Processo de chegada: o Chegadas em grupo ocorrem segundo um processo Poisson com taxa. O tamanho do grupo é uma variável aleatória discreta

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1 Aula 5 Como gerar amostras de uma distribuição qualquer a partir de sua CDF e de um gerador de números aleatórios? Processo de chegada: o Chegadas em grupo ocorrem segundo um processo Poisson com taxa. O tamanho do grupo é uma variável aleatória discreta Assuma que possa ser estimada para. o Se uma simulação se inicia no instante ZERO e queremos programar a próxima chegada do grupo, qual o tamanho do grupo neste instante? o Quando uma determinada pessoa da fila é colocada em serviço, sabendo que o serviço é dado por uma variável aleatória com conhecida (gráfica ou analiticamente), qual o serviço a ser alocado a essa pessoa? Veremos que amostra de uma variável aleatória poderá sempre ser gerada com uso de um gerador de números pseudoaleatórios e com a inversa da função. Precisaremos, para isso, de estudar as funções de variáveis aleatórias. 1

2 Funções de Variáveis Aleatórias Assuma que é uma variável aleatória com e conhecidos. Queremos obter a pdf e a CDF de, tal que, onde é uma função qualquer. O que isso quer dizer? Se é uma amostra de X, então é uma amostra de. Além disso, e também. Como obter? Resposta: 3 passos. I II III Observe que ( ) ( ) [ ] [ ] que é o Teorema Fundamental da Esperança. Os 3 passos permitem relacionar as pdf s de e. a) Exemplos (outros existem na apostila): { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

3 b) Lembrar que é uma função não decrescente e que tende a 1. Então,. ( ) Ou seja, Y é uma variável aleatória com Distribuição Uniforme entre 0 e 1. Y é a uniforme unitária, representada por. Sabemos que e que e. No caso acima, e e. Como pode ser obtido com um gerador de números aleatórios entre 0 e 1,, então, dado,. 3

4 Graficamente, Como obter uma amostra de X qualquer? Obtenha amostra da uniforme unitária U(0,1) com uso de um gerador pseudo-aleatório [qualquer linguagem de programação fornece uma chamada de função RAND() ou RANDOM() que retorna um valor aleatório entre 0 e 1 (pseudo-aleatório, como veremos mais adiante)]. Faça a inversa, calculando, analiticamente, graficamente ou algoritmicamente. 4

5 Exemplo: Amostra da exponencial Então, dado amostra de U(0,1): Observação: Na prática, é também um valor aleatório, de modo que podemos calcular a amostra de X com Distribuição Exponencial com taxa como: economizando uma operação de subtração. 5

6 Exemplo: Amostra de uma geométrica Observação: Recordando Progressão Geométrica 6

7 Obtenha amostra de U(0,1) = RAND() Para, determine inteiro, tal que ( ) Atenção: O valor de q varia entre 0 e 1, de forma que Dividir por força a inversão do sinal da inequação! é negativo. Retorne é também uma uniforme! 7

8 Os procedimentos vistos se aplicam a qualquer variável aleatória, seja ela discreta, contínua ou mista. Exemplo: Exponencial Truncada Muito simples gerar a amostra de uma v.a. qualquer! Fazer a inversa é a única dificuldade! 8

9 Exponencial truncada Algoritmo U = RAND(); Se U Se U, retorna x=a;, retorna x=b; Caso contrário, retorna x = -(ln(1-u))/. (neste caso não pode eliminar a subtração!) 9

10 Interessante uso da CDF: 1 1 ( ) 2 2 [ ] ( ) Ver prova na página 49 da apostila, seção

11 Geração de números pseudo-aleatórios Referência: ver apostila (capítulo 16), capítulo 3 Knuth (69), etc. Como gerar uma seqüência de números que se repetem num determinado ciclo daí a denominação de pseudo e que seguem uma aparente aleatoriedade? Método Básico: Gerador Congruencial Exemplo: c=0, b=9, Z 0 = 1 Período de oito! Você acha que estes números parecem ser aleatórios? Sempre crescentes. Não parece. O gerador depende da escolha dos parâmetros. Para m primo e escolha adequada de b produz período de (m-1). IBM 1360 palavra de 32 bits, 1 bit de sinal (maior inteiro primo) Pacote SIMSCRIPTH II (pacote estatístico) Trabalho dos estatísticos e não nosso! Para gerar um número aleatório entre 0 e 1 faz-se o período de m-1., se temos 11

12 Lembrar que a seqüência pseudo-aleatória é totalmente determinística. Com precisão estendida em máquinas de 32 ou 64 bits o período é enorme. S 0 semente inicial S 0 repete no final do período SRAND(S 0 ) função para fixar a semente inicial RAND() retorna próximo número (dependendo da linguagem pode ser no intervalo 0 e 1 ou não, sendo necessário dividir pelo módulo utilizado. Veja a definição da função geradora). Fixar a semente serve para garantir que estamos percorrendo uma parte determinada da seqüência pseudo-aleatória. Se quiser percorrer seqüências distintas uso sementes bastante afastadas, que garantem independência de comportamento estatístico. S 0 S 1 S 0 12