E Flexão Pura. Σ F y = 0 Q = q (x) dx + (Q + dq)

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1 Cap. 5.0 FLEXAO PURA E Flexão Pura 5.1 INTRODUÇÃO As peças longas, quando sumetidas à flexão, apresentam tensões normais elevadas (por exemplo, para se querar um lápis, com as mãos, jamais se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo ou cisalá-lo; um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tensões de ruptura no material). Daí a importância do presente estudo. 5.2 MOMENTO FLETOR (M) Recordando estudos de Isostática, quando da análise das relações entre os esforços solicitantes em uma viga so carregamento transversal q(x), temos que: q(x) Σ F = 0 Q = q (x) dx + (Q + dq) dq/dx = - q(x)... (5.2.1) x M Q O dx Q+dQ M+dM Fig Relações entre q(x), Q e M em uma viga Σ M o =0 M+Qdx=q(x)dx.dx/ξ + M+dM (sendo ξ > 1, tornando o termo desprezível em presença das demais) e dm/dx = Q... (5.2.2) A relação denota que, quando a força cortante Q é nula ao longo de uma extensão x da viga, o momento fletor M será constante (FLEXÃO PURA). Da mesma forma, nas seções onde o momento fletor é extremo (máximo [+] ou mínimo [-]) a força cortante será nula, sendo aplicável para tais casos (de especial importância) o estudo da flexão como sendo pura. 2,0 tf 2,0 tf 4,0 tf 1,0 tf / m 2,0 tf 1,5 4,0 m 1,5 1,5 4,0 m 1,5 3,5 m 3,5 m + 2,0 Q = 0-2,0 + 2,0 Q = 0 + 2,0-2,0 Q = 0-2,0 2,0 tf Q (tf) +3,0 tf.m +5,0 tf.m +7,0 tf.m M Fig Diagramas de esforços solicitantes (Q e M) de vigas so carregamento transversal (exemplos) 1

2 5.3 TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO RETA (SIMÉTRICA) E ELÁSTICA. No caso comum de vigas com seção transversal simétrica em relação ao plano do carregamento, verifica-se que a distriuição das tensões normais nos diversos pontos da seção só depende da distância em relação à lina que a divide nas partes tracionada e comprimida ( lina neutra LN Fig a e ). Admitindo que a seção transversal permanece plana após girar em torno da LN em decorrência da deformação das firas longitudinais, concluiremos que a lina neutra será reta e que as deformações ε variarão linearmente com relação a seu afastamento em relação à LN (Fig c). LN M LN LN (a) σ Fig (a) Flexão de vigas simétricas. () tensões normais. (c) deformações manutenção da seção plana (Os: o eixo foi orientado para aixo para se adequar à convenção de sinais do momento fletor - positivo quando traciona as firas inferiores e comprime as superiores) Computando a resultante dos momentos, em relação à lina neutra, das forças elementares atuantes nos diversos pontos da seção podemos escrever (Fig ): σ da. = M...(5.3.1) Adotando a ipótese da manutenção da seção plana (Fig c), e admitindo que o material da viga traala na fase elástica podemos escrever sucessivamente: () da ε = c.... σ = E ε... σ = k...(distriuição linear das tensões) e σ ε (c) k da. = M k = M / 2 da, sendo 2 da = I LN (momento de inércia da área da seção transversal em relação à lina neutra). Portanto: σ σ = (M / I LN )... (5.3.2) σ+ equação estaelecida por Euler, para determinação da tensão normal σ atuante em um ponto qualquer de uma dada seção de uma viga, onde atua um momento fletor M e que 2

