LÓGICA PROPOSICIONAL
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- Fábio Daniel Bardini
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1 LÓGICA PROPOSICIONAL NOÇÕES PRELIMINARES A proposição lógica é alicerce da construção do conhecimento da lógica proposicional. Para entendermos o conceito de proposição logica é necessário ter uma noção básica de frases. Vamos relembrar juntos? Definição: Frase é qualquer enunciado (curto ou longo) que estabelece uma comunicação. As frases são divididas em cincos tipos, de acordo com a gramática tradicional. Declarativa: O enunciado é afirmativo ou negativo; termina em ponto(.) ou reticências(...). - A lua é um satélite natural. (Frase declarativa afirmativa) - Jorge não é paraibano. (Frase declarativa negativa) Imperativa: O enunciado apresenta um tom de ordem, pedido, súplica, exortação, advertência etc; verbos no imperativo (afirmativo ou negativo) marcam tal tipo de frase; termina em ponto, ponto de exclamação ou reticências. -Faça seu trabalho corretamente. - Quando for à Salvador, visite o pelourinho. Interrogativa: O enunciado apresenta um questionamento direto ou indireto; termina em ponto de interrogação (?) se a indagação for direta: em ponto, se for indireta. -Qual o melhor livro de Raciocínio Lógico? - Não sei onde ele pode estar. Dica: O exemplo acima é uma interrogativa indireta, pois é possível realizar uma pergunta direta com a frase onde ele pode estar (?), Exclamativa: O enunciado exprime um sentimento e uma altissonância (Produz um som alto ou intenso); termina em ponto de exclamação(!) - Que alegria! - Meus pêsames! Optativa: O enunciado exprime um desejo; termina em ponto ou ponto de exclamação. -Sucesso, viu! - Deus te ouça, meu amor! PROPOSIÇÃO LÓGICA Definição: Proposição é toda sentença declarativa (com sujeito e predicado) à qual pode se atribuir, sem ambiguidade, apenas um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). O sol é uma estrela. 8 é divisível por 4. João é paulista. As proposições lógicas se dividem em: proposição fechada (proposição lógica) e proposição aberta ( sentença aberta ). A proposição logica é chamada de proposição fechada, pois o valor do enunciado está definido. Proposição Aberta ou Sentença aberta
2 Definição: Sentença aberta é uma sentença cujo resultado (falso ou verdadeiro) é desconhecido, por conter pelo menos um elemento indefinido. x + 2 = 5 Ele é alto. Treinamento 01.(FCC) Uma proposição de uma linguagem é uma expressão de tal linguagem que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Com base nessa definição, analise as seguintes expressões: I < 13 II. Que horas são? III. Existe um número inteiro x tal que 2x > 5. IV. Os tigres são mamíferos. V. 36 é divisível por 7. VI. x + y = 5 É correto afirmar que são proposições APENAS as expressões: (A) I e IV. (B) I e V. (C) II, IV e VI. (D) III, IV e V. (E) I, III, IV e V 02. (TRT-17ª região 2009) Na sequência de frases abaixo, há três proposições. (I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? (II) O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. (III) Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. (IV) Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. 03.(CESPE) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições. (I) Esta frase é falsa. (II) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. (III) Quantos são os conselheiros do TCE/AC? 04.(CESPE) Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas são proposições. A: Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, você vai para o exterior nessas férias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: Não deixe de resolver a prova com a devida atenção. Gabarito 01.E 02.Certo 03. Errado 04. Certo Princípios Fundamentais da lógica Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo, isto é, uma proposição verdadeira é sempre verdadeira e uma proposição falsa é sempre falsa.
