 600 0, ,478 0,001 0,001 c) (5%) Represente graficamente a distribuição através de um histograma de área 1. Histograma de Área 1 0,004 d j 0,006 0,00 0,002 0,0018 0,001 0,0008 0,001 0,001 0, x j d) (5%) Qual a percentagem de aviões cujo número de horas mensais de voo é superior à média? O número médio de horas de voo mensais pertence à classe ];400]. Por interpolação linear, temos que: F 400 F 400 F 400 F 8,5 0,52 0,26 0,52 F 8, ,5 61,5 15, F 8,5 F 8,5 0,44005 Dado que F * 8,5 representa a percentagem de aviões cujo número de horas de voo é igual ou inferior à média, então temos:

7 Correcção Teste Intermédio 1F 8,5 1 0, , ,995% 55,995% dos aviões da TOP fazem um número de horas mensais de voo superior à média. e) (5%) Determine o grau de assimetria de Pearson e classifique a distribuição quanto à assimetria. O grau de assimetria de Pearson é definido pela seguinte expressão: g xmodx s variância da amostra é dada por: s f.x 4 x 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, , ,25 O desvio padrão da amostra é dado por: ss 24.00,25 155,017 ssim, o grau de assimetria de Pearson desta amost ra é o seguinte: g xmodx s 8,5 44, ,017 é assimétrica negativa ou enviesada à esquerda 0,677 0 Podemos concluir que a distribuição f) (5%) Um dos administradores da TOP fez a seguinte afirmação: Queremos expandir a nossa frota com a aquisição de pelo menos 20 novas aeronaves, no curto prazo. Tal decisão baseia-se no facto de uma grande parte do total das horas de voo serem efectuadas pelos aviões que voam mais horas por mês, o que conduz ao seu rápido desgaste. Comente a afirmação através do cálculo do Índice de Gini. O índice de Gini pode ser obtido pel a seguinte expressão: G p q 1 q p p p F q t t n t j representa o total do atributo na classe j, q j representa os valores relativos acumulados do atributo (número de horas de voo) e p j representa as frequências acumuladas dos elementos correspondentes a cada valor assumido pelo atributo (aviões). O quadro seguinte apresenta de forma resumida o cálculo de p j e q j para cada uma das classes, referindo-se * ao somatório dos valores de p j e q j até à (m-1)-ésima classe:

8 Correcção Teste Intermédio x j x j n j f j F * j p j t j t j r q j ]0;100] ,08 0, ,012 0,012 ]100;] ,18 0, ,080 0,092 ];400] ,26 0, ,20 0,22 ]400;500] ,6 0, ,479 0,801 ]500;600] ,1 0, ,162 0,96 ]600;650] 625 0, , ,72* ,189* ssim, utilizando os resultados obtid os no quadro anterior, obtemos: G1 q p 1 2,189 2,72 0,195 O valor obtido para o índice de Gini revela que a distribuição do número de horas de voo pelo número de aviões não é certamente igualitária, mas o facto de o resultado obtido estar mais próximo de zero leva-nos a concluir que o grau de concentração é reduzido. Ou seja, pode concluir-se que não existe uma proporção muito elevada de horas de voo concentradas num muito reduzido número de aviões. Logo, pode concluir-se que a afirmação do administrador não tem muito fundamento e, portanto, a necessidade de expansão da frota não é tão elevada como o administrador quer fazer crer. II (25%) eatriz trabalha numa empresa que fabrica um baralho de cartas por dia, onde tem que pintar as figuras. Recebe Euros por dia, independentemente do tempo que demorar. O seu ordenado horário depende, por isso, da sua rapidez. o fim do dia, joga um jogo de King, em que as pontuações podem ser positivas ou negativas, com os empregados da fábrica. O registo dos dias 1, 2 e de Outubro é o seguinte: Dia Ordenado horário Pontuação da eatriz a) (5%) Calcule a pontuação média da eatriz. Calcule a média dos desvios para a média. igualdade dos resultados verifica-se em qualquer amostra? este caso, a pontuação média pode ser dada, simplesmente, pela soma das pontuações ponderada pelo número de dias considerados, ou seja, a média aritmética: x x

9 Correcção Teste Intermédio x x Média dos desvios para a média m igualdade entre a média aritmética e a média dos desvios para a média não é um resultado geral, mas um resultado específico deste tipo de amostras, em que a média aritmética é 0. De facto, o momento de ordem 1 centrado na média, ou a média dos desvios para a média, é sempre 0, independentemente da amostra, pelo que apenas vai tomar o mesmo valor da média aritmética quando esta for nula. b) (5%) Calcule o desvio padrão da pontuação da eatriz. esta amostra específica, que outra medida é equivalente a esta? s x x 600 x ,165 x m esta amostra específica, em que a média aritmética é 0, o desvio padrão é a raíz quadrada da média do quadrado das observações, o que equivale à média quadrática. c) (5%) Calcule a taxa média de crescimento do ordenado horário. taxa média de crescimento do ordenado horário é aquela que, se tivesse ocorrido em todos os períodos, daria o mesmo ordenado horário no último dia. s taxas de crescimento são as seguintes: o t / o o 40 0,25; t / 1 o 10, t é. 1 t é t /. 1 t / t é , ,6 1t é 1 0, ,6 1t é 1t 1t é m 1t é 2 t é 2 1 0,414 6 d) (10%) Calcule o ordenado horário médio. O ordenado horário médio é aquele que, se a eatriz tivesse recebido todos os dias, teria resulta do no mesm o número de horas d e trabalho qu e efectivamente trabalh ou: o é o é o é o é o é 20 1 p 25 m ,087