3 tem um momento de inércia I LN em relação à lina neutra, sendo a distância do ponto citado, em relação à mencionada LN. Resta precisar a posição em que se encontra a lina neutra. Como na flexão pura a força normal é nula, teremos, necessariamente: σ da = N = 0 e ( Μ / Ι LN ) da = 0, portanto, da = 0, ou seja, o momento estático (de 1ª ordem) da área da seção em relação à Lina Neutra sendo nulo, indica que a LN contém o centróide da área. 5.4 VÁRIAS FORMAS DE SEÇÃO. MÓDULO DE RESISTÊNCIA (W). Para as formas mais comuns das seções das vigas (retangular, circular, tuular ou composições destas), o cômputo dos respectivos momentos de inércia I em relação a eixo central que contém o centróide da área nos fornece, por exemplo (com e << ~ ~ d): d I = 3 / 12 π d 4 / 64 e 3 /6 + e 2 /2 π e d 3 / 8 e 3 /12 + e 2 /2 e e d e e e Fig Algumas formas de seção transversal de vigas e seus respectivos momentos de inércia. O momento de inércia I da seção (com dimensão do produto de uma área pelo quadrado de uma distância), medido em m 4 no S.I., será tanto maior quanto maiores forem as dimensões no sentido do plano do carregamento (note na taela acima a prevalência das potências das dimensões quando comparadas com as das dimensões ). Oservando a equação 5.3.2, verificase que altos valores de I corresponderão a valores menores de σ, o que leva ao emprego de vigas de seção transversal cuja área seja distriuída de forma mais afastada em relação à lina neutra (ex.: perfil I ). Fig Na posição em que se encontra a placa de vidro mostrada acima, corre ela sério risco de partir por flexão devido ao peso próprio, o que não aconteceria se fosse posicionada verticalmente. As máximas tensões normais (de tração e de compressão), em uma dada seção, ocorrerão nas firas cujas distâncias em relação à lina neutra sejam as mais afastadas. Assim, de 5.3.2, tiramos: 3

4 σ max = (M / I LN ) max = M / (I LN / max ) Fazendo (I LN / max) = W... (5.4.1) (onde W módulo de resistência à flexão) podemos escrever: σ max = (M / W min )... (5.4.2) A taela aaixo apresenta valores do módulo de resistência W de algumas formas de seção (com e << ~ ~ d):. e 2d/3π e e m /3 d d d e a W min 2 / 6 πd 3 / 32 2 / 24 0,02384 d 3 e 2 /3 + e π e d 3 / 8 e a 2 /6 + e m (**) (* ) Dois teoremas (Steiner) relativos à Geometria das Áreas, estudados nos cursos de Mecânica, são muito úteis no cálculo dos momentos e produtos de inércia: Teorema dos Eixos Perpendiculares: I x + I = J o (*) d x Teorema dos Eixos Paralelos: I x = I x + A d 2 (**) ou tamém: I = I + A d x 2 - para os produtos de inércia: I x = I x + A d x d ) sendo d x e d as distâncias entre os pares de eixos paralelos, com origens num ponto O qualquer e no centróide C da área. Por exemplo: para o tuo circular assinalado com (*), J o = π d e (d/2) 2 = I x + I = 2I x =>I x = π e d 3 / 8 Para oter o valor de I da meia-lua (**) fizemos: I x = I x A 2 = ½ πd 3 / 32 ½ (πd 2 / 4)(d/2 2d/3π) 2 O C d Fig Momentos e Produtos de Inércia. Teoremas de Steiner. x x 4

5 d Exemplo Deseja-se cortar uma tora de madeira de seção circular de diâmetro d para faricar uma viga de seção retangular ( x ). Determine a relação / ótima para maximizar o módulo de resistência W (minimizando as tensões na flexão reta). Solução: W = 2 / 6. Para a tora, d 2 = Portanto: W = (/6)(d 2 2 ). O máximo valor de W ocorre quando dw/d = 0, ou seja d 2 /6 3 2 /6 = 0 e d 2 = 3 2 ; 2 =2 2. Temos, pois: / = 0,707 (Resp.) Exercício proposto Deseja-se faricar um perfil C a partir de uma arra cata de espessura e e largura a, dorada como mostra a figura. Pede-se determinar a relação entre a largura das mesas e a altura da alma, de modo a que o módulo de resistência W do perfil seja o maior possível. (os. no cômputo da contriuição das mesas para o momento de inércia, desprezar o momento aricêntrico e 3 /12,em presença de 3 /12, já que a espessura e << ). e a Tratando-se de seções que não são simétricas em relação ao eixo aricêntrico perpendicular ao plano do carregamento, deverão ser considerados dois módulos de resistência, em relação às firas mais afastadas, a inferior e a superior (no lado tracionado e no lado comprimido, no caso de um momento fletor positivo). Tal circunstância é levada em conta, de maneira especial, no caso de vigas construídas com material cujas tensões limites são diversas para a tração e para a compressão (caso do concreto, do granito, da madeira e outros), tendo seções dimensionadas de forma a que a lina neutra se aproxime da fira sumetida ao menor esforço. M + σ max compressão σ max tração Fig Posicionamentos de viga construída com material cuja tensão limite à tração é menor que à compressão. 5

