MAE0229 Introdução à Probabilidade e Estatística II

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1 Exercício Entre jovens atletas, um nível alto de colesterol pode ser considerado preocupante e indicativo para um acompanhamento médico mais frequente. Suponha que são classificados como tendo taxa de colesterol alta, atletas cujos valores das taxas de colesterol estejam acima de 90mg/ml e, como tendo taxa normal os demais. Para um bom planejamento do serviço médico, deseja-se estimar, com base em uma amostra, a proporção p de jovens atletas com taxa de colesterol alta. a) Qual deve ser o tamanho da amostra n para que o erro cometido ao se estimar p seja no máximo 0, 05 com probabilidade de 95%? b) Se os médicos garantem que p seja no máximo 0%, é possível reduzir o tamanho da amostra? c) Em caso afirmativo de quanto? Denote por ao número de atletas jovens com taxa de colesterol alta. p é a proporção de atletas jovens com taxa de colesterol alta. a) Vamos supor que o AAS é feito com reposição, o tamanho da amostra é dado por zγ ) n = p p) ɛ Conforme o enunciado ɛ = 0, 05, γ = 0, 95 assim z γ =, 96. Logo, zγ ) n = p p) = ɛ ), 96 0, 5 0, 5) = 384, 6. 0, 05 Portanto, o tamanho da amostra para que o erro comido ao se estimar p seja no máximo 0,05 com probabilidade de 95% deve ser aproximadamente 385. b) Se os médicos garantem que p 0, 0, temos que zγ ) n = p p) = ɛ ), 96 0, 0 0, 0) = 45, , 05 Assim, n = 46 e portanto a garantia dos médicos reduz o tamanho da amostra. c) O tamanho da amostra pode ser reduzido em = 39. Observação: Ver slides Noções de Amostragem I. Exercício Uma variável aleatória tem distribuição normal com média 0 e desvio padrão 4. Aos participantes de um jogo é permitido observar uma amostra de qualquer tamanho e calcular a média amostral. Ganha um prêmio aquele cuja média amostral for maior que. Página de 0

2 a) Se um participante escolher uma amostra de tamanho 6, qual a probabilidade de ele ganhar um prêmio? b) Escolha um tamanho de amostra diferente de 6 para participar do jogo. Qual a probabilidade de você ganhar um prêmio? c) Baseado nos resultados acima, qual o melhor tamanho da amostra para participar do jogo? Temos que N0; 4 ) e note que sob as considerações do jogo, o participante ganha um premio quando x >. Assim, para qualquer mostra de tamanho n temos que a probabilidade de ganhar é dada por ) ) ) 0 n n P > ) = P Z > 4/ = P Z > = A ) n a) Usando ) temos que o participante que escolheu uma amostra de tamanho n = 6, tem a seguinte probabilidade de ganhar ) n P > ) = A = A) = 0, 9 = 0, 08. b) Vamos considerar dois tamanhos amostrais n = 9 e n = 5. Logo, obtemos que: n ) Para n = 9 P > ) = A = A, 5) = 0, 933 = 0, n ) Para n = 5 P > ) = A = A, 5) = 0, 9938 = 0, 006. Portanto, temos suspeito que quando o tamanho amostral aumenta, a probabilidade de ganhar no jogo diminui. c) Baseado nos resultados acima temos suspeito que quando o tamanho amostral diminui, a probabilidade de ganhar no jogo aumenta. Além disso, em ) observe que, a maior valor n ) de n, maior é A e em consequência menor é a probabilidade de ganhar o premio. Portanto, um tamanho de amostra menor seria melhor para participar no jogo. Exercício 3 Sabe-se que 60% dos passageiros de vôos internacionais da CIA Beta preferem refeições com carne, enquanto 40% preferem massa. Supor um vôo com 300 passageiro. a) Qual o número esperado de passageiros que deverão pedir refeição com carne neste vôo? b) Calcule a probabilidade de pelo menos 0 passageiros pedirem refeição com carne neste vôo. c) Se no mesmo vôo a companhia aérea dispõe de 00 refeições com carne e 0 com massa, qual a probabilidade de todos os passageiros serem atendidos? Use aproximação da binomial pela normal. Página de 0

3 Seja : Número de pessoas que preferem carne em suas refeições, e p a proporção de pessoas que preferem carne em suas refeições. Suposição: Bn; p). a) Em um vôo de n = 300 passageiros, o número esperado de passageiros que deverão pedir refeição com carne é b) Como Bn; p), temos que E) = n p = 300 0, 6 = 80. Var) = n p p) = 300 0, 6 0, 4 = DP) = 8, 49 Assim, a distribuição de pode ser aproximada por Y N80; 8, 49 ) e note que Z = Y 80 N0; ). 8, 49 Logo, ) 0 80 P > 0) P Z > 8, 49 = PZ >, 8) = PZ, 8) = PZ >, 8) = [ A, 8)] = A, 8) = 0, 88 Portanto, a probabilidade de pelo menos 0 passageiros pedirem refeição com carne neste vôo é de 0,88. c) Agora precisamos achar P80 00), pois devem ser atendidos os pedidos de carne e de massa. Assim usando os resultados obtidos nos itens a) e b) tem-se que P80 00) P80 Y 00) = P Y 80 8, 49 8, 49 = P0 Z, 36) = A, 36) A0) = 0, , 5 = 0, 4909 ) , 49 portanto a probabilidade de todos os passageiros que pedirem carne serem atendidos é de 0,4909. Página 3 de 0

