Tudo começa em pizza. Série Problemas e Soluções. Objetivos 1. Introduzir a relação entre diâmetro e área de um círculo através de um problema.

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1 Tudo começa em pizza Série Problemas e Soluções Objetivos 1. Introduzir a relação entre diâmetro e área de um círculo através de um problema.

2 Tudo começa em pizza Série Problemas e Soluções Conteúdos Relação entre a área e o diâmetro de uma circunferência. Duração Aprox. 6 minutos. Objetivos 1. Introduzir a relação entre diâmetro e área de um círculo. Sinopse Donatello e Michelangelo conversam sobre a relação do diâmetro e a área de um círculo para fazer as pizzas de seu novo empreendimento. Material relacionado Vídeos: Roda do sonho, As aventuras de Radix, Panquecas da dona Glória, ; Experimentos: Polígonos e circunferência;

3 Introdução Sobre a série A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O segundo bloco do programa apresenta as soluções e alguns comentários ou informações adicionais. Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor aproveitar o conteúdo. Sobre o programa Michelangelo e Donatello são irmãos bastante diferentes. Donatello é apavorado e não é muito fã de contas, enquanto Michelangelo é calmo. Os dois estão prestes a abrir uma pizzaria, mas resta definir o tamanho das pizzas. Como fazer? É necessário definir diversos tamanhos de pizza para satisfazer a fome de diferentes clientes. As pizzas devem ter 6, 8, 12 e 16 pedaços segundo Donatello e um ponto de grande importância é que todos os pedaços tenham o mesmo tamanho independente do número de pedaços de pizza. Contudo, Donatello não tem a menor idéia de como definir o tamanho da pizza de tal forma que esta restrição seja satisfeita. Tudo começa em pizza 3/7

4 Michelangelo dá a solução: para que os pedaços de pizza tenham o mesmo tamanho é necessário que eles tenham a mesma área! E qual a área de um pedaço de pizza? Michelangello pede a Donattelo que ele ligue para algumas pizzarias e pergunte o tamanho das pizzas e o número de pedaços para que eles possam ter uma base na definição da área de um pedaço de pizza. Entretanto, será que o atendente da pizzaria sabe a área do pedaço da pizza? Ninguém saberá tal resposta ironiza Donatello pela sua aversão a matemática. Michelangelo responde apropriadamente ao afirmar que é necessário somente conhecer o tamanho da pizza e a partir do número de pedaços, é possível calcular o tamanho do pedaço de uma pizza. Donatello se empolga e complementa que para saber o tamanho da pizza, basta conhecer o diâmetro e esta informação é conhecida por qualquer atendente! O raio também é outra informação útil no lugar do diâmetro, já que o último é duas vezes o primeiro, ou seja, se o diâmetro da pizza é D, o raio é dado por R, então R = D/2. Na sua pesquisa, Donatello descobre que a pizza mais comum tem 35cm de diâmetro com 8 pedaços. Agora, é fácil calcular o tamanho das outras pizzas - basta seguir a proporção. Segundo Donatello, por exemplo, a pizza com 16 pedaços deve ter 70cm de diâmetro. Michelangelo corrige rapidamente Donatello, são necessárias algumas contas, não é tão simples! A relação não é linear. Se uma pizza apresenta diâmetro D, a área é dada por A, Tudo começa em pizza 4/7

5 A = π(d/2) 2. A partir da relação acima, é possível ver facilmente que a relação não é linear como tinha pensado Donatello. Sugestões de atividades Antes da execução O professor deve revisar o conceito de função e dos casos que tenha inversa. Por exemplo, y = x + 5 tem função inversa dada por x = y 5; y = x 2 tem função inversa dada por x = y 0,5, para intervalos apropriados, isto é, y 0 e x 0. Durante a execução No instante 1:54, o professor pode pausar o áudio para anotar os números de pedaços que devem ter as pizzas de Donatello e Michelangelo. Igualmente, no instante 3:18, para anotar a relação entre raio R e o diâmetro D da pizza apresentado na seção Sobre o Programa. Depois da execução Uma pizza de 35,00cm de diâmetro tem área igual a 962,11cm e, portanto, cada pedaço de pizza tem tamanho igual a 120,26cm. Então, Número de pedaços Área total da pizza (cm) 6 721,58 Tudo começa em pizza 5/7

6 , A partir da área total da pizza, pode-se calcular o diâmetro de cada tamanho de pizza. Para tanto, é necessário encontrar a função inversa da área A total da pizza, D = 2*(A/π) 0,5. Agora, o cálculo do diâmetro para cada tamanho de pizza segue, Número de pedaços Área total da pizza (cm) 6 30, , ,50 Sugestões de leitura W. Spinelli e M. H. Souza (2001). Matemática 6ª Série. Editora Ática. O. Guelli (2004). Matemática em Construção 5ª Série. Editora Ática. Ficha técnica Autor Márcio Augusto Diniz Revisão Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Tudo começa em pizza 6/7

7 Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Tudo começa em pizza 7/7