Objetivos. Testes não-paramétricos

Transcrição

1 Objetivos Prof. Lorí Viali, Dr. Testar o valor hipotético de um parâmetro (testes paramétricos) ou de relacionamentos ou modelos (testes não paramétricos). Testes não-paramétricos Um teste não paramétrico testa outras situações que não parâmetros populacionais. Estas situações podem ser relacionamentos, modelos, dependência ou independência e aleatoriedade.

2 Envolvem populacionais. parâmetros Um parâmetro é qualquer medida que descreve uma população. Os principais parâmetros são: µ (a média) σ σ π (a variância) (o desvio padrão) (a proporção) () Formular a hipótese nula (H 0 ) H 0 : θ θ 0 Epressar em valores aquilo que deve ser testado; Esta hipótese é sempre de igualdade; Deve ser formulada com o objetivo de ser rejeitada. () Formular a hipótese alternativa (H ) (Testes simples) H : θ θ (Testes compostos) H : θ > θ 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) θ < θ 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) θ θ 0 (teste bilateral/bicaudal). () Definir um valor crítico (α) Isto envolve definir um ponto de corte a partir do qual a hipótese nula será rejeitada (aceita a hipótese alternativa). Esta hipótese é de fato a epressão daquilo que ser quer provar.

3 () Calcular a estatística teste A estatística teste é obtida através dos dados amostrais, isto é, ela é a evidência amostral; A forma de cálculo depende do tipo de teste envolvido, isto é, do modelo teórico ou modelo de probabilidade. () Tomar uma decisão A estatística teste e o valor crítico são comparados e a decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese nula é formulada; Se for utilizado um software estatístico pode-se trabalhar com a significância do resultado (p-value) ao invés do valor crítico. (6) Formular uma conclusão Epressar em termos do problema (pesquisa) qual foi a conclusão obtida; Não esquecer que todo resultado baseado em amostras está sujeito a erros e que geralmente apenas um tipo de erro é controlado. População: Valor do parâmetro Qual é a diferença entre o valor observado da estatística e o valor hipotético da parâmetro? Amostra: Valor da estatística. Em resumo Questão a ser feita Decisão a ser tomada Não rejeitar a hipótese Diferença pequena Diferença grande Rejeitar a hipótese Dispõem-se de duas moedas com aparências idênticas, só que uma (M ) é equilibrada, isto é, P(Cara) P(Coroa) 0%, enquanto que a outra (M ) é viciada de tal forma que favorece cara na proporção de 80%, ou seja, P(Cara) 80% enquanto que P(Coroa) 0%.

4 Supõem-se que uma das moedas é lançada e que com base na variável X número de caras, deve-se decidir qual delas foi lançada. Neste caso o teste a ser feito envolve as seguintes hipóteses: H 0 : A moeda lançada é a equilibrada (M ) (p 0%) H : A moeda lançada é a viciada (M ) (p 80%) p proporção de caras. Tem-se que tomar a decisão de apontar qual foi a moeda lançada, baseado apenas em uma amostra de, por eemplo, lançamentos. Lembrar que a população de lançamentos possíveis é, neste caso, infinita. A decisão, é claro, estará sujeita a erros, pois se estará tomando a decisão em condições de incerteza, isto é, baseado em uma amostra de apenas lançamentos das infinitas possibilidades. A decisão será baseada nas distribuições amostrais das duas moedas. A tabela mostra as probabilidades de se obter os valores: 0,,,, e, da variável X número de caras, em uma amostra de n, lançamentos de cada uma das moedas. Sob H 0 X ~ B(; 0,) Assim: n P ( X ) p q n 0, 0, 0,

5 Sob H X ~ B(; 0,8) Assim: n P ( X ) p qn 0, 0,8 0 Total P(X ) sob H 0 /,% /,6% 0/,0% 0/,0% /,6% /,% 00% P(X ) sob H / 0,0% 0/ 0,60% 60/,0% 60/ 0,80% 80/ 0,960% 0/,768% 00% Para poder aceitar ou rejeitar H 0 e como conseqüência, rejeitar ou aceitar H, é necessário estabelecer uma regra de decisão, isto é, é necessário estabelecer para que valores da variável X iremos rejeitar H 0 Desta forma, estabelecendo-se que se vai rejeitar H 0, se a moeda der um número de caras igual a ou, pode-se então determinar as probabilidades de tomar as decisões corretas ou erradas. Assim o conjunto de valores que levará a rejeição da hipótese nula será denominado de região crítica (RC) e, neste caso, este conjunto é igual a: RC {, } A faia restante de valores da variável é denominada de região de aceitação ou de não-rejeição (RA) e, neste caso, este conjunto vale: RA { 0,,, }

