FUNÇÃO. Exemplo: Dado os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} São funções de A em B as relações a) R 1 = {(x,y) AXB/ y = x + 2}

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Cacilda Rodrigues Molinari
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1 Sistemas de Informação e Tecnologia em Proc. de Dados Matemática Ms. Carlos Roberto da Silva/ Ms. Lourival Pereira Martins FUNÇÃO Definição: Dados dois conjuntos e define-se como função de em a toda relação em que para todo x de existe um único correspondente em Exemplo: Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,,, } São funções de em as relações a) R = {(x,y) X/ y = x + } - - b) R = { (x,y) X/ y = x + } - - Outros exemplos Contra - exemplos Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,,, } Não são funções de em as relações R = {(x,y) X/ y = x + } - - relação ao lado não é função pois Existe x, no caso x=, que não tem correspondente em.

correspondente em Exemplo: Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,,, } São funções de em as relações a) R = {(x,y) X/ y = x + } - - b) R = { (x,y) X/ y = x +

2 Dado os conjuntos = {,, } e = { -, -,,, } Não são funções de em as relações R = {(x,y) X/ y = x } - - relação ao lado não é função pois Existe x, no caso x= ou x = que se corresponde com mais de um elemento de. Reconhecimento de uma função representada graficamente. Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de em se f é ou não função; basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,), em que x, encontra sempre o gráfico em um só ponto. Exemplo = {x IR/- x } Contra - exemplo = {x /- x } Notação das funções Toda função é uma relação binária de em ; portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que expressa à lei mediante a qual, dado x, determina-se y tal que (x,y) f, então f = {(x,y) x, y e y = f(x)} Exemplos: f: tal que y = x f: IR IR tal que y = x Imagem de um elemento Se (a,b) f, o elemento b é chamado imagem de a pelo valor de f no elemento a, e indicamos f(a) = b.

Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de em se f é ou não função; basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,), em que x, encontra sempre o gráfico

3 Exemplo: Seja a função f: IR IR tal que y = x +, então: a) a imagem de pela função f é, isto é: f() = + = b) a imagem de - pela função f são -, isto é: f( ) = ( ) + = Domínio e imagem Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x para os quais existe y tal que (x,y) f. Como, pela definição de função, todo elemento de tem essa propriedade, temos nas funções: domínio = conjunto de partida, isto é, D =. Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y para os quais existe x tal que (x,y) f; portanto: imagem é subconjunto do contradomínio, isto é, Im. Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos: Exercícios ) Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {-,,,,,,, 6, 7} e as relações definidas abaixo, determine essas relações e identifique as que são funções; a) R = {(x,y) X/ y = x +} b) R ={(x,y) X/ y = x + 6} c) R ={(x,y) X/ y = x +} d) R ={(x,y) X/ y = x - } ) Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de = {-,,,} em = {-, -,,,, }, justificando a resposta.

Como, pela definição de função, todo elemento de tem essa propriedade, temos nas funções: domínio = conjunto de partida, isto é, D =.

4 ) Quais das relações de IR em IR, cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justifique. ) Seja f a função de em definida por f(x) = x. Calcule: a. f() b. f(-) d. f c. f() ) Seja f a função de em definida por a. f() b. f(-) c. f ( ) = + f x x x d. f e. f( ) 6) Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo:

f(-) d. f c. f() ) Seja f a função de em definida por a. f() b. f(-) c.

5 7) Nos gráficos cartesianos das funções abaixo representadas, determine o conjunto imagem. 8) Dê o domínio das seguintes funções reais: a) f(x) = x + b) g( x) = x + c) p( x) = x Função sobrejetora, Injetora, ijetora e função inversa FUNÇÃO SOREJETOR: Dada uma função f:, dizemos que uma função é sobrejetora quando Im(f) = ( a imagem de f coincide com o contra-domínio). Exemplo: Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,, 6} a função f = {(x,y) X/ y = x + } é sobrejetora; Pois Im(f) = - - 6

ijetora e função inversa FUNÇÃO SOREJETOR: Dada uma função f:, dizemos que uma função é sobrejetora quando Im(f) = ( a

6 Contra exemplo Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,,, } a função de em definida por y = x + não é sobrejetora, pois e não tem correspondência com elementos de - - FUNÇÃO INJETOR: Dada uma função f:, dizemos que f(x) é injetora se para todo x, x se x = x f(x) = f(x ), ou seja, nenhum elemento de é imagem de dois elementos distintos de. Exemplo: Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,,, } a função de em definida por y = x + é injetora; Todos os elementos de, que possui correspondência - com elementos de tem um único correspondente. - Contra exemplo Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,, 6} a função f = {(x, y) X/ y = x + } não é injetora, pois existe elemento de, no caso os elementos e 6, que possuem mais que uma correspondência com elementos de FUNÇÃO IJETOR : Uma função é bijetora quando for injetora e sobrejetora. Exemplo: Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,, } a função de em definida por y = x + é: - Sobrejetora, pois todos os elementos de possuem correspondência com elementos de - - Injetora, pois todos os elementos de que se - correspondem com elementos de tem só um correspondente; Logo é bijetora 6

Exemplo: Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,,, } a função de em definida por y = x + é injetora; Todos os elementos de, que possui correspondência - com elementos de tem um único correspondente.

7 Segundo exemplo: função f: IR IR; f(x) =x+ é bijetora, pois é injetora e sobrejetora sobre IR FUNÇÃO INVERS Uma função f: é invirsivel se a relação inversa também for uma função. Notação : f - Propriedade: Uma função é inversivel se e somente se for ijetora Exemplo Dado os conjuntos = { -, -,,, } e = {,,,, } a função de em definida por y = x + possui inversa pois: - - f: f - : - - ssim f: = { (-,), (-,), (,), (,), (,)} e f - : = {(,-), (,-), (,), (,), (,)} Como a função de em é definida por y = x + sua inversa f - é definida de em e tem por lei: y = x. Exemplo: Determinar a função inversa, se existir, da função y = -x + definida de IR IR função é invencível pois o Dominio é IR e o conjunto Imagem também é IR Logo podemos obter sua inversa. Como y = -x + para obter a inversa basta trocar x por y e vice-versa, isolando novamente o y. ssim: Tocando x por y temos : x = -y + x+ Isolando novamente o y teremosy= 7

: - - ssim f: = { (-,), (-,), (,), (,), (,)} e f - : = {(,-), (,-), (,), (,), (,)} Como a função de em é definida por y = x + sua inversa f - é definida de em e tem por lei: y = x.

8 Exercicios ) Classifique cada uma das funções abaixo como sobrejetora, injetora ou bijetora a). b) 6 c) d) ) Dados os conjuntos = { -, -, -,, }, ={ -, -, -,, }, C = {,,, } e D={ -,,,,,,, 6} classifique as funções abaixo como sobrejetora, injetora ou bijetora a) f:; y = x + b) f: C; y = x + c) f: D; y = -x + ) Sejam os conjuntos = {-, -,,, } e = {,, }. a) Determine a inversa das relação R = { (x,y) ϵ X/ y = x + } b) relação R é função? Caso seja função é invertivel? Por quê? ) Dados os conjuntos ={ -,,,, } e = {,,,, } e a função f: definida por y =x + verifique se a função é bijetora e em caso afirmativo determine f -. ) função y = -x + definida de IR IR determine f - () 6) Determine a função inversa de cada uma das funções bijetoras, sendo dados o domínio e o contradomínio. a) y = x em D f = IR e CD f = IR b) y = -x + 7 em D f = IR e CD f = IR x+ c) y= em D f = IR-{} e CD f = IR-{} x x 6 d) y= em D f = IR-6} e CD f = IR-{-} x + 8

C; y = x + c) f: D; y = -x + ) Sejam os conjuntos = {-, -,,, } e = {,, }. a) Determine a inversa das relação R = { (x,y) ϵ X/ y = x + } b) relação R é função? Caso seja função é invertivel? Por quê?

9 Funções Especiais e função composta Função Teto (representação f(x) = x ) Definida de IR a função teto associa a cada x real o menor inteiro maior ou igual a x. Exemplo Seja a função f(x) = x determinar: a) f(,) =, = b) f(-,8) =,8 = - c) f(,) =, = d) f(-,8) =,8 = Gráfico da função f(x) = x Função Piso ( representação f(x) = x ) Definida de IR a função teto associa a cada x real o maior inteiro menor ou igual a x. Exemplo Seja a função f(x) = x determinar: a) f(,) =, = b) f(-,8) =,8 = - c) f(,) =, = d) f(-,8) =,8 = - 9

Exemplo Seja a função f(x) = x determinar: a) f(,) =, = b) f(-,8) =,8 = - c) f(,) =, = d) f(-,8) =,8 = Gráfico da função f(x) = x

10 Gráfico da função f(x) = x Função mod = resto da divisão ( congruências) Sejam a, b e r números inteiros com b > e r. Dizemos que a é congruente à r, módulo b, representamos (a mod b r) se b for divisor de a r. Para simplificar usaremos a notação: a mod b = r Ou seja, a mod b = r, se r, r < b, for o resto da divisão de a por b. Portanto existe um número inteiro q, tal que a = b.q +r Exemplos : mod = pois = 8. + ou é o resto na divisão de por mod 7 = pois = 7. + ou é o resto na divisão de por 7 8 mod 6 = pois 8 = 6. + ou zero é o resto na divisão de 8 por 6 - mod = pois -=.(-) + = mod = pois -7 = -. + Função composta Dados os conjuntos, não vazios,, e C e as funções f: e g: C. função h: C tal que h(x) = g(f(x)) é chamada de função composta de g com f, que representaremos por g ₒ f(x). Onde lê-se g composta por f. ssim g ₒ f(x)= g(f(x)) ou a imagem da função g cujo valor de x é dado por f(x)

Para simplificar usaremos a notação: a mod b = r Ou seja, a mod b = r, se r, r < b, for o resto da divisão de a por b. Portanto existe um número inteiro q, tal que a = b.

11 Exemplos Sejam as funções f:ir IR definida por f(x) = x e g: IR IR definida por g(x)= x, obter: a) g ₒ f() b) f ₒ g () c) g ₒ f(x) d) f ₒ g (x) Resolução a) g ₒ f()= g(f()) como f() =. = 7, então g ₒ f()= g(7) = 7 logo g ₒ f()= b) f ₒ g ()= f(g()) como g() = - =, então f ₒ g ()=f() =. logo f ₒ g ()= 9 c) g ₒ f(x) = g(f(x)) como f(x) = x, então g ₒ f(x) = g(x-) = ( x ) logo: g ₒ f(x)= x x + 9 portanto: g ₒ f(x)= x x + d) f ₒ g (x) como g(x) = x, então f ₒ g (x)= f(x )= (x -) - logo f ₒ g (x)= x 8 portanto f ₒ g (x)= x Exercicios: ) Dada a função f( x) = x a) f(,)= b) f(-,9)= c) f(,)= d) f(-,)= determine a imagem em cada caso: ) Dada a função f( x) = x determine a imagem em cada caso: a) f(,)=

12 b) f(-,9)= c) f(,)= d) f(-,)= ) Dada a função f( x) = x a) f(,)= b) f(-,9)= c) f(,)= d) f(-,)= determine a imagem em cada caso: ) Dada a função f( x) = x determine a imagem em cada caso: a) f(,)= b) f(-,9)= c) f(,)= d) f(-,)= ) Determine x em cada caso a) x= mod b) x= mod c) x= mod d) x= 8 mod 6 e) x= -8 mod f) x= - mod 6) Dada as funções f(x) = x, g(x) = -x + e h(x) = x - determine: a) f ₒ g() = b) gₒf( ) = c) f ₒ h(-) = d) hₒf(-) = e) f ₒ g(x)= f) gₒf( x) = g) gₒh( x) = h) hₒg(x) = 7) Dada as funções f( x) = x e g(x) = x - determine a) fₒg(,) b) fₒg( -,6)

x= mod d) x= 8 mod 6 e) x= -8 mod f) x= - mod 6) Dada as funções f(x) = x, g(x) = -x + e h(x) = x - determine: a) f ₒ g() = b) gₒf( ) = c) f

13 8) Dada as funções f( x) = x e g(x) = x - determine c) fₒg(,) d) fₒg( -,6)

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