4 Exercício 4 O número de pacotes turísticos vendidos por uma agência de viagens nos finais de semana segue distribuição de Poisson com λ = 49. a) Qual a probabilidade de num final semana a agência vender mais de 60 pacotes turísticos? b) E entre 55 e 65 pacotes? c) Qual é a quantidade de pacotes turísticos vendidos que será superada em apenas % dos finais de semana? Use aproximação da Poisson pela normal. Seja o número de pacotes turísticos vendidos nos finais de semana. Temos que Poiλ) com λ = 49, assim E) = λ = 49 Var) = λ = 49 DP) = 49) =. Agora, a distribuição de pode ser aproximada por Y N49; ). Portanto, Z = Y 49 N0; ). Logo: a) A probabilidade de num final de semana a agência vender mais de 60 pacotes turísticos é dada por ) P > 60) P Z > = PZ >, 5) = A, 5) = 0, 948 = 0, 058. b) A probabilidade de num final de semana a agência vender entre 55 e 65 pacotes turísticos é ) P55 65) P Z = P0, 86 Z, 9) = PZ, 9) PZ 0, 86) = A, 9) A0, 86) = 0, , 805 = 0, 839 c) Precisamos encontrar o valor de a, tal que P > a) = 0, 0. 0, 0 = P > a) P Z > a 49 ) = P Z a 49 ) ) a 49 = A Assim, A ) a 49 = 0, 99, e portanto a 49 =, 33. Logo a =, 33) + 49 = 65, 3. Por fim a quantidade de pacotes turísticos vendidos que será superada em apenas % dos finais de semana é aproximadamente 66. Página 4 de 0

5 Exercício 5 Sejam e Y variáveis aleatórias independentes tais que E ) = θ, E Y) = θ e Var ) = Var Y) = θ. Considere T = Y e T = + Y) como estimadores de θ. 3 a) Mostre que T e T são não tendenciosos b) verifique qual estimador é mais eficiente. a) Lembre-se que T e T são não tendenciosos de θ, se ET ) = θ e ET ) = θ. ET ) = EY ) = EY) E) = θ θ = θ ET ) = E { 3 + Y)} = 3 E + Y) = 3 {E) + EY)} = 3 θ + θ) = θ Portanto, T e T são estimadores não tendenciosos de θ. b) Para saber qual dos dois estimadores é mais eficiente, precisamos calcular as suas variâncias. VarT ) = VarY ) = VarY) + Var) = θ + θ = θ VarT ) = Var { 3 + Y)} = ) 3 Var + Y) = 9 {Var) + VarY)} = 9 θ + θ ) = 9 θ Como 9 θ < θ, conclui-se que T é mais eficiente do que T. Exercício 6 Seja,..., n uma amostra aleatória de uma população de média µ e variância σ. Considere os seguintes estimadores para a média populacional µ : T = + ) e T = n + + n ). a) Mostre que os dois estimadores são não tendenciosos b) obtenha Var T ) e Var T ) c) Qual dos estimadores é mais eficiente? Como,..., n é uma amostra aleatória de uma população com média µ x e variância σ x, E i ) = µ x e Var i ) = σ x para todo i =,..., n. a) Note que ET ) = E { + ) } = {E ) + E )} = ) µx + µ x = µx Página 5 de 0

6 ) { } ET ) = E n i = n E i ) = n µ x = n n µ x) = µ x i= i= i= Portanto, T e T são estimadores não tendenciosos de µ x b) Para T temos que { } ) VarT ) = Var + ) = {Var ) + Var )} = σ 4 x + σx) = 4 σ x = σ x Para T temos que VarT ) = Var n i = Var i ) = σ n) n) x = ) n σ n x = n σ x i= i= i= c) Note que para todo n >, temos que σ x > n σ x. Portanto, T é mais eficiente do que T. Exercício Com base numa amostra de n = 3 proveninte de uma população de média µ e variância σ foram propostos para µ os seguintes estimadores: T = ) T = + 3 ) T 3 = ) T 4 = ) a) Obtenha a variância de cada estimador. b) Obtenha o viés de cada estimador. c) Entre os não tendenciosos qual escolher? Justifique. Como,, 3 é uma amostra aleatória de uma população com média µ e variância σ, segue que E ) = E ) = E ) = µ Var ) = Var ) = Var 3 ) = σ Página 6 de 0

