PROBLEMAS SELECIONADOS DE DESENHO GEOMÉTRICO Parte II: Polígonos e Círculos. Sergio Lima Netto sergioln@lps.ufrj.br

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1 PROLEMS SELECIONDOS DE DESENHO GEOMÉTRICO Parte II: Polígonos e Círculos Sergio Lima Netto sergioln@lps.ufrj.br versão julho de 008

2 Prólogo Foi feito um grande esforço para reproduzir os desenhos que acompanham as questões da forma mais fiel possível, tanto para efeito de registro quanto para se determinar a resposta na escala desejada. Tenho que confessar que em alguns casos foi necessário um pequeno ajuste (em geral, não mais do que 1% da escala) para gerar o resultado desejado. Em relação às provas do IT, minhas fontes incluem cópias das provas (79 88), na escala original, distribuídas pelo Colégio Princesa Isabel, gentilmente fornecidas pelo amigo lessandro J. S. Dutra; cópias dos gabaritos (de 79, 80, 8 88, 93) fora da escala, disponibilizados pelo Curso Etapa através do site originais das provas de 83 e 84. Em relação às provas do IME, minha principal fonte das questões mais antigas foi uma pesquisa nos arquivos da própria instituição, no que fui auxiliado pelo Sub-Tenente Petrenko e sua equipe, a quem devo muitos agradecimentos. Como na Parte I, procurei acompanhar cada solução de uma breve análise do problema e de uma figura adequada, onde usei a seguinte legenda de cores: preto: dados do problema; verde: contruções auxiliares básicas; vermelho: elemento-chave para minha solução; azul: elemento desejado pelo problema. Como antes, a notação C(O, r) indica um círculo de centro O e raio r. Nesta versão, foi incluída a solução para IT 1993, Questão, e IME 1969/1970, Questão 1, Item. Com isto, todas as questões possuem pelo menos uma solução. Rio, julho de 008 Sergio L. Netto sergioln@lps.ufrj.br

3 1 Questões da FUVEST FUVEST 1996, Questão 10: Na figura abaixo são dadas duas semi-retas r e s de mesma origem e um ponto P. a) Utilize essa figura para construir, usando régua e compasso, os pontos em r e C em s de tal forma que o ponto P pertença ao segmento C e que seja igual a C. b) Descreva e justifique o processo utilizado na construção. r P FUVEST 1996, Questão 10. FUVEST 1997, Questão 10: a) Dados e um segmento de medida r, construa, usando régua e compasso, um triângulo isósceles sabendo que sua base é e o raio da circunferência inscrita nesse triângulo é r. b) Descreva as construções feitas. c) Justifique o porquê de cada construção. s r FUVEST 1997, Questão 10. 1

4 FUVEST 1998, Questão 10: a) Dadas as retas paralelas r e s e um ponto em r, construa um triângulo equilátero com um vértice em, outro vértice em r e o terceiro vértice em s. b) Descreva e justifique as construções feitas. r s FUVEST 1998, Questão 10. FUVEST 1999, Questão 10: a) Construa com régua e compasso, um trapézio CD, onde seja paralelo a CD, conhecendo-se os pontos, M, N e I, que satisfazem as seguintes condições: M é o ponto médio do lado D, N é o ponto médio de C e I é o ponto de intersecção do segmento MN com a reta que passa por e é paralela a D. b) Descreva e justifique a construção feita. M FUVEST 1999, Questão 10. I N

5 FUVEST 000, Questão 10: São dados os pontos e. Usando uma régua e compasso, construa a circunferência circunscrita a um polígono regular de 1 lados, que tem o segmento como um de seus lados. Descreva e justifique as construções utilizadas. FUVEST 000, Questão 10. FUVEST 001, Questão 10: São dados os pontos e e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabe-se que e pertencem, respectivamente, às diagonais CE e DF de um quadrado CDEF, cujo centro é O. distância de a O é igual a GH e a medida do lado do quadrado é igual a GI. Construa, usando régua e compasso, um quadrado CDEF, satisfazendo as condições acima. Descreva e justifique as construções utilizadas. FUVEST 00, Questão 10: São dados os pontos e M e a reta s. Sabese que o ponto é vértice de um paralelogramo CD; o lado está na reta s; M é o ponto médio do lado C e o ângulo CÂ tem medida 30o. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção. 3

6 G H I FUVEST 001, Questão 10. M FUVEST 00, Questão 10. s 4

7 Questões do IT IT 1979, Questão 11: Determinar, por construção geométrica, o comprimento da diagonal de um quadrado de área equivalente à da coroa da figura representada a seguir. () 47 mm () 57 mm (C) 45 mm (D) 50 mm (E) 6 mm IT 1979, Questão 11. 5

8 IT 1979, Questão 14: Os segmentos C e G são partes de um duto, representado por seu eixo e que, do ponto C ao ponto G, é encurvado em quatro arcos de circunferência que concordam nos pontos C, D, E, F e G, conforme a figura a seguir. Pede-se o comprimento do duto, no desenho na escala 1:,5. () 430 mm () 380 mm (C) 530 mm (D) 330 mm (E) 480 mm C D E F IT 1979, Questão 14. IT 1979, Questão 15: Determinar a soma dos raios de duas circunferências inscritas num triângulo C, tangentes aos lados deste e entre elas, sendo dado o ângulo  = 35o, a mediana relativa ao lado C, igual a 96 mm, e a mediana relativa ao lado C, igual a 60 mm. () 45 mm () 39 mm (C) 8 mm (D) 34 mm (E) 40 mm G 6

9 IT 1980, Questão 16: São dados dois pontos P e P e uma reta r. Determinar a soma dos raios das circunferências que contêm os pontos e são tangentes à reta. () 60 mm () 65 mm (C) 81 mm (D) 74 mm (E) 69 mm P P IT 1980, Questão 16. IT 1980, Questão 17: Um compressor centrífugo é acionado por um motor elétrico, sendo usada uma correia chata, suposta inteiramente tensa e de espessura desprezível. Sabendo-se que: polia do motor é de raio r 1 e de centro C 1. polia do compressor é de raio r e de centro C. r 1 = 00 mm, r = 400 mm, C 1 C = 1000 mm. Pede-se determinar o comprimento real da correia, sendo a escala 1:10. () 380 mm () 400 mm (C) 3940 mm (D) 3860 mm (E) 4000 mm IT 1980, Questão 18: Determinar o comprimento da mediana em relação ao vértice de um triângulo C, do qual conhecemos os pés das alturas H a, H b e H c, sabendo-se que o ângulo  é obtuso. () 56 mm () 61 mm (C) 7 mm (D) 75 mm (E) 80 mm r 7

10 H c H b H a IT 1980, Questão 18. IT 1980, Questão 19: Os lados e a base de um triângulo isósceles são os segmentos áureos da média proporcional de dois segmentos que medem, respectivamente, 60 e 90 mm. Determinar o semi-perímetro deste triângulo, considerando o menor segmento como a base. () 50 mm () 55 mm (C) 70 mm (D) 64 mm (E) 59 mm IT 1981, Questão 16: São dados uma circunferência de raio igual a 0 mm, um ponto P na mesma, um ponto P distante de seu centro e uma reta r, como mostra a figura abaixo. Rolando a circunferência sem escorregar sobre a reta, partindo do ponto P, desenvolver 315 o no sentido horário. Determinar a distância do centro da circunferência até o ponto P, quando a mesma completar o ângulo dado. () 8 mm () mm (C) 50 mm (D) 41 mm (E) 33 mm P P IT 1981, Questão 16. 8