3 Princípio da Não contradição Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do Terceiro Excluído Toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. Treinamento 01.(CESPE) Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico. 02. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. ( ) Certo ( )Errado Gabarito 01. Certo 02.Errado Classificação das proposições As proposições podem ser simples ou compostas. Proposição simples ou atômica: É uma frase declarativa que expressa um pensamento completo acerca de um objeto, isto é, possui um único objeto de estudo. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do nosso alfabeto. p: O México fica na América do Norte. Proposição composta ou molecular: É formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto. P: João é alto e André e baixo. Treinamento 01.(CESPE 2014) Julgue o item que se segue, relacionado à lógica proposicional. A sentença O reitor declarou estar contente com as políticas relacionadas à educação superior adotadas pelo governo de seu país e com os rumos atuais do movimento estudantil é uma proposição lógica simples. 02.(CESPE 2014) Julgue o item que se segue, relacionado à lógica proposicional. A sentença O sistema judiciário igualitário e imparcial promove o amplo direito de defesa do réu ao mesmo tempo que assegura uma atuação investigativa completa por parte da promotoria é uma proposição lógica composta. 03.(CESPE 2014) Julgue o item que se segue, relacionado à lógica proposicional. A sentença A crença em uma justiça divina, imparcial, incorruptível e infalível é lenitivo para muitos que desconhecem os caminhos para a busca de seus direitos, assegurados na Constituição é uma proposição lógica simples. Gabarito 01.Errado 02.Errado 03.Certo
4 Negação de uma proposição simples A negação de uma proposição é mudar o valor lógico, sem perder o sentido. A forma simbólica da negação é ~p. p ~p V F F V O CESPE utiliza o símbolo para representar a negação. Para negar uma proposição simples colocamos o advérbio de negação o não antes do verbo de ligação. Se ocorrer da frase possui o termo não, então retira se o respectivo termo. Caso 01 A frase não possui o advérbio não, logo colocamos o advérbio antes do verbo de ligação. p: Salvador tem praia. p : Salvador não tem praia. Outras formas de negar essa mesma proposição é: Não é verdade que Salvador tem praia. É falso que Salvador tem praia. Caso 02 A frase possui o advérbio não, nesse caso é só retirar o advérbio não. q: O Brasil não é um país do continente americano. q : O Brasil é um país do continente americano. Caso 03 Utilização de antônimos. p : Mário é alto. p: Mário não é alto. p : Mario é baixo. Caso 04 Negação dos símbolos matemáticos p = > < p : = 5 p : p < > Caso 5: Negação de proposições contendo quantificador ou 2ª lei de Morgan. 1ª situação: Quantificador Universal Afirmativo ( Todo) p: Todo homem é mortal.
5 ~p: Algum um homem não é mortal. Outras opções: ~p: Pelo menos um homem que não é mortal. ~p: Existe um homem que não é mortal. 2ª situação: Quantificador Existencial (algum = existe = pelo menos um) A regra da negação do quantificador existencial é mudar para o quantificador universal e negar a sentença. P: Existem homens que são sábios. ~p: Todos os homens não são sábios. ~P: Nenhum homem é sábio. 3ªSituação: Quantificador Universal Negativo (Nenhum) P: Nenhum A é B. ~p: Algum A é B. Treinamento TREINAMENTO 01.(ESAF) A negação de À noite, todos os gatos são pardos é: (A) De dia, todos os gatos são pardos. (B) De dia, nenhum gato é pardo. (C) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. (D) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. (E) À noite, nenhum gato é pardo. 02.(FCC 2012) O diretor comercial de uma companhia, preocupado com as numerosas reclamações de clientes sobre a falta de produtos do catálogo nas lojas da empresa, deu a seguinte ordem a todos os gerentes: Pelo menos uma de nossas lojas deve ter em seu estoque todos os produtos de nosso catálogo. Dois meses depois, o diretor constatou que sua ordem não estava sendo cumprida. Com essas informações, conclui-se que, necessariamente, (A) nenhum produto do catálogo estava disponível no estoque de todas as lojas da empresa. (B) no estoque de apenas uma loja da empresa não havia produtos do catálogo em falta. (C) alguma loja da empresa não tinha em seu estoque qualquer produto do catálogo. (D) algum produto do catálogo estava em falta no estoque de todas as lojas da empresa. (E) no estoque de cada loja da empresa faltava pelo menos um produto do catálogo. 03. (CESPE) Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques.