7 a) Vamos calcular a variância dos estimadores { } ) VarT ) = Var 5 { ) = Var ) + 3 Var ) + Var 3 ) } = 5 { } ) VarT ) = Var + 3 ) = {Var ) + Var 3 )} = σ 4 + ) σ = { } VarT 3 ) = Var ) = 4 σ 5 σ ) { Var ) + Var ) + Var 3 ) } = 6 6 σ = 3 8 σ ) ) VarT 4 ) = Var ) = Var ) + Var ) + Var 3 )) = σ = 3 σ b) Agora, vamos calcular o viés dos estimadores. Lembre que o viés do estimador T i, para i =,..., 4 é dado por E T i ) µ. ) Portanto, vamos calcular inicialmente E T i ) para i =,..., 4. Assim, temos que { } ET ) = E ) = 5 {E ) + 3E ) + E 3 )} = ) µ + 3µ + µ = µ 5 { ) ET ) = E + 3 ) = E ) + E 3 )} = µ + µ ) = µ { } ET 3 ) = E ) = 4 {E ) + E ) + E 3 )} = ) µ + µ + µ = µ 4 { } ET 4 ) = E ) = 3 {E ) + E ) + E 3 )} = ) µ + µ + µ = µ 3 Note que os quatro estimadores são não tendenciosos, assim usando ) temos que o viés dos quatro estimadores é zero. c) Pelo item anterior sabemos que T, T, T 3, T 4 são estimadores não tendenciosos. Assim, ireimos escolher T 4, pois tem a menor variância e menor EQM), em consequência é o mais eficiente. Exercício 8 Com base numa amostra de n = 3 proveninte de uma população normal de média µ e variância σ foram propostos para σ os seguintes estimadores: T = { ) + ) } T = ) + ) T 3 = { ) + ) + 3 ) } em que = + ) e = ) a) Obtenha o viés de cada estimador b) Entre os não tendenciosos qual escolher? Justifique. Página de 0

8 a) Considerando ), vamos calcular primeiramente a esperança de cada um dos estimadores. Assim, temos o seguinte Estimador T : Note que T pode ser expresso como { ) + ) } T = = i ) i= { i i + ) } = = i= = = i i= i= i + ) i ) + ) i= i= i ) Logo, E T ) = E i ) i= = E ) { ) } i E i= = [ Var i ) + {E i )} ] [ Var ) + E ) ) ] i= = [ ] σ + [ ] µ σ + µ i= = σ + µ σ ) µ = σ Uma forma alternativa de calcular E T ) é notar que T é σ para uma amostra de tamanho n =, portanto E T ) = σ = σ. Portanto considerando ) temos que o viés de T fica dado por E T ) σ = σ σ = σ. Página 8 de 0

9 Estimador T : Para calcular o viés de T Note que: T = ) + ) { = ) + ) } = T. } {{ } T Logo, E T ) = E T ) = E T ) = ) σ = σ Assim, T é um estimador não tendencioso para σ Estimador T 3 : Para calcular o viés de T 3 observe que T 3 = { ) + ) + 3 ) } = 3 3 i= i ) = S Assim, E T 3 ) = E S ) = σ Portanto, T 3 é um estimador não tendencioso para σ b) Do item a) temos que os estimadores T e T 3 são não tendenciosos. Vamos calcular a variância de cada um deles para saber qual escolher. Estimador T : O estimador T pode ser visto como σ para uma amostra de tamanho n =. Assim, dado que,, 3 é uma amostra aleatória. proveniente de uma população N µ, σ), temos que Var T ) = Var ) ) σ = 4 Var σ = 4 σ 4 = σ4 Estimador T 3 : que Por argumentos mencionados acima e lembrando que T 3 = S, obtemos Var T 3 ) = Var ) S σ 4 = 3 = σ4. Por fim, dado que Var T ) > Var T 3 ), escolhemos o estimador T 3. Observação: Ver slides de estimação II. Exercício 9 Supor uma amostra aleatória,..., n de uma distribuição U[0, θ]. Sabemos pelas propriedades da distribuição uniforme que E i ) = θ e que Var i) = θ, para i =,..., n. a) Encontre um estimador T que seja função da média amostral ) tal que E T) = θ b) Obtenha Var T). Página 9 de 0

10 a) Sabemos que para uma amostra aleatória,..., n referente a uma variável aleatória o r-ésimo momento amostral m r é definido por m r = n i= r i, r =,,.... 3) Além disso, denotando por µ r o r-ésimo momento populacional da variável aleatória, temos que estimadores de momentos dos q primeiros momentos populacionais podem ser obtidos resolvendo o seguinte sistema de equações µ r = m r, para r =,..., q. 4) Assim, um estimador de momentos para o primeiro momento populacional µ = E ) = θ é dado por µ = m = i = 5) n No entanto, dado que E i ) = θ, temos que i= E ) = n E i = n i= E i ) = n i= i= θ = n ) n θ = θ e portanto é tendencioso. tendencioso para θ, pois Agora, é possível a partir de obter um estimador não E ) = θ E ) = θ E ) = θ E T) = θ, em que T =. Por fim, um estimador não tendencioso para θ é T =. b) Para calcular a variância de T, lembre que Var i ) = θ. Assim, temos que Var T) = Var ) = Var ) = 4Var i n = 4 n Var i ) = 4 θ n = θ 3n. Portanto Var T) = θ 3n. i= i= i= Página 0 de 0