11 IT 1981, Questão 19: Determinar o perímetro do trapézio de bases e EF equivalente ao pentágono CDE. () 15 mm () 10 mm (C) 44 mm (D) 5 mm (E) 0 mm D E C IT 1981, Questão 19. 9

12 IT 1981, Questão 0: char a área, em milímetros quadrados, da figura afim do quadrado CD (sentido horário), do qual conhecemos sua diagonal C e o ponto, afim do vértice. reta xy é o eixo de afinidade. () 10 mm () 1678 mm (C) 115 mm (D) 1530 mm (E) 1350 mm C y x IT 1981, Questão 0. 10

13 IT 198, Questão 16: s retas a, b e c são lugares geométricos de três pontos, respectivamente,, e C, que pertencem a uma circunferência. Sabendose que nesta circunferência o arco mede 10 o e o arco C mede 60 o, pergunta-se qual o valor de seu raio. () 3 mm () 37 mm (C) 5 mm (D) 47 mm (E) 4 mm (c) (b) (a) IT 198, Questão 16. IT 198, Questão 17: São dadas duas retas r e t e um ponto P. Determinar o raio da circunferência que passa por P, é tangente à reta t, sendo a reta r o lugar geométrico do centro O. () 3 mm () 19 mm (C) 41 mm (D) 5 mm (E) 38 mm 11

14 P t r IT 198, Questão 17. IT 198, Questão 18: M b e M c são, respectivamente, os pontos médios dos lados b e c de um triângulo C. Sabendo-se que o ângulo do vértice é igual a 60 o e que a altura conduzida deste mesmo vértice mede 4 mm, pergunta-se o valor do perímetro do triângulo. () 115 mm () 50 mm (C) 16 mm (D) 03 mm (E) 7 mm M b M c IT 198, Questão 18. IT 198, Questão 0: um ajustador mecânico é fornecida uma chapa de aço, retangular. Pede-se o apótema do maior pentágono que pode ser riscado nesta chapa, sabendo-se que as dimensões desta são, respectivamente, a 3 a proporcional e a média proporcional dos valores 150 mm e 15 mm. resposta deverá ser indicada na escala 1:,5. () 35 mm () 43 mm (C) 5 mm (D) 17 mm (E) 14 mm 1

15 IT 1983, Questão 16: s retas r, s e t são figuras afins das retas r, s e t. Determinar o raio da circunferência tangente às retas r, s e t, sabendo-se que os pontos e são pontos afins e x é o eixo de afinidade. () 0 mm () 5 mm (C) 30 mm (D) 35 mm (E) 4 mm x t s r IT 1983, Questão

16 IT 1983, Questão 17: Determinar o comprimento aproximado do lado oposto ao vértice de um triângulo qualquer, sendo dados os lados l 1 e l que definem o vértice. É conhecido também o comprimento da bissetriz b, de origem em. l 1 = 50 mm l = 33 mm b = mm () 55 mm () 70 mm (C) 60 mm (D) 45 mm (E) 78 mm IT 1983, Questão 18: São dadas as retas r e s e um ponto C. Construir um hexágono regular, tal que tenha o ponto C como centro da circunferência circunscrita e dois vértices opostos do hexágono estão um sobre a reta r e outro sobre a reta s. Determinar graficamente o lado do quadrado de área equivalente à do hexágono. () 60 mm () 45 mm (C) 35 mm (D) 40 mm (E) 50 mm C s r IT 1983, Questão 18. IT 1983, Questão 19: Determinar graficamente a altura do trapézio CD, conhecendo-se: ase = 9 mm; ase CD = 55 mm. diagonal D é média proporcional dos segmentos e CD. O ponto E é o ponto de concurso das retas suportes dos lados D e C e o ângulo Ê = 30o. Identificação dos pontos,, C e D no sentido anti-horário. () 1 mm () 6 mm (C) 35 mm (D) 56 mm (E) 46 mm 14

17 IT 1983, Questão 0: Uma roda de diâmetro d está em repouso, apoiada sobre a semi-reta de origem c, no ponto. Em dado instante é posta em movimento, girando, sem deslizar, até atingir o ponto, onde pára. Sabendose que os pontos c e e são ligados por dois arcos de circunferência, de centros O 1 e O, e considerando que a roda, para completar o trajeto, deu duas voltas completas, determinar o valor aproximado de seu diâmetro. solução terá que ser inteiramente gráfica. () 30 mm () 15 mm (C) 0 mm (D) 35 mm (E) 40 mm d c O O 1 e IT 1983, Questão 0. IT 1984, Questão 16: Um topógrafo pretende medir a altura de uma torre. Para tanto localiza o teodolito num ponto conveniente e faz uma visada horizontal para o ponto localizado a 100 m de distância. Em seguida visa o topo da torre (ponto C) verificando ser de 40 o o ângulo que o teodolito forma com a horizontal. Determinar a altura da torre, sabendo-se ser esta a média proporcional da distância. O visor do teodolito está a 1,50 m do solo. Escala: 1:10 3 () 71,50 mm () 6,0 mm (C) 55,5 mm (D) 66,0 mm (E) 50,5 mm IT 1984, Questão 17: Determinar, graficamente, o comprimento desenvolvido de um anel de diâmetro externo D (75 mm) e diâmetro interno d (5 mm) usando equivalência de áreas. () 157 mm () 161 mm (C) 150 mm (D) 175 mm (E) 166 mm 15

18 IT 1984, Questão 18: Determinar, graficamente, a altura referida ao lado de um triângulo C, conhecendo-se o valor das medianas M e M C, bem como o comprimento do lado C. M = 90 mm; M C = 60 mm; C = 63 mm. () 60 mm () 45 mm (C) 64 mm (D) 7 mm (E) 51 mm IT 1984, Questão 19: Construir um quadrilátero CD que seja inscritível e tal que nele seja inscrita uma circunferência de centro O e raio r (5 mm). Determinar o raio da circunferência que circunscreve o quadrilátero, sabendo-se que seu lado mede 90 mm. () 4 mm () 47 mm (C) 5 mm (D) 57 mm (E) 61 mm O IT 1984, Questão 19. IT 1985, Questão 16: Determinar, aproximadamente, o perímetro de um triângulo C (assinalado no sentido horário), sendo dado um dos lados, igual a 75 mm. O ângulo do vértice é igual a 135 o e a altura conduzida do vértice C ao lado é igual ao segmento áureo desse lado. () 50 mm () 5 mm (C) 31 mm (D) 70 mm (E) 306 mm IT 1985, Questão 16. IT 1985, Questão 17: São dados do problema: uma circunferência de raio r, um ponto P que lhe pertence, uma reta t a ela tangente e um ponto Q dessa reta. Girando-se a circunferência de 135 o sobre a reta, sem deslizar, determinar a distância do ponto P ao ponto Q. () 76 mm () 50 mm (C) 70 mm (D) 63 mm (E) 55 mm 16