6 Q (kn) 9 M (knm) 9,0 kn 15 kn/m 1,00 0,50 2,00 m 0,50 18 Q =0 + Q =0 - A M A = 9 - x=1,2 + M* = 10,8 - Com os valores otidos teremos: 1) na seção do apoio A [σ max ] tração = (9.000/88,09 x 10-6 )(0,320 0,2253) = 9,68 MPa (T) [σ max ] compressão = (9.000/88,09 x 10-6 ) (0,2253) = 23,0 MPa (C) 2) na seção (*) [σ max ] tração = (10.800/88,09 x 10-6 )(0,2253) = 27,6 MPa (T) [σ max ] compressão = (10.800/88,09 x 10-6 )(0,320 0,2253) = 11,6 MPa (T) Portanto: [σ max ] tração = 27,6 MPa (T) (na seção *) [σ max ] compressão = 23,0 MPa (C) (na seção sore o apoio A) B _ Solução 20 Exemplo 5.4.3: Para a viga esquematizada, pede-se determinar, nas seções onde a flexão é pura (Q=0), os valores das maiores tensões de tração e de compressão. O cálculo das reações nos apoios nos dá: A = 27 kn e B = 12 kn. O diagrama de força cortante aponta Q = 0 no apoio A e na seção tal que x/18=(x-2)/12 Os momentos extremos, nessas seções, valerão: 12 M A = - 9 knm e M* = 10,8 knm. _ O centróide da seção (lina neutra) estará em = 15x300 x x 20 x 310 =225,3mm 300 x x 20 I LN = 15 x / x15(225,3 150) 2 x X 200 x 20 3 / x20( ,3) 2 = = 88,09 x 10 6 mm 4 = 88,09 x 10-6 m 4 1,00 2,00 m 1,00 Exercício proposto 5.4.4: Dimensionar as vigas para suporte de uma caixa para litros de água. Admitir: 1º) que as vigas sejam de madeira, (tensão normal limite 40 MPa coeficiente de segurança 4,0) com seção retangular sendo = 0,7. Avaliar o efeito do peso próprio da viga. 2º) que as vigas são perfis de aço laminado (tensão limite 200 MPa e coeficiente de segurança 2,0) com seção em I de dimensões mostradas na taela de perfis laminados constante da Taela B Perfis I laminados ou na página 1194 do LT-1. Avaliar o efeito do peso próprio. Consulte tamém o item LINKS da.p. no endereço: OBS. Considerar a conveniência de se colocar calços so a caixa para o contato com as vigas. Dimensionar os calços. 6