6 Assinale a opção correspondente à negação da frase acima. (A) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque. (B) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques. (C) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque. (D) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques 04.(CESPE 2014)Julgue o item seguinte, acerca da proposição P: Quando acreditar que estou certo, não me importarei com a opinião dos outros. Uma negação correta da proposição Acredito que estou certo seria Acredito que não estou certo. 05.(CESPE 2014) Julgue os itens que se seguem, considerando a proposição P a seguir: Se o tribunal entende que o réu tem culpa, então o réu tem culpa. A negação da proposição O tribunal entende que o réu tem culpa pode ser expressa por O tribunal entende que o réu não tem culpa. Gabarito 01.D 02.E 03.C 04. Errado 05. Errado Operadores lógicos DISJUNÇÃO INCLUSIVA Dadas duas proposições p e q, chama-se disjunção de p e q a proposição p q (lê-se: p ou q). Em concurso público são cobrados duas partes do operador lógico a linguagem escrita e tabela verdade. Por isso vamos começar o estudo pela linguagem escrita da disjunção. 1) p: O sol é uma estrela. q: O céu é azul. p q: O sol é uma estrela ou céu é azul. Fique Esperto! Segue abaixo outras formas filosóficas de escrever a forma p q. p q : p ou q P ou q ou ambos P e/ou q (documentos legais) A tabela da disjunção p q p q V V V V F V F V V F F F Disjunção exclusiva Dadas duas proposições p e q, chama-se disjunção de p e q a proposição p q (lê-se: ou p ou q).
7 Transmite uma ideia de exclusão, isto é, conjuntos disjuntos (sem elementos comuns) Exemplo: Ou Bruno é baiano ou Bruno é paraibano. p q P V V F V F V F V V F F F q Conjunção Dadas duas proposições p e q, chama-se conjunção de p e q a proposição p q (lê-se: p e q). A conjunção p q será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras; e será falsa nos outros casos. Vamos iniciar linguagem escrita da conjunção 1) p: O sol é uma estrela. Q: A lua é um satélite. P q : O sol é uma estrela e a lua é um satélite. Tabela da Conjunção. p q p q V V V V F F F V F F F F Dica: No e se pelo menos uma proposição for falsa o resultado é F. Condicional Dadas duas proposições p e q, a proposição se p, então q, que será indicada por p q, é chamada de condicional. Exemplo: 1) p : Mário é inocente. q: Jorge é culpado. p q : Se Mário é inocente, então Jorge é culpado. Se Mário é inocente, Jorge é culpado. Fique esperto! As outras formas filosóficas de escrever a condicional são : Se p, então q p implica q p é suficiente para q q é necessário para p p conseqüentemente q Quando p, q No caso de p, q q, contanto p q, se p q, no caso de p Todo p é q. Já foram cobradas as formas: p implica q; p é suficiente para q; q é necessário para p; p consequentemente q; q, se p e todo p é q.
8 Dica 01: A causa é condição suficiente para o efeito (p é suficiente para q). Por isso podemos escrever a expressão da seguinte forma: Corro é condição suficiente para canso. Lembrem-se quando utilizar a expressão suficiente está na ordem direta causa efeito. Cuidado a forma simbólica p q ( causa efeito) não muda a posição. Dica 02: O efeito é condição necessária para a causa. Logo podemos escrever a expressão da seguinte forma: Canso é condição necessária para corro. Tabela da condicional. p q p q V V V V F F F V V F F V BICONDICIONAL Dadas duas proposições p e q, a proposição p se, e somente se, q, que será indicada por p bicondicional. p q ( lê-se : p se e somente se q) Tabela da Bicondicional p q p q V V V V F F F V F F F V q, é chamada de RESUMO: Conectivo Símbolo Forma simbólica Sentido Disjunção inclusiva p q Ocorre p ou ocorre q ou ambos Disjunção exclusiva Ocorre p ou ocorre q mas não ocorre p q ambos Conjunção p q Ocorre p e q Condicional p q Se ocorre p então q também ocorre Bicondicional p q Ou ocorre p e q, ou não ocorre p e q Resumo da tabela. Conectivo Forma simbólica Dica Disjunção inclusiva p q 1 V = V Disjunção exclusiva Símbolos diferentes (VF ou FV) = V p q Conjunção p q 1 F = F