19 P O Q t IT 1985, Questão 17. IT 1985, Questão 19: s retas s e t são os eixos de um duto que descreve uma curva definida por dois arcos de circunferência concordantes. Determinar graficamente o comprimento do duto entre os pontos e, sabendo-se que ambos os arcos de concordância são tangentes à reta r no ponto P. Escala do desenho: 1:10. () 1180 mm () 180 mm (C) 1110 mm (D) 990 mm (E) 10 mm r s P t IT 1985, Questão

20 IT 1986, Questão 16: Dados: Uma circunferência de centro O; uma reta; dois pontos e. Pede-se: O raio da circunferência que passa pelos dois pontos e é secante à circunferência dada e determina nela uma secante paralela à reta r. () 3 mm () 0 mm (C) 9 mm (D) 37 mm (E) 4 mm r O IT 1986, Questão

21 IT 1986, Questão 18: De um triângulo C conhecemos: Um lado, uma mediana e o ângulo oposto ao lado dado. Pede-se o valor dos outros dois lados. a = 65 mm; m b = 63 mm. () 60 e 80 mm () 50 e 57 mm (C) 55 e 65 mm (D) 60 e 70 mm (E) 68 e 77 mm  IT 1986, Questão 18. IT 1986, Questão 19: Os segmentos e C são os lados de um triângulo C. Determinar o ângulo do vértice, sabendo-se que o lado C é a quarta proporcional dos segmentos, C e D. () 5 o () 30 o (C) o (D) 16 o (E) 0 o C D IT 1986, Questão 19. IT 1987, Questão 1: Dadas duas retas r e s e um ponto M entre elas, pede-se determinar dois pontos R e S nas retas dadas, sendo MR = MS. O valor do segmento RS é: () () 4 (C) 30 (D) 35 (E) 38 s M r IT 1987, Questão 1. 19

22 IT 1987, Questão : Passar, pelos pontos dados, retas a e b paralelas e separadas pelo segmento d também dado. O segmento perpendicular pelo ponto, até a reta que passa pelo ponto, mede: () 45 () 36 (C) 40 (D) 30 (E) 43 d IT 1987, Questão. IT 1987, Questão 4: Construir um triângulo isósceles equivalente ao setor circular conhecido. base desse triângulo mede aproximadamente: () 33 () 9 (C) 36 (D) 7 (E) o 4 IT 1987, Questão 4. 0

23 IT 1987, Questão 5: O segmento CE dado é o lado de um pentágono inscrito em um círculo. Construa um triângulo retângulo, sabendo-se que sua hipotenusa é igual ao segmento CE e que os catetos são lados de polígonos inscritos no mesmo círculo. Pergunta: Qual é o perímetro do triângulo? () 6 mm () 75 mm (C) 90 mm (D) 83 mm (E) 68 mm C E IT 1987, Questão 5. IT 1987, Questão 6: Dadas as retas r e s paralelas, concordá-las nos pontos e por uma curva plana composta de dois arcos, sabendo-se que o raio de um deles é o triplo do outro. Quanto mede a diferença entre os comprimentos dos arcos concordantes? () 40 mm () 55 mm (C) 65 mm (D) 7 mm (E) 80 mm r IT 1987, Questão 6. s 1

24 IT 1987, Questão 7: O segmento P Q é um dos lados não paralelos de um trapézio. O segmento MN é o que une os pontos médios dos lados não paralelos. O segmento P Q forma com a base maior um ângulo igual a α. Sabese que a base maior é o dobro da base menor. Quanto mede o lado não paralelo a P Q? () 45 mm () 41 mm (C) 35 mm (D) 48 mm (E) 37 mm P M Q N α IT 1987, Questão 7.

25 IT 1987, Questão 8: São dadas as retas r, s e t, assim como o ponto. Trace a bissetriz do ângulo formado por r e s e determine sobre a mesma um ponto, distante 0 mm à direita da reta t. Trace o menor caminho entre os pontos e, com um ponto em t. Pergunta: Qual é a medida do ângulo formado pelos segmentos que determinam este menor caminho? Obs: t é perpendicular à bissetriz do ângulo formado por r e s. () 45 o () 90 o (C) 60 o (D) 75 o (E) 65 o r t s IT 1987, Questão 8. IT 1988, Questão 1: O segmento dado é o semi-perímetro de um hexágono regular. Sem construir esse hexágono, pede-se traçar um quadrado de área equivalente. Pergunta: Quanto mede o lado do quadrado? Obs: Mostrar todas as construções geométricas. () 36 mm () 43 mm (C) 48 mm (D) 53 mm (E) 57 mm IT 1988, Questão 1. 3

26 IT 1988, Questão : Construir um triângulo sendo conhecidos: o lado a, a mediana m c e o ângulo Ĝ, formado pelas medianas m c e m b. mediana m a mede? () 57 mm () 70 mm (C) 65 mm (D) 60 mm (E) 74 mm a m c Ĝ IT 1988, Questão. IT 1988, Questão 4: Determinar dois pontos fixos P e Q por onde passam todas as circunferências ortogonais às circunferências de centros O e O. Pergunta: Quanto mede a distância P Q? () 45 mm () 5 mm (C) 58 mm (D) 67 mm (E) 76 mm O O IT 1988, Questão 4. 4

27 IT 1988, Questão 5: O segmento pertence a um pentágono estrelado. Quanto mede o segmento C? Escala: 1:5. Obs: O desenho do pentágono estrelado abaixo é apenas uma demonstração do que se pede, não possuindo valor numérico. () 56,5 cm () 70,75 cm (C) 87,50 cm (D) 93,5 cm (E) 300,50 cm C IT 1988, Questão 5. IT 1988, Questão 8: São dados: circunferência de centro O, o ponto O e o segmento RS, que é o perímetro de uma circunferência cujo centro é O. Trace a circunferência de centro O e determine os centros de homotetia das duas circunferências. Pergunta: Quanto mede a distância entre os centros de homotetias direta e inversa das duas circunferências? () 8 mm () 11 mm (C) 14 mm (D) 18 mm (E) 3 mm 5

28 R S O O IT 1988, Questão 8. 6

29 IT 1993, Questão : Dadas as retas a, b e c, traçar uma circunferência que seja interceptada por estas retas, segundo arcos de amplitudes respectivamente iguais a 90 o, 135 o e 75 o. Pergunta: Qual a diferença entre a soma das cordas definidas pelas retas nos arcos de amplitudes 90 o e 75 o e a corda correspondente ao arco de 135 o. () 33 mm () 5 mm (C) 40 mm (D) 47 mm (E) 18 mm c a b IT 1993, Questão. 7

30 IT 1993, Questão 3: O segmento corresponde à soma de um lado de um quadrado com um lado de outro. soma das áreas dos quadrados é equivalente à área de um círculo de raio R dado. Pergunta: Quanto medem aproximadamente os lados dos quadrados? () 3 e 3 mm () 5 e 30 mm (C) 18 e 37 mm (D) 40 e 15 mm (E) 46 e 9 mm R IT 1993, Questão 3. IT 1993, Questão 4: Os pontos, e C são vértices de um triângulo C. Determinar dois segmentos de tal forma que o produto destes segmentos seja igual ao produto dos lados b e c. Um dos segmentos é tangente à circunferência circunscrita ao triângulo no vértice. Pergunta: Quanto mede a soma dos segmentos pedidos, considerando os dados na escala 1 : 50? () 5,80 m () 5,35 m (C) 4,55 m (D) 3,90 m (E) 6,40 m IT 1993, Questão 4. C 8