7 5.5 VIGAS CONSTITUÍDAS DE DOIS MATERIAIS. SEÇÃO TRANSFORMADA. Para vigas cujo material tem tensões limites diferentes, quanto à tração e quanto à compressão (caso típico do concreto, que suporta elevadas tensões de compressão, sendo frágil quando sumetido à tração), usa-se o expediente de promover um reforço com material que seja mais resistente. É a solução adotada, por exemplo, nas vigas de concreto armado. A Para uma viga constituída de um material A e que tena um reforço em um material diferente B (conforme representado na figura ao lado), o cálculo do momento fletor resultante na seção composta será dado por: M = A σ A da A A + B σ B da B B M = A σ A A A d A + B σ B B B d B..(5.5.1) Como a flexão é suposta pura, N = 0, e N = A σ A da A + B σ B da B = 0 N = A σ A A d A + B σ B B d B = 0...(5.5.2) Fig Viga constituída de dois materiais Nas equações e 2, as distâncias são contadas, nos materiais A e B, a partir da lina neutra, eixo em torno do qual a seção gira ao flexionar, tracionando as firas de um lado e comprimindo do outro da seção. Mantendo a suposição de que a seção reta permanece plana após a flexão, será fácil predizer que as deformações específicas ε variarão linearmente com as correspondentes distâncias, ou seja: ε = k. Tendo os materiais A e B comportamento elástico (σ = E ε ) poderemos escrever: σ A = E A ε A = E A k A ; σ B = E B ε B = E B k B... (5.5.3) Levando em oteremos: N = A E A k A A d A + B E B k B B d B = 0, ou A E A A A d A + B E B B B d B = 0, ou ainda, A A A d A + B (E B / E A ) B B d B = 0. Fazendo (E B / E A ) = n (relação entre os módulos de elasticidade dos dois materiais), a equação acima se transforma em: A A A d A + B B (n B ) d B = 0, lina neutra Lina neutra B d B B A d A que pode ser interpretada como indicando que a lina neutra estará posicionada na altura do centróide de uma área ipotética, constituída por sua forma original, na altura do material A, porém transformada, na altura do material B, de forma a que as dimensões orizontais fiquem multiplicadas pelo fator adimensional n = E B /E A. Quando levamos as mesmas equações 5.5.3, agora na equação 5.5.1, teremos: Viga constituída de dois materiais M = A E A k A 2 A d A + B E B k B 2 B d B ; ou M / k E A = A A 2 A d A + B B 2 (n B ) d B, 7

8 n x _ n E Flexão Pura que vem a ser o momento de inércia I T daquela mesma seção transformada como se fosse toda ela constituída do material A (mantidas as dimensões na parte do material escolido para a transformação e alterando as dimensões orizontais da parte transformada, multiplicadas pelo fator n): A A 2 A d A + B B 2 (n B ) d B = I T = M / k E A, de onde tiramos: k = M / I T E A. Voltando às equações 5.5.3, teremos: σ A = (M / I T ) A ; σ B = n (M / I T ) B... (5.5.4) (a transformação poderia ter sido feita utilizando o material B como ase, alterando as dimensões da parte A (x 1/n) Fig Seção Transformada n = E B / E A > Exemplo A viga de madeira esquematizada tem um reforço constituído por uma arra de aço, como indicado. Pedem-se as tensões máximas de tração e compressão nos dois materiais, para um momento fletor M = 20 kn.m (+) Dados: E aço = 200 GPa; E madeira = 10 GPa x 20 = ,7 4,99 Solução: n = 200/10 = 20. A seção transformada teria as dimensões mostradas na figura ao lado, para a qual: Y = 1200x20x x200x120 = 65 mm 120x x1200 I T = 1200x20 3 / x20x(65 10) x200 3 / x200x(120 65) 2 = 226 x 10 6 mm 4 = 226 x 10 6 m 4. [σ max] madeira / compressão = (20.000/226x10-6 )(0,220-0,065) = =13,7 MPa [σ max] madeira / tração = (20.000/226x10-6 )(0,065-0,020) = =3,99 MPa [σ max] aço / tração = (20.000/226x10-6 )(0,065) = 115 MPa. (não á compressão no reforço de aço) 115 MPa Exercicio proposto Resolva o prolema anterior adotando como seção transformada aquela convertida em aço, ou seja, dividindo a largura da parte de madeira por n, recalculando o novo I T, para, ao final, oter os mesmos resultados para as tensões calculadas. 120 : 20 = 6 No caso de vigas de concreto, armadas com tirantes de aço, quando o cálculo das tensões é feito considerando que o concreto não é capaz de traalar quando tracionado (porque se fratura), a posição da lina neutra da seção transformada não fica previamente determinada, devendo-se considerar, no cálculo de seu posicionamento, que o momento 8

9 estático da área comprimida (parte de concreto) deverá ser igual ao momento estático da área correspondente à parte tracionada. Como a relação entre os módulos Lina neutra A a (área da armadura em aço) n x A a de elasticidade dos dois materiais (n) é da ordem de 200/20 = 10, consideraremos que a área de aço é confinada em uma lina na altura da armadura, já que o diâmetro dos vergalões é pequeno em relação às dimensões da viga, teremos: Área da armadