CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 2 Noções Básicas sobre Erros

3 A resolução de problemas numericamente envolve várias fases que podem ser assim estruturadas: Cálculo Numérico 3/58

4 Problema Real Levantamento de Dados Construção do Modelo Matemático Escolha do Método Numérico Adequado Implementação Computacional deste Método Análise dos Resultados Obtidos Se Necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico Cálculo Numérico 4/58

5 Mesmo que todas as fases sejam realizadas, é comum que os resultados obtidos estejam do que se esperaria obter. Isto porque os resultados dependem também: Da precisão dos dados de entrada; Cálculo Numérico 5/58

6 Sistemas Numéricos Cálculo Numérico 6/58

7 Representação de Números EXEMPLO 1: Questão de uma prova Calcular a área de uma circunferência de raio 100 m. Resposta de três alunos: a) A = m 2 b) A = m 2 c) A = ,92654 m 2 Cálculo Numérico 7/58

8 Representação de Números Porque eiste esta diferença? A diferença ocorreu na forma como cada aluno representou o número p. a) p = 3,14 b) p = 3,1416 c) p = 3, Neste caso, o erro depende da aproimação escolhida para p. Cálculo Numérico 8/58

9 Representação de Números Qual a resposta correta? Não eiste uma resposta correta. Porém, quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. É possível obter eatamente esta área? Qualquer que seja a circunferência, o valor de sua área nunca será obtida eatamente. Cálculo Numérico 9/58

10 Representação de Números A representação de um número escolhida ou disponível na máquina em uso e do usados na sua representação. A área de uma circunferência é dada por: A= pr 2 O número p não pode ser representado através de um número finito de dígitos decimais. Cálculo Numérico 10/58

11 Sistema Decimal Sistema decimal (na base 10): Utiliza 10 algarismos para representar os números = = = = = Cálculo Numérico 11/58

12 Sistema Binário Sistema binário (na base 2): utiliza apenas dois estados (0 ou 1) = = = = = = Cálculo Numérico 12/58

13 Sistemas Numéricos Um computador opera normalmente no sistema binário. Portanto, a interação entre usuário e computador será da seguinte forma: O usuário envia ao computador dados no sistema decimal; Esta informação é convertida para o sistema binário; Todas as operações são efetuadas no sistema binário; Os resultados finais são convertidos novamente para o sistema decimal. Cálculo Numérico 13/58

14 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE Cálculo Numérico 14/58

15 Algarismos Significativos Os de um número são aqueles que podem ser usados com confiança. Corresponde ao número de algarismo estimado. Cálculo Numérico 15/58

16 Algarismos Significativos Cálculo Numérico 16/58

17 Algarismos Significativos 2,85 cm 2,87 cm 2,89 cm 2 algarismos corretos 1 algarismo estimado Cálculo Numérico 17/58

18 Algarismos Significativos EXEMPLO: Quantos algarismos significativos tem o número ? Ele pode ter 3, 4 ou 5 algarismos significativos, dependendo de os zeros serem conhecidos com confiança. Resolvemos esta incerteza usando a notação científica: 4, , , Três Quatro Cinco algarismos significativos Cálculo Numérico 18/58

19 Algarismos Significativos EXEMPLO: Quantos algarismos significativos têm os números: 0, , , Quatro algarismos significativos Todos podem ser colocados na forma 0, n. Esta é a forma de representação de um número em. Cálculo Numérico 19/58

20 Aritmética de ponto flutuante Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado, onde: Mantissa A parte fracionária é chamada mantissa ou significando; A parte inteira é chamada epoente ou característica (e). A base do sistema numérico é dado por b. Cálculo Numérico 20/58

21 Representação em ponto flutuante Em qualquer máquina, apenas um subconjunto dos números reais é representado eatamente e, portanto a representação de um número real será realizada através de truncamento ou arredondamento. Cálculo Numérico 21/58

22 Representação em ponto flutuante No sistema decimal, teremos que qualquer número com k dígitos decimais pode ser representado por: com Esta é a representação truncada de um número real qualquer com k dígitos. Cálculo Numérico 22/58

23 Representação em ponto flutuante O arredondamento com k dígitos é dado por: d k 1 5 Se, adicionamos 1 a d k, ou seja, arredondamos para cima. Quando d k+1 <5, simplesmente desconsideramos todos os valores, menos os primeiros k algarismos, ou seja, arredondamos para baio. Cálculo Numérico 23/58

24 Representação em ponto flutuante Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis sejam declaradas em precisão dupla. Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética de ponto flutuante, mas com aproimadamente o dobro de dígitos disponíveis na mantissa. É importante lembrar que, nesse caso, o tempo de eecução e requerimentos de memória aumentam significativamente. Cálculo Numérico 24/58

25 EXEMPLO 2 Considere uma máquina que opera em aritmética de ponto flutuante no sistema: b = 10, k = 4 e e 5,5 a) Como será a representação dos números neste sistema? b) Qual o menor número, em valor absoluto, representado nesta máquina? c) Qual o maior número, em valor absoluto, representado nesta máquina? Cálculo Numérico 25/58

26 EXEMPLO 2 Considere o seguinte conjunto: G R / m M Dado um número real, teremos três situações diferentes para este sistema: G m será representado, com arredondamento ou truncamento, se necessário A máquina irá acusar underflow M A máquina irá acusar overflow Cálculo Numérico 26/58

27 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO A em aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos dois números. Para isto, a mantissa do número de menor epoente deve ser deslocada para a direita. Este deslocamento deve ser um número de casas decimais igual à diferença entre os dois epoentes. Observe: Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação estejam representados eatamente no sistema, NÃO se pode esperar que o resultado armazenado seja eato. Cálculo Numérico 27/58

28 EXEMPLO 3 Dados = 9370 e = 12,72. Obtenha + para um sistema com k = 4 usando aritmética de ponto flutuante com acumulador de precisão dupla. Arredondamento: 0, Truncamento: 0, Cálculo Numérico 28/58

29 EXEMPLO 3 Obtenha agora, para este mesmo sistema. Arredondamento: 0, Truncamento: 0, Cálculo Numérico 29/58

30 Zero em ponto flutuante O zero em aritmética de ponto flutuante é, em geral, representado com o, para evitar perda de dígitos significativos no resultado da adição deste zero a um outro número. EXEMPLO 4: Em uma máquina que opera na base 10 com e 4 dígitos na mantissa, e precisão dupla. 5,5 Para = 0, e = 0, : + = 0, Cálculo Numérico 30/58

31 ERROS: Erro Absoluto Erro Relativo Cálculo Numérico 31/58

32 Erro Absoluto Valor verdadeiro = aproimação + erro absoluto O erro numérico é igual à discrepância entre o valor verdadeiro e a aproimação, que é chamado erro absoluto. EA onde, é o valor verdadeiro e é o valor aproimado. PROBLEMA: não leva em conta a ordem de grandeza. Cálculo Numérico 32/58

33 Erro Relativo O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor aproimado: ER O erro relativo percentual é dado por: t 100% Cálculo Numérico 33/58

34 EXEMPLO 5 Suponha que você tenha a tarefa de medir os comprimentos de uma ponte e de um parafuso e obteve as medidas cm e 9 cm, respectivamente. Se os valores verdadeiros forem cm e 10 cm, respectivamente, calcule para cada caso: a) O erro absoluto verdadeiro ( EA ); b) O erro relativo percentual verdadeiro ( t ). Cálculo Numérico 34/58

35 EXEMPLO 5 a) EA ponte = EA parafuso = 1 cm. b) t(ponte) = 0,01% e t(parafuso) = 11,11 %. Embora ambas as medidas tenham um erro absoluo de 1 cm, o. Conclusão: A medida da ponte foi bem feita, mas a estimativa para o parafuso deia a desejar. Cálculo Numérico 35/58

36 Aproimação para o erro Para os métodos numéricos, o será conhecido ao se lidar com funções que podem ser resolvidas. Nas aplicações do mundo real, geralmente conhecemos a resposta verdadeira. Nestes casos, encontramos um para o erro, o que fornece de erro. Cálculo Numérico 36/58

37 ERROS: Erros Máimos nas Operações Matemáticas Cálculo Numérico 37/58

38 Arredondamento e Truncamento Seja um sistema que opera em aritmética de ponto flutuante de k dígitos na base 10, e seja, escrito na forma: e f 10 g 10 ek 0,1 f 1 0 g 1 onde: e. EXEMPLO 6: Seja um sistema com k = 4 e = 234,57, então: 0, f 0,2345 0, 7 onde: e. g 3 0,7 10 Cálculo Numérico 38/58 1

39 Arredondamento e Truncamento ek Na representação de nesse sistema não pode ser incorporado totalmente à mantissa. Então surge a questão de como considerar esta parcela na mantissa e definir o erro absoluto ou relativo cometido. g 10 Cálculo Numérico 39/58

40 Truncamento g 10 ek 10 e é desprezado e. Neste caso: f ek EA g ek g 1 visto que. E: ER EA g f ek ek 10 k 10 e 0,1 10 e 1 Visto que 0,1 é o menor valor possível para f. Cálculo Numérico 40/58