31 3 Questões do IME IME 1964/1965, Questão 1, Item 1 [valor 1,0]: Dada uma circunferência de 5 cm de raio, traçar 5 outras circunferências internas tangentes à ela e tangentes entre si, duas a duas. IME 1965/1966, Questão 1, Item (a): Construir um triângulo retângulo sendo dados a hipotenusa = 9 cm e a soma dos catetos = 1 cm. IME 1965/1966, Questão 1, Item (c): Retificar a terça parte do arco dado. O IME 1965/1966, Questão 1, Item (c). IME 1965/1966, Questão 1, Item (d): Traçar as circunferências tangentes à reta MN dada e tangentes à circunferência O, num ponto T dado sobre esta. IME 1965/1966, Questão, Item : Os vértices de um trapézio são os pontos de contatos das tangentes comuns exteriores a duas circunferências tangentes entre si, cujos centros estão afastados de 7 cm, sendo 9 cm o diâmetro de uma delas. Pedem-se: (a) Desenhar o trapézio. (b) Determinar o hexágono regular cuja área seja equivalente à do trapézio. 9

32 N O T IME 1965/1966, Questão 1, Item (d). M 30

33 M IME 1967/1968, Questão 1, Item 1 [valor 0,5]: Pelo ponto P, traçar uma reta que passe pelo ponto de concorrência das retas M e N que não podem ser prolongadas. P N IME 1967/1968, Questão 1, Item 1. 31

34 IME 1967/1968, Questão 1, Item [valor 0,5]: Do ponto C como centro, traçar uma circunferência que corte os lados do ângulo D, de modo que a corda obtida seja paralela à reta M. M C D IME 1967/1968, Questão 1, Item. 3

35 IME 1967/1968, Questão 1, Item 3 [valor 1,0]: O segmento de reta E representa a soma da diagonal e do lado de um quadrado. Pede-se construir o quadrado. IME 1967/1968, Questão 1, Item 3. E 33

36 IME 1967/1968, Questão 1, Item 4 [valor 1,0]: Construir um quadrado, equivalente a um círculo cuja área é a soma das áreas de dois círculos de raios 3 e cm. IME 1968/1969, Questão 1, Item 1 [valor 1,0]: Dados os três pontos, e C, passar por e uma circunferência tal que a tangente tirada por C tenha um comprimento de 5 cm. C IME 1968/1969, Questão 1, Item 1. 34

37 IME 1968/1969, Questão 1, Item [valor 1,0]: No triângulo isósceles C, inscrever um retângulo cujo perímetro seja duplo do perímetro do triângulo isósceles que fica na parte superior do retângulo. IME 1968/1969, Questão 1, Item. C 35

38 IME 1968/1969, Questão 1, Item 3 [valor 1,0]: Pelo ponto comum S dividir o triângulo C em três áreas iguais. S C IME 1968/1969, Questão 1, Item 3. IME 1969/1970, Questão 1, Item [valor 1,0]: Os pontos O 1 e O são os centros de duas circunferências de raios cm e 1 cm respectivamente. che um ponto tal que as tangentes mais inclinadas, traçadas às circunferências, sejam iguais e formem um ângulo de 100 o. O 1 O IME 1969/1970, Questão 1, Item. 36

39 IME 1969/1970, Questão 1, Item 3 [valor 0,5]: Os pontos M, N, P, Q e R são os pontos médios dos lados de um pentágono qualquer. che o pentágono. R Q M P N IME 1969/1970, Questão 1, Item 3. 37

40 IME 1970/1971, Questão 1, Item 1 [valor 0,5]: Dado o triângulo C, ache no seu interior um ponto tal que a soma das distâncias aos três vértices seja mínima. IME 1970/1971, Questão 1, Item 1. C 38

41 IME 1970/1971, Questão 1, Item [valor 1,0]: s retas M, N e P são as mediatrizes de um triângulo. O ponto S está sobre um dos lados. Construa o triângulo. N M S IME 1970/1971, Questão 1, Item. P 39

42 IME 1970/1971, Questão 1, Item 3 [valor 1,0]: Construa um trapézio retângulo que satisfaça as seguintes condições: (i) ltura igual à diferença das alturas dos trapézios CD e EF GH. (ii) Área igual à diferença das áreas dos trapézios CD e EF GH. C F G D E IME 1970/1971, Questão 1, Item 3. IME 1971/197, Questão 6 [valor 1,0]: Um feixe de círculos F é dado por: um círculo de centro O, com dois centímetros de raio; eixo radical e, distante quatro centímetros de O e comum a todos os círculos de F. Pedem-se: (a) Construir o menor círculo que seja ortogonal a todos os círculos de F. (b) Construir um círculo de F tangente a uma reta r perpendicular ao eixo radical e e distante seis centímetros de O. H 40

43 e t O IME 1971/197, Questão 6. 41

44 IME 1971/197, Questão 7 [valor 1,0]: Construir um quadrilátero inscritível convexo cujos lados medem = 3 cm, C = 5 cm, CD = 5 cm e D = 8 cm. IME 198/1983, Questão 4, Item (a) [valor 0,8]: Em um triângulo C dão-se o ângulo Â, o raio do círculo ex-inscrito r a (relativo ao ângulo Â) e a altura h a (relativa ao lado a). Indique a construção do triângulo C e conclua daí a condição que deve haver entre os elementos dados para que a construção seja possível, isto é, para que exista o triângulo C, escaleno. IME 1983/1984, Questão 5 [valor 0,6]: Dão-se um círculo c, de centro O, e três direções d 1, d e d 3. Inscreva em c os triângulos cujos lados, C e C têm, respectivamente, as direções d 1, d e d 3 e cujos vértices, e C se sucedem no círculo c, no sentido do movimento dos ponteiros do relógio. d 1 d O d 3 IME 1983/1984, Questão 5. 4

45 IME 1984/1985, Questão, Item (a) [valor 0,5]: Em um triângulo C são dados o lado a, a soma dos outros dois lados, b+c = l, e a área S. Construa o triângulo com régua e compasso. b + c S a IME 1984/1985, Questão, Item (a). IME 1984/1985, Questão 8, Item (a) [valor 0,5]: Construa um quadrilátero convexo CD, dados: os comprimentos das diagonais C e D; o ângulo de C com D; os ângulos adjacentes e D. C D D C/D IME 1984/1985, Questão 8, Item (a). IME 1984/1985, Questão 8, Item (b) [valor 0,5]: São dados dois círculos concêntricos, C 1 e C, de raios r 1 e r (r 1 > r ) e centro O. Por um ponto de C 1 determine uma corda D de C 1, que corta C em e C, tal que D = 3C. Discuta a possibilidade e o número de soluções. 43

46 4 Soluções da FUVEST FUVEST 1996, Questão 10: Na figura abaixo são dadas duas semi-retas r e s de mesma origem e um ponto P. a) Utilize essa figura para construir, usando régua e compasso, os pontos em r e C em s de tal forma que o ponto P pertença ao segmento C e que seja igual a C. b) Descreva e justifique o processo utilizado na construção. r P b t C s FUVEST 1996, Questão 10: Solução. Construção: (i) Trace a bissetriz b de Â; (ii) Trace por P uma perpendicular t a b, determinando sobre as retas r e s os vértices e C, respectivamente. Justificativa: O triângulo C é isósceles, já que = C. Logo, a base C é a perpendicular, no caso por P, à bissetriz b do ângulo  oposto à base. 44