9 Condicional p q VF = F Bicondicional p q Símbolos iguais (VV ou FF ) =V 01.(TRT-SP 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas: Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? (A) Nenhuma. (B) Apenas uma. (C) Apenas duas. (D) Apenas três. (E) Quatro. 02.(CESPE) Com relação às proposições lógicas, julgue o próximo item. A frase O perdão e a generosidade são provas de um coração amoroso estará corretamente representada na forma P Q, em que P e Q sejam proposições lógicas convenientemente escolhidas. ( ) Certo ( )Errado 03. (ASSEMBLEIA LEGISLATIVA 2010 FCC) Paloma fez as seguintes declarações: Sou inteligente e não trabalho. Se não tiro férias, então trabalho. Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma (A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha. (D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente 04..(FCC 2015)Considere as afirmações: I. Se a música toca no rádio, então você escuta. II. A música não tocou no rádio. III. Renato é bom em matemática ou é bom em português. IV. Se as nuvens estão escuras, então vai chover. Sabe-se que as afirmações I e II são verdadeiras, e as afirmações III e IV são falsas. A partir dessas afirmações, é correto concluir que (A) Você escutou a música, e Renato não é bom em matemática, e não é bom em português. (B) A música não tocou no rádio, e as nuvens não estão escuras, e vai chover. (C) Você escutou a música, e Renato é bom somente em matemática, e está chovendo. (D) A música não tocou no rádio, e Renato não é bom em português, e as nuvens estão escuras. (E) A música não tocou no rádio, e Renato não é bom em matemática, e é bom em português, e não vai chover. 05.(FCC 2013) Considere as proposições abaixo p: Afrânio estuda. ; q: Bernadete vai ao cinema. ; r: Carol não estuda. Admitindo que essas três proposições são verdadeiras, qual das seguintes afirmações é FALSA? (A) Afrânio não estuda ou Carol não estuda. (B) Se Afrânio não estuda, então Bernadete vai ao cinema. (C) Bernadete vai ao cinema e Carol não estuda. (D) Se Bernadete vai ao cinema, então Afrânio estuda ou Carol estuda. (E) Se Carol não estuda, então Afrânio estuda e Bernadete não vai ao cinema. 06.A proposição Esta prova não está difícil ou eu estudei bastante pode ser corretamente representada por ~P Q
10 07.(FCC 2015) Considere as afirmações sobre Alberto, Bruno, César e Dario sendo que cada um toca apenas um instrumento. I. Alberto é pianista ou Bruno é saxofonista. II. Bruno é saxofonista ou César é violinista. III. Se César é violinista, então Dario é clarinetista. Dentre essas afirmações, sabe-se que são verdadeiras I e III e que a II é falsa. Deste modo, (A) Bruno não é saxofonista e Dario não é clarinetista. (B) Se César não é violinista, então Bruno é saxofonista. (C) Dario é clarinetista e Bruno é saxofonista. (D) Se Dario é clarinetista, então Alberto não é pianista. (E) César é violinista ou Alberto é pianista. 08.(FCC 2014) Considere as afirmações: I. Ou caí, ou escorreguei. II. Escorreguei ou tropecei. III. Caí ou deitei. IV. Tropecei ou deitei. Das afirmações, sabe-se que a afirmação (III) é falsa e as outras verdadeiras. Deste modo, conclui-se corretamente que (A) Tropecei e escorreguei. (B) Escorreguei e caí. (C) Tropecei e deitei. (D) Não escorreguei e tropecei. (E) Caí e deitei. 09. (CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos entre os povos, julgue os itens seguintes. Se a proposição Os seres humanos sabem se comportar for falsa, então a proposição P será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição Há menos conflitos entre os povos. 10.(CESPE 2014) Julgue os itens que se seguem, considerando a proposição P a seguir: Se o tribunal entende que o réu tem culpa, então o réu tem culpa. Se a proposição O tribunal entende que o réu tem culpa for verdadeira, então a proposição P também será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição o réu tem culpa. Gabarito 01.C 02.Errado 03.C 04.D 05.E 06.Certo 07. E 08. A 09. Certo 10. Errado Contato: professorbrunovillar@gmail.com Bons estudos! Rumo ao sonho!! Meta: a gente busca Caminho: a gente acha Desafio: a gente enfrenta Vida: a gente VIVE Saudade: a gente mata Sonho: a gente realiza
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