41 Arredondamento f é modificado para levar em conta g. A forma mais comum é o arredondamento simétrico. f f e e, 10 ek se, se g g 0,5 0,5 g 0,5 Portanto, se, g é desprezado; caso contrário, somamos o número 1 ao último dígito de f. Cálculo Numérico 41/58

42 Arredondamento g 0,5 Então, se : ek EA g 10 0,5 10 ek e ER EA g f ek 10 0,5 10 ek 0,5 10 k 10 e 0,1 10 e 1 Cálculo Numérico 42/58

43 Arredondamento g 0,5 Agora, se : EA g 10 0,5 10 ek ek 10 e ek ) e ek f 10 g 10 f ) ek ) ek g 1 10 e e ER f ek ek ek 0,5 10 0,5 10 0,5 10 k 1 10 e 10 ek f 10 e 0,1 10 e 0,5 10 Cálculo Numérico 43/58

44 Arredondamento Portanto, em qualquer caso de arredondamento, teremos: EA 0,5 10 ek e ER 0,5 10 k 1 Apesar do uso de arredondamento implicar erros menores, eige maior tempo de eecução e, portanto, o truncamento é mais utilizado nos sistemas. Cálculo Numérico 44/58

45 Eemplo 7 Seja um sistema em aritmética de ponto flutuante com k = 4, b = 10. Considerando truncamento, temos que: EA 10 ek e ER 10 k 1 Seja = 100,09999, qual será o erro cometido nesta aproimação (absoluto e relativo)? EA 0, e ER 0, Cálculo Numérico 45/58

46 Eemplo 7 Considerando arredondamento, temos que: EA 0,5 10 ek e ER 0,5 10 k 1 Seja = 100,05001, qual será o erro cometido nesta aproimação (absoluto e relativo)? EA ER 0, e 0, ,5 10 0, Cálculo Numérico 46/58

47 ANÁLISE DE ERROS NAS OPERAÇÕES Dada uma sequência de operações, como, por eemplo, u = [ ( + ) z t ] / w, é importante a noção de como o erro em uma operação propaga-se ao longo das operações subsequentes. O em uma operação é composto pelo erro das parcelas ou fatores e pelo erro no resultado da operação. Cálculo Numérico 47/58

48 Na maioria dos sistemas, o resultado eato da operação (denotado por OP) é normalizado e, em seguida, arredondado ou truncado para k dígitos, obtendo assim, o resultado aproimado (denotado por OP ) que é armazenado na máquina. Então, o erro relativo do resultado de uma operação (supondo que as parcelas ou fatores estão representados eatamente) será: Truncamento: ER OP 10 k 1 Arredondamento: ER OP 0,5 10 k 1 Cálculo Numérico 48/58

49 Erro nas operações aritméticas Veremos as fórmulas para os erros absoluto e relativo nas operações aritméticas. Sejam e, tais : e EA EA Cálculo Numérico 49/58

50 Erro nas operações aritméticas ADIÇÃO: Erro absoluto: EA ) EA ) ) EA EA ) EA EA EA Erro relativo: ER EA ER ER Cálculo Numérico 50/58

51 Erro nas operações aritméticas SUBTRAÇÃO: Erro absoluto: EA ) EA ) ) EA EA ) EA EA EA Erro relativo: ER EA EA ER ER Cálculo Numérico 51/58

52 Erro nas operações aritméticas MULTIPLICAÇÃO: Erro absoluto: EA ) EA ) ) EA EA EA EA ) EA EA EA muito pequeno Erro relativo: ER EA EA ER ER Cálculo Numérico 52/58

53 Erro nas operações aritméticas DIVISÃO: Simplificação: Erro absoluto: EA ) EA ) EA ) 1 EA 1 muito pequeno Desprezam-se os termos de potência >1 EA EA 2 EA EA 2 EA EA 2 EA Erro relativo: ER ER ER Cálculo Numérico 53/58

54 Erro nas operações aritméticas Escrevemos todas essas fórmulas SEM considerar o erro de arredondamento ou truncamento no resultado final. O em uma operação é composto pelo erro das parcelas ou fatores e pelo erro no resultado da operação. Cálculo Numérico 54/58

55 Eemplo 8 Suponha que,, z e t estejam representados eatamente. Qual o erro relativo total MÁXIMO do cálculo de u = ( + ) z t, considerando arredondamento? Calcularemos o erro relativo e denotaremos por ER OP, o erro devido ao arredondamento no resultado da operação. Cálculo Numérico 55/58