47 FUVEST 1997, Questão 10: a) Dados e um segmento de medida r, construa, usando régua e compasso, um triângulo isósceles sabendo que sua base é e o raio da circunferência inscrita nesse triângulo é r. b) Descreva as construções feitas. c) Justifique o porquê de cada construção. r t r M m C C O C1 FUVEST 1997, Questão 10: Solução. Construção: (i) Trace a mediatriz m C pelo ponto M médio de ; (ii) Marque sobre m C o ponto O tal que MO = r; (iii) Trace C 1 C(O, r); (iv) Trace por a tangente t a C 1, determinando sobre m C o vértice C. Justificativa: Em um triângulo isósceles, o centro O do círculo inscrito C 1 está sobre a mediatriz da base do triângulo, e o ponto de tangência de C 1 com a base é o ponto médio M desta. ssim, tendo-se a base e o raio r de C 1, podemos determinar o centro O de C 1. O terceiro vértice do triângulo é então determinado pelas tangentes a C 1 partindo dos vértices conhecidos e. 45

48 FUVEST 1998, Questão 10: a) Dadas as retas paralelas r e s e um ponto em r, construa um triângulo equilátero com um vértice em, outro vértice em r e o terceiro vértice em s. b) Descreva e justifique as construções feitas. r C s C 1 FUVEST 1998, Questão 10: Solução. Construção: (i) Marque um ponto qualquer sobre r e trace o triângulo equilátero de lado, determinando o outro vértice ; (ii) Prolongue o lado, determinando sobre s o vértice ; (iii) Trace C 1 C(, ), determinando sobre r o vértice C. Justificativa: O triângulo equilátero auxiliar ajuda a determinar o ângulo ÂC = 60o do triângulo equilátero desejado C. 46

49 FUVEST 1999, Questão 10: a) Construa com régua e compasso, um trapézio CD, onde seja paralelo a CD, conhecendo-se os pontos, M, N e I, que satisfazem as seguintes condições: M é o ponto médio do lado D, N é o ponto médio de C e I é o ponto de intersecção do segmento MN com a reta que passa por e é paralela a D. b) Descreva e justifique a construção feita. r M I s N D FUVEST 1999, Questão 10: Solução. Construção: (i) Prolongue M, determinando o vértice D tal que M = MD, com M entre e D; (ii) Trace por uma paralela r a MN; (iii) Trace por I uma paralela s a M, determinando sobre r o vértice ; (iv) Prolongue N, determinando o vértice C tal que NC = N, com N entre e C. Justificativa: O vértice é determinado pela definição do ponto I dada no enunciado. Pelas definições de M e N, o segmento MN é a base média do trapézio desejado. Os vértices C e D são determinados pelos prolongamentos de N e M, fazendo NC = N e MD = M, respectivamente. C 47

50 FUVEST 000, Questão 10: São dados os pontos e. Usando uma régua e compasso, construa a circunferência circunscrita a um polígono regular de 1 lados, que tem o segmento como um de seus lados. Descreva e justifique as construções utilizadas. C 1 O b l 6 C C FUVEST 000, Questão 10: Solução. Construção: (i) Prolongue e marque C qualquer, com entre e C ; (ii) Trace o triângulo equilátero de lado C ; (iii) Trace a bissetriz b de ˆ e marque a distância C =, determinando o vértice C sobre b ; (iv) Trace o triângulo equilátero de lado l 6 = C, cujo terceiro vértice é o centro O do círculo desejado C 1 C(O, l 6 ). Justificativa: O ângulo interno de um dodecágono regular é (1 )180o 1 = 150 o. Dado o segmento = l 1, podemos traçar um triângulo equilátero com vértice e sua bissetriz interna b, para determinar um ângulo de 150 o. Marcando-se sobre esta bissetriz o vértice C do dodecágono tal que C = = l 1, tem-se C = l 6. Logo, o centro O do círculo C 1 circunscrito ao dodecágono é o terceiro vértice de um triângulo equilátero de lado C. 48

51 FUVEST 001, Questão 10: São dados os pontos e e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabe-se que e pertencem, respectivamente, às diagonais CE e DF de um quadrado CDEF, cujo centro é O. distância de a O é igual a GH e a medida do lado do quadrado é igual a GI. Construa, usando régua e compasso, um quadrado CDEF, satisfazendo as condições acima. Descreva e justifique as construções utilizadas. Construção: (i) Determine o ponto M médio de GI e trace a mediatriz m de GI, marcando sobre m o ponto P tal que MP = GI ; (ii) Determine o ponto N médio de e trace C 1 (N, ); (iii) Trace C (, GH), determinando o ponto O, centro do quadrado, sobre C 1 ; (iv) Trace C 3 (O, GP ), determinando os vértices C, D, E, e F do quadrado desejado sobre as retas suportes de O e O. Justificativa: Seja O o centro do quadrado. ssim, Ô = 90o, de modo que O pertence ao círculo C 1 de diâmetro. Como O = GH é dado, o ponto O fica plenamente determinado. Pelo enunciado, o raio do círculo C 3 circunscrito ao quadrado é GP = GI, o que permite determinar os vértices do quadrado, que estão sobre as retas suportes de O e O. 49

52 D C 3 C d C O C 1 N E P F d m G H M I FUVEST 001, Questão 10: Solução. 50

53 FUVEST 00, Questão 10: São dados os pontos e M e a reta s. Sabese que o ponto é vértice de um paralelogramo CD; o lado está na reta s; M é o ponto médio do lado C e o ângulo CÂ tem medida 30o. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção. D P C t M 30 o N FUVEST 00, Questão 10: Solução. Construção: (i) Trace por M uma perpendicular r a s, determinando o ponto N sobre s; (ii) Determine P sobre r tal que MP = MN, com M entre N e P, e trace por P uma paralela t a s; (iii) Trace o ângulo de 30 o (bissetriz de triângulo equilátero) a partir de, determinando o vértice C sobre t; (iv) Prolongue CM, determinando o vértice sobre s; (v) Trace por uma paralela a C, determinando o vértice D sobre t. Justificativa: Como CD é um paralelogramo de lado sobre s, então o lado CD está sobre uma paralela t a s. Esta paralela t é tal que qualquer segmento P MN, com P em t e N em s, é tal que P M = MN. O vértice C é determinado em t com um ângulo de CÂN = 30o, como dado no enunciado. O vértice é determinado sobre s prolongando CM. Por fim, o vértice D é determinado sobre t com = DC ou com D = C. r s 51

54 5 Soluções do IT IT 1979, Questão 11: Determinar, por construção geométrica, o comprimento da diagonal de um quadrado de área equivalente à coroa da Figura 1, representada no Caderno de Respostas. x 3(r 1 r ) d r 1 r r 1 r x IT 1979, Questão 11: Solução - () 57 mm. Construção: (i) Construa um triângulo retângulo de catetos (r 1 r ) e 3(r 1 r ), cuja hipotenusa é dada por x = 10(r 1 r ) π(r 1 r ); (ii) Determine a média geométrica d de (r 1 + r ) e x. Justificativa: O lado l do quadrado de área equivalente à da coroa é l = π(r 1 r ) e a diagonal d deste quadrado é então d = l = π(r 1 r ) = (r 1 + r ).π(r 1 r ) 5