6 Então se H 0 for rejeitada porque X assumiu o valor ou, pode-se estar cometendo um erro. A probabilidade deste erro é igual a probabilidade de ocorrência destes valores sob H 0, isto é: α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) P(X ou / p 0,0) / + / 6/ 8,7% Nível de significância do teste. O outro tipo de erro possível de ser cometido é aceitar H 0 quando ela é falsa e é denominado de erro do tipo II. β P(Erro do Tipo II) P(Aceitar H 0 / H 0 éfalsa) P(X 0,, ou / p 80%) / + 0/ + 60/ + 60/ 8/ 6,7% 0 Total β ( )/ P(X ) sob H 8/ P(X 6,7% 0 ) sob H /,% / 0,0% /,6% 0/ 0,60% 0/,0% 60/,0% 0/,0% 60/ 0,80% /,6% 80/ 0,960% /,% 0/,768% 00% α / + / 00% 6/ 8,7% 6

7 H 0 é verdadeira Realidade H 0 é falsa Aceitar H 0 Decisão correta - α P(Aceitar H 0 / H 0 é verdadeira) Erro do Tipo II Decisão β P(Cometer Erro do tipo II) P(Aceitar H 0 / H 0 é falsa) P(Aceitar H 0 / H é verdadeira) Rejeitar H 0 Erro do Tipo I α P(Cometer Erro do tipo I) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) Nível de significância do teste Decisão correta - β P(Rejeitar H 0 / H 0 é falsa) Poder do teste. Uma urna contém quatro fichas das quais θ são azuis e - θ são vermelhas. Para testar a hipótese nula de que θ contra a alternativa de θ, retiram-se duas fichas ao acaso e sem reposição. Rejeita-se a hipótese nula se as duas fichas forem da mesma cor. Determine o nível de significância e o poder do teste. Espaço amostra S { VV, AA, Sob H 0 : θ AV, VA} Região Crítica Região De Não Rejeição O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar H 0 quando ela é verdadeira, neste caso ele é a probabilidade de retirarmos duas fichas da mesma cor, quando a urna tem duas de cada cor. Sob H 0 : θ α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) P(VV, AA/ θ ). +.,% + 7

8 O poder do teste é a probabilidade de Rejeitar H 0 quando ela é falsa, é uma decisão correta. É calculada sob a região crítica. Neste caso é a P( VV, AA/ H 0 é falsa ) MAS - β P( VV, AA/ H 0 é falsa ) P( VV, AA/ H é verdadeira) P( VV, AA/ θ ). Assim devemos analisar quatro situações: θ 0, θ, θ e θ ISTO É: θ 0 θ θ θ θ 0 Neste caso Então: - β P( VV, AA/ θ ) P( VV, AA/ θ 0 ) % θ Neste caso Então: - β P( VV, AA/ θ ) P( VV, AA/ θ ) % θ Neste caso Então: - β P( VV, AA/ θ ) P( VV, AA/ θ ) % 8

9 θ Neste caso Então: - β P( VV, AA/ θ ) P( VV, AA/ θ 0 ) % Em Resumo, tem-se: θ 0 β 0% 0% - 0% 0% - β 00% 0% - 0% 00% α,% β 00% Poder do Teste 00% β Erro do Tipo II 0% 0% 0% θ 0 0% θ 0 Um dado é lançado seis vezes para testar a hipótese nula de que P(F ) /6 contra a alternativa de que P(F ) > /6 Rejeita-se a hipótese nula se X número de faces um for maior ou igual a quatro. Determinar o nível de significância e o poder do teste. 9

10 Espaço amostra S { 0,,,,,, 6 } H 0 : p /6 H 0 : p > /6 Região De Rejeição (Crítica) Região de Não Rejeição O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar H 0 quando ela é verdadeira, neste caso ele é a probabilidade de obtermos X, quando n 6 e p / Sob H 0 : p /6 α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) P(X / p /6) ,87% O poder do teste é a probabilidade de Rejeitar H 0 quando ela é falsa, é uma decisão correta. É calculada sob a região crítica. Neste caso é P(X / H 0 éfalsa) MAS - β P(X / H 0 éfalsa ) P(X / H é verdadeira) P(X / p>/6 ). Neste caso, o poder do teste é uma função de p. Vamos avaliar esta função para alguns valores de p. p 0,0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 - β,70,76 7,0,7 7,9,,7 p 0, 0,60 0,6 0,70 0,7 0,80 0,8 - β,, 6,7 7, 8,06 90, 9,7 p 0,90 0,9,00 - β 98, 99,78 00,00 0

11 ,0 0,8 Poder do Teste Erro do Tipo II β β 0,6 0, 0, 0,0 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,0 p