10 Correcção Teste Intermédio III (20%) Considere uma amostra C constituída por duas subamostras, e, ambas simétricas. Sabe-se que e têm a mesma média, mas a variância de é superior à de. Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações, justificando sempre: a) (5%) média de C é superior à média de e à média de. x x ; s s ; g 0; g 0 média de C é uma média ponderada das médias de e de e sendo estas médias iguais, tem que assumir o mesmo valor que estas apresentam: x C 1. x x.x x x x C afirmação é falsa..x.x.x.x.x.x b) (5%) variância de C é superior à variância de e inferior à variância de. variância de C é uma média ponderada das variâncias de e adicionada de uma média ponderada dos desvios entre as médias de cada uma das subamostras e a média de C. Como ambos os ponderadores (o número de elementos de cada uma das subamostras) são não nulos, o primeiro termo tem que assumir um valor intermédio entre as variâncias de e de. Como as médias de, e C são iguais, os desvios para a média de C são 0 e o segundo termo é nulo. Logo, a variância de C encontra-se necessariamente entre as variâncias de e :.s. x x C s C.s.s. x x C. x x C.s.s.s. x x. x x.s.s.s s C.s.s.s.s.s s C.s.s 1.s s.s.s.s 7

11 Correcção Teste Intermédio.s.s 1.s s s s C s afirmação é verdadeira. c) (5%) C é mais dispersa do que. média de C é igual à de. variância de C é inferior à de, registando-se a mesma relação entre os respectivos desvios padrão. Logo, a dispersão em C, tendo em conta a sua média, é menos significativa do que em e C é menos dispersa do que : s C s c C ; c C x C x s s C x x s C s x C x s C s x C x s C s c x C x C c afirmação é falsa. d) (5%) C é simétrica. e são simétricas e têm a mesma média, o que significa que, para cada desvio positivo da média em cada uma das subamostras existe um desvio negativo com o mesmo valor absoluto. Quando e são reunidas numa amostra geral, a média mantém-se e este facto não é alterado: g 0 m 0m s 0 x x C 0 g 0 m 0m s 0 x x C 0 x x 0 x x 0 x x C 0 x x C 0 m C x C x C x x C x x C 00 0 g C m C s C 0 s C 0C é simétrica afirmação é verdadeira. 8

12 Correcção Teste Intermédio IV (20%) 1. (10%) Considere o seguinte quadro estatístico: 1 2 Totais Totais a) (5%) Escreva a distribuição condicionada do atributo dada a modalidade 2. distribuição condicionada do atributo dada a modalidade 2 não é mais do que a restricçã o da amostr a aos indivíduo s cuja modalid ade do atributo é 2 : f / n, n., ,2; f / n, n., ,8 Podemos ainda condensar toda a informação relativa aos indivíduos cuja modalidade do atributo é 2 numa tabela (onde assumimos que 2 1 e é uma variável quantitativa, caso contrário não poderíamos acumular frequências relativas a esta variável): x j n j f j S j F * j 1 4 0,2 4 0, , b) (5%) Os atributos e serão independentes? Justifique. Para que os atributos e sejam independentes, é necessário que a distribuição de seja igual quando condicionada em qualquer uma das modalidades do atributo e ainda quando não é condicionada (o que acontece na sua distribuição marginal). Quer isto dizer que a percentagem de indivíduos com a modalidade 1 do atributo tem que ser a mesma para o grupo de indivíduos que apresentam 1, 2, e ainda para o conjunto de todos os indivíduos (sendo que se as três primeiras forem iguais, a última é também forçosamente igual). Obviamente que o mesmo tem que se passar para a modalidade 2 do atributo. / n, f 5 n., ,2; f / 0,2; f / n, n., 2 5 0,4; f,. n, f / f f / f / / n, f 20 n., ,8; f / 0,8; f / n, n., 5 0,6; f,. n, ,78; f / f / f / f 9

13 Correcção Teste Intermédio Por outro lado, podemos verificar se as frequências relativas são iguais ao produto das frequências marginais:, f., n., f,. 0 22; ,5; f, n, ,10,11 0,22.0,5 f,..f. n.,, f., ,4; f, n, f,.. f., ,08 0,088 0,22.0,4 25 n., f., ,1; f, n, f,.. f., ,04 0,022 0,22.0,1 25 n,,.., 5; f 20 2 f 0,78; f 0,, 0,4 0,9 0,78.0,5 f 50 5,..f., f 0,4; f n.,,, , 2 0,12 0,78. 0,4 f 50 25,..f., f., 0,1; f, n, 50 0,06 0,078 0,78.0,1 f,..f., De qualquer das formas, podemos verificar que os atributos e não são independentes. 2. (10%) O que diferencia o índice de Laspeyres do índice de Paasche? Sempre que for preciso comparar dois valores de um único fenómeno, podemos recorrer a um índice simples. Contudo, quando nos deparamos com vários fenómenos, somos forçados a utilizar um índice sintético. É o que se passa nos casos dos índices de Laspeyres e de Paasche. Sendo índices direccionados para a comparação entre preços ou quantidades de vários produtos em conjunto, correspondem ao rácio entre a soma ponderada dos preços ou quantidades de cada um dos produtos, sendo que para os índices de preços os ponderadores são as quantidades e vice-versa. O que distingue estes dois tipos de índices é o ano a que se referem os ponderadores. Enquanto o índice de Laspeyre recorre a ponderadores referentes ao ano base, o índice de Paasche prefere socorrer-se de ponderadores relativos ao ano corrente. 10