55 IT 1979, Questão 14: Os segmentos C e G são partes de um duto, representado por seu eixo e que, do ponto C ao ponto G, é encurvado em quatro arcos de circunferência que concordam nos pontos C, D, E, F e G, conforme a figura a seguir. Pede-se o comprimento do duto, no desenho na escala 1:,5. C D O O O 1 O 1 E F O 4 O 3 O 4 O 3 IT 1979, Questão 14: Solução - () 430 mm. Construção: (i) Trace uma perpendicular a C por C e a mediatriz de CD, cuja interseção é o centro O 1 do arco CD; (ii) Prolongue O 1 D e trace a mediatriz de DE, cuja interseção é o centro O do arco DE; (iii) Prolongue O E e trace a mediatriz de EF, cuja interseção é o centro O 3 do arco EF ; (iv) Prolongue O 3 F, neste caso no sentido de O 3, e trace a mediatriz de F G, cuja interseção é o centro O 4 do arco F G, interseção esta também sobre a perpendicular a G por G; (v) Retifique os arcos CD, DE, EF e F G, usando, por exemplo, o método de d Ocagne ([1], pp ). Justificativa: No ponto de concordância, as curvas devem ter a mesma tangente, que em um círculo é ortogonal ao raio. Logo, o centro O 1 do arco CD está sobre a perpendicular a C por C. Para ter a mesma tangente em D que o arco C, o centro do arco DE é colinear com O 1 e com D. Os demais centros são determinados analogamente. Deve-se incluir os comprimentos C e G na resposta, escalando o resultado por,5, como exigido no enunciado. G 53

56 IT 1979, Questão 15: Determinar a soma dos raios de duas circunferências inscritas num triângulo C, tangentes aos lados deste e entre elas, sendo dado o ângulo  = 35o, a mediana relativa ao lado C, igual a 96 mm, e a mediana relativa ao lado C, igual a 60 mm. Construção: (i) Trace m = m e determine G sobre m tal que G = G m ; (ii) Construa o arco-capaz C 1 do ângulo  = 35o relativo à corda m ; (iii) Construa o círculo C C(G, m 3 ), cuja interseção com C 1 é o vértice ; (iv) Prolongue m, determinando o vértice C tal que C = m ; (v) Trace o círculo C 3, de centro O, inscrito no triângulo C ([], Exercício 1.4), cuja interseção com uma bissetriz b x do triângulo C é o ponto de tangência P ; (vi) Trace por P uma perpendicular a b x, cuja interseção com um lado do triângulo é o ponto Q; (vii) Trace C 4 C(Q, QP ), determinando o ponto P sobre o lado do triângulo; (viii) Trace por P uma perpendicular ao lado do triângulo, cuja interseção com a bissetriz b x é o centro O do círculo C 3, tangente a C 3 e a dois lados do triângulo C. Justificativa: O baricentro do triângulo C está sobre as medianas. ssim, o vértice está sobre o arco-capaz do ângulo  dado, relativo à mediana m, e também sobre o círculo de centro em G e raio m 3. Definido o triângulo C, traça-se o seu círculo inscrito C 3 de centro O. O centro do segundo c ırculo C 3, tangente a dois lados do triângulo C e ao círculo C 3, está sobre a bissetriz do ângulo formado pelos dois lados. tangente comum aos dois círculos C 3 e C 3 é então perpendicular à referida bissetriz, e determina sobre C 3 o ponto de tangência P e sobre um lado do triângulo o ponto Q. Pelo conceito de potência, a outra tangente QP por Q ao círculo C 3 deve ter comprimento QP = QP, o que permite determinar o outro ponto P de tangência a C 3 por Q. O centro O de C 3 está sobre a perpendicular ao lado do triângulo por P. sln: Há dois triângulos C que satisfazem as restrições do problema. Cada triângulo gera três possíveis soluções para o problema, que deve ser anulado. 54

57 C 1 α β m 3 C m 3 Â G m C β Â C α m m IT 1979, Questão 15: Solução - Questão nulada. 55

58 α C 3,α b x C 3,α O α P P O α C 4 Q C α (a) β C 3,β C 3,β O β P O β Q P C β (b) IT 1979, Questão 15: (Continuação) Possíveis soluções para os triângulos: (a) α C α ; (b) β C β. 56

59 IT 1980, Questão 16: São dados dois pontos (P, P ) e uma reta (r). Determinar a soma dos raios das circunferências que contêm os pontos e são tangentes à reta. O P m O P r 1 C 1 r x r Q Q IT 1980, Questão 16: Solução I (geométrica) - (E) 69 mm. Construção I (geométrica): (i) Trace a mediatriz m de P P ; (ii) Prolongue P P, determinando o ponto sobre a reta r; (ii) Determine a média geométrica x = P.P ; (iii) Trace o círculo C 1 C(, x), cujas interseções com a reta r são os pontos Q e Q ; (iv) Trace perpendiculares a r por Q e Q, cujas respectivas interseções com a mediatrz m são os pontos O e O, centros dos círculos de raios desejados r 1 = OQ e r = O Q. Justificativa I (geométrica): Como P e P pertencem a ambos os círculos, a potência do ponto em relação aos dois círculos é a mesma e igual a P.P. Com isto, o comprimento da tangente aos dois círculos por é dado por x = P.P, o que permite determinar os pontos Q e Q de tangência por em ambos os círculos. Naturalmente, os centros dos círculos estão sobre as respectivas perpendiculares a r por estes pontos de tangência. 57

60 sln: Este problema tem uma solução algébrica que gera uma construção muito simples e interessante. Construção II (algébrica): (i) Trace pelo ponto médio M de P P a mediatriz m, cuja interseção com a reta r é o ponto ; (ii) Prolongue P P, determinando o ponto sobre a reta r; (iii) Determine a quarta proporcional M : M = : (r 1 + r ). Justificativa II (algébrica): Das semelhanças dos triângulos M, OQ, O Q e (onde os pontos,, O, O, Q, Q e M foram definidos nas construções acima), tem-se M = O OQ = O O Q M = M + OM r 1 OM =.r 1 M.M M O M =.r M.M M = M O M r lém disto, dos triângulos retângulos OMP e OM P, tem-se { OM = OP P M = r 1 P M O M = O P P M = r P M Usando estes valores de OM e O M nas equações anteriores, ambas tornam-se equações do tipo M.r x.m.m.r x + M.P = 0 cuja soma das respectivas soluções é então dada por (r 1 + r ) =.M.M M =.M M 58

61 IT 1980, Questão 17: Um compressor centrífugo é acionado por um motor elétrico, sendo usada uma correia chata, suposta inteiramente tensa e de espessura desprezível. Sabendo-se que: polia do motor é de raio r 1 e de centro C 1. polia do compressor é de raio r e de centro C. E que r 1 = 00 mm, r = 400 mm, C 1 C = 1000 mm. Pede-se determinar o comprimento real da correia, sendo a escala 1:10. C 1 C r 1 r IT 1980, Questão 17: Solução - (C) 3940 mm. Construção: (i) Trace a tangente comum externa aos dois círculos dados ([], Exercício 1.11(a)), determinando os pontos de tangência que delimitam os arcos da correia em cada círculo; (ii) Retifique os arcos, usando, por exemplo, o método de d Ocagne ([1], pp ). Por simetria, trabalhamos apenas com a metade superior da correia. Justificativa: O problema consiste em se determinar a correia, que é definida pela tangente comum externa aos dois círculos dados. 59

62 IT Questão 18: Determinar o comprimento da mediana em relação ao vértice de um triângulo C, do qual conhecemos os pés das alturas H a, H b e H c, sabendo-se que o ângulo  é obtuso. H c H b M C H a IT 1980, Questão 18: Solução - () 61 mm. Construção: (i) Trace os lados H a H b, H a H c e H b H c do triângulo órtico H a H b H c ; (ii) Trace as bissetrizes externa (no vértice H a ) e internas (nos vértices H b e H c ) do triângulo órtico, cujas interseções determinam o triângulo C: é interseção das bissetrizes internas por H b e H c ; é interseção das bissetrizes externa por H a e interna por H c ; C é interseção das bissetrizes externa por H a e interna por H b ; (iii) Determine o ponto médio M de C e trace a mediana M desejada. Justificativa: s alturas do triângulo C são as bissetrizes de seu triângulo órtico H a H b H c. Como o ângulo  é obtuso, as alturas pelos vértices e C serão na verdade bissetrizes externas do triângulo órtico H a H b H c. Note que as bissetrizes interna e externa em um dado ângulo são perpendiculares entre si [4], pp

63 IT 1980, Questão 19: Os lados e a base de um triângulo isósceles são os segmentos áureos da média proporcional de dois segmentos que medem, respectivamente, 60 e 90 mm. Determinar o semi-perímetro deste triângulo, considerando o menor segmento como a base. l b a l 60 mm 90 mm IT 1980, Questão 19: Solução - (E) 59 mm. Construção: (i) Determine a média proporcional l = 60.90; (ii) Determine os segmentos áureos a e b de l; (iii) O semi-perímetro desejado é dado por p = a + b. 5 1 Justificativa: lgebricamente, l = = lém disto, a = l e b = 3 5 l, de forma que l a = a b, com (a + b) = l. Logo, o semi-perímetro desejado é dado por p = a + b = a + b = 5 1 l l = = 59, 45 mm 61

64 IT 1981, Questão 16: São dados uma circunferência de raio igual a 0 mm, um ponto P na mesma, um ponto P distante de seu centro e uma reta r, como mostra a figura abaixo. Rolando a circunferência sem escorregar sobre a reta, partindo do ponto P, desenvolver 315 o no sentido horário. Determinar a distância do centro da circunferência até o ponto P, quando a mesma completar o ângulo dado. P l P P 30 o 7l 8 3r IT 1981, Questão 16: Solução - (?). Construção: (i) Retifique a semi-circunferência, determinando o comprimento l 7l ; (ii) Marque a distância 8 a partir do centro da circunferência, determinando a nova posição deste ponto após o deslocamento da circunferência. Justificativa: O ângulo de 315 o corresponde a 7 8 da circunferência completa, determinando o deslocamento do centro da circunferência e do ponto P, correspondentemente. sln: O problema não apresenta opção de resposta adequada. lém disto, o ponto P indicado é inútil. Considerando que o problema pede a distância P P após o deslocamento, a resposta é (E) 33 mm. 6

65 IT 1981, Questão 19: Determinar o perímetro do trapézio de bases e EF equivalente ao pentágono CDE. D E F h E h D C E x IT 1981, Questão 19: Solução - (E) 0 mm. Construção: (i) Trace por E uma paralela a D, cuja interseção com reta suporte de é o ponto E ; (ii) Trace por C uma paralela a D, cuja interseção com reta suporte de é o ponto C ; (iii) Determine a quarta proporcional de h E : E C = h D : x, onde h D e h E são as respectivas alturas de E e D relativas ao lado ; (iv) Marque a distância EF = (x ) a partir do vértice E, determinando o vértice F do trapézio desejado. Justificativa: s áreas dos triângulos ED, E D, CD e C D são tais que S ED = S E D = E.h D S CD = S C D = C.h D Já a área do trapézio desejado seria dada por ( + EF ) S EF = h E Fazendo-se S CDE = S EF, tem-se h E E C = h D + EF o que permite determinar a base EF do trapézio. C S CDE = S E C D = E C.h D 63

66 IT 1981, Questão 0: char a área, em milímetros quadrados, da figura afim do quadrado CD (sentido horário), do qual conhecemos sua diagonal C e o ponto, afim do vértice. reta xy é o eixo de afinidade. O C y D D C x D C h IT 1981, Questão 0: Solução - (D) 1530 mm. Construção: (i) Trace a mediatriz da diagonal C do quadrado, marcando os extremos e D tais que O = O = OC = OD, onde O é o ponto médio de C; (ii) Prolongue C e D, cujas interseções com a reta r são os pontos C e D, respectivamente; (iii) Trace C e D, cujas interseções com as paralelas a por C e D são os pontos C e D, respectivamente; (iv) Trace por e D retas paralelas a C D e C, respectivamente, cuja interseção é o ponto ; (v) Determine a altura h de relativa ao lado D. 64

67 Justificativa: transformação afim leva pontos a suas imagens através de retas paralelas. lém disto, a transformação afim, mapeia retas em retas afins. Pontos pertencentes ao eixo de afinidade (no caso, C e D ) são mapeados em si mesmo. Logo, C e D pertencem aos respectivos mapeamentos das retas C e D, de forma que CC e DD são paralelas a. O ponto complementa o paralelogramo C D, afim do quadrado CD e com área S C D = D.h IT 198, Questão 16: s retas a, b e c são lugares geométricos de três pontos, respectivamente,, e C, que pertencem a uma circunferência. Sabendose que nesta circunferência o arco mede 10 o e o arco C mede 60 o, pergunta-se qual o valor de seu raio. (c) C (b) r 60 o O (c ) (a) IT 198, Questão 16: Solução - () 3 mm. Construção: (i) Trace a reta equidistante das retas a e c e tome um ponto O qualquer sobre esta reta; (ii) Determine a rotação c = R O,60 o(c) da reta c de um ângulo de 60 o em torno de O, cuja interseção com a reta b é o vértice, determinando o raio desejado r = O. Justificativa: Como O ˆ = 10 o e OC ˆ = 60 o, então OC ˆ = 180 o e o ponto O é médio de C. Com isto, o ponto pode ser obtido pela rotação do ponto C de 60 o em torno de O. O raio r desejado pode ser determinado por r = O = OC = O = C. 65

68 IT 198, Questão 17: São dadas duas retas r e t e um ponto P. Determinar o raio da circunferência que passa por P, é tangente à reta t, sendo a reta r o lugar geométrico do centro O. P O C 1 x C t r IT 198, Questão 17: Solução - (D) 5 mm. Construção: (i) Trace por P uma perpendicular à reta r, determinando os pontos em r e em t; (ii) Trace o triângulo retângulo de hipotenusa e cateto P, determinando o outro cateto x; (iii) Trace o círculo C 1 C(, x), cujas interseções com a reta t são os pontos C e C ; (iv) Trace por C uma perpendicular à reta t, cuja interseção com r é o centro O da circunferência desejada. Justificativa: potência do ponto em relação à circunferência solução é C =.P = ( )( + P ) = P pois = P, sendo a interseção de P com a circunferência solução, já que P é ortogonal à r. equação anterior, determina a posição do ponto C. sln: Na verdade, há uma segunda solução gerada pelo ponto C. sln: Outra solução seria marcar, entre P e e tal que = P, e calcular diretamente C =.P. 66

69 IT 198, Questão 18: M b e M c são, respectivamente, os pontos médios dos lados b e c de um triângulo C. Sabendo-se que o ângulo do vértice é igual a 60 o e que a altura conduzida deste mesmo vértice mede 4 mm, pergunta-se o valor do perímetro do triângulo. C 1 M b M c 60 o IT 198, Questão 18: Solução - (E) 7. C Construção: (i) Trace o arco-capaz C 1 do ângulo  = 60o relativo á corda M b M c ; (ii) Trace uma paralela a M b M c a uma distância h a = 1 mm, cuja interseção com o círculo C 1 é o vértice ; (iii) Prolongue M b e M c e determine os vértices e C tais que M b = M b e M c C = M c. Justificativa: O segmento M b M c é a base média do triângulo desejado, com isto M b M c é paralelo a C e está a uma altura h a de M b M c. 67

70 IT 198, Questão 0: um ajustador mecânico é fornecida uma chapa de aço, retangular. Pede-se o apótema do maior pentágono que pode ser riscado nesta chapa, sabendo-se que as dimensões desta são, respectivamente, a 3 a proporcional e a média proporcional dos valores 150 mm e 15 mm. resposta deverá ser indicada na escala 1:,5. P x 150 mm 15 mm R l C 1 x 1 x 1 15 mm 5R l R R 5R x a IT 198, Questão 0: Solução - (?). Construção: (i) Determine a terceira proporcional 150 : 15 = 15 : x 1 e a média proporcional x = , e esboce a chapa retangular de dimensões x 1 x ; (ii) Trace um círculo C 1, de raio R qualquer e tangente a um lado de comprimento x em seu ponto médio P ; (iii) Construa o pentágono regular 5 5 R ([], Exercício.5) e com um vértice inscrito em C 1, de lado l = em P ; (iv) Determine, por homotetia de centro P, o pentágono desejado de apótema a máximo. Justificativa: digonal d e a altura h = (R + a), onde a é o apótema do pentágono regular, são tais que d = h = 5+1 l 5+ 5 l d h < x x 1 Logo, o aspecto limitante será a altura h, e não a largura d, do pentágono. 68

71 sln: O problema não apresenta opção de resposta adequada. Considerando x 1 como a terceira proporcional de 15 mm e 150 mm, ou seja, fazendo 15 : 150 = 150 : x 1, e repetindo a construção acima, tem-se a = 5 mm. Este valor, porém, deveria ser escalado para obter a resposta adequada. P x 150 mm 15 mm R C 1 5R 150 mm R R x 1 5R a x 1 l x l IT 198, Questão 0 (modificada): Solução - (C) 5 mm. IT 1983, Questão 16: s retas r, s e t são figuras afins das retas r, s e t. Determinar o raio da circunferência tangente às retas r, s e t, sabendo-se que os pontos e são pontos afins e x é o eixo de afinidade. Construção: (i) Sejam as interseções, de s com t, e C, de r com t ; (ii) Prolongue r, s e t, cujas interseções com a reta x são os pontos, e C, respectivamente; (iii) reta s é determinada por, cuja interseção com uma paralela por a é o ponto ; (iv) reta t é determinada por C, cuja interseção com uma paralela por C a é o ponto C; (v) reta r é determinada por C ; (vi) Trace as bissetrizes dos ângulos obtusos entre r e t em C e entre s e t em, determinando o centro O da circunferência desejada. Justificativa: transformação de afinidade de pontos se dá por retas paralelas a, que são pontos afins. s interseções de r, s e t com o eixo de afinidade x pertencem às respectivas retas afins r, s e t. s interseções de r, s e t entre si se transformam nas interseções de r, s e t. ssim, determinamos as retas s, t e r, nesta ordem. O centro da circunferência tangente a r, s e t está sobre as bissetrizes dos ângulos formados por estas três retas. 69

72 r O s x C t C t C s r IT 1983, Questão 16: Solução - () 5 mm. 70

73 IT 1983, Questão 17: Determinar o comprimento aproximado do lado oposto ao vértice de um triângulo qualquer, sendo dados os lados l 1 e l que definem o vértice. É conhecido também o comprimento da bissetriz b, de origem em. l 1 = 50 mm l = 33 mm b = mm C C 1 x l 3 b C l l 1 IT 1983, Questão 17: Solução I (geométrica; baseada em solução do Curso ETP) - () 70 mm. Construção I (geométrica; baseada em solução do Curso ETP): (i) Determine os pontos C, e, colineares e com entre C e, tais que C = l e = l 1 ; (ii) Determine a quarta proporcional de l : b = (l 1 + l ) : x; (iii) Trace os círculos C 1 C(, l 1 ) e C C(, x), cuja interseção define o vértice. Justificativa I (geométrica; baseada em solução do Curso ETP): No triângulo original C, seja  = α, de forma que na figura-solução tenhamos o ângulo externo  = (180 o α). Da construção acima, o triângulo é isósceles e tal que ˆ = ˆ = α, de forma que é paralelo à bissetriz b no triângulo C. Com isto, l : b = (l 1 +l ) :, e o vértice pode ser determinado já que são conhecidas as distâncias e. 71

74 l 3 x y b y l l 1 l IT 1983, Questão 17: Solução II (algébrica) - () 70 mm. Construção II (algébrica): (i) Determine a média proporcional x = l 1 l ; (ii) Determine a quarta proporcional x : b = (l 1 + l ) : y; (iii) Trace o triângulo retângulo de hipotenusa (l 1 + l ) e cateto y, determinando o outro cateto l 3. Justificativa II (algébrica): Pelos Teoremas das issetrizes e de Stewart, têm-se m l 1 = n l = m+n l 1 +l = l 3 l 1 +l m = l 3l l 1 +l e n = l 3l 1 l 1 +l l 1 m + l n = (mn + b )l 3 Logo, e então l 1 l 3l l 1 + l + l l 3l 1 l 1 + l = l 3 = (l 1 + l ) [ ] l 3 l 1 l (l 1 + l ) + b l 3 1 b l 1 l = ( ) 1 70 mm

75 IT 1983, Questão 18: São dadas as retas r e s e um ponto C. Construir um hexágono regular, tal que tenha o ponto C como centro da circunferência circunscrita e dois vértices opostos do hexágono estão um sobre a reta r e outro sobre a reta s. Determinar graficamente o lado do quadrado de área equivalente à do hexágono. s 1 C a 6 l 6 s l 4 r 4 a 6 3l 6 IT 1983, Questão 18: Solução - (E) 50 mm. Construção: (i) Trace a reta s paralela a s de modo que o ponto C seja equidistante de s e s, determinando sobre a reta r um vértice 1 do hexágono de lado l 6 = C 1 ; (ii) Determine a média proporcional l 4 do semi-perímetro p 6 = 3l 6 e do apótema a 6 do hexágono. Justificativa: Como 1 e 4 são opostos, por simetria C é médio de 1 4. Logo, a reta s é lugar geométrico de 1, assim como a reta r, o que determina o vértice 1. Por equivalência de áreas, tem-se l 4 = p 6a 6, ou seja l 4 = 3l 6.a 6 sln: Minha construção deu de fato l 53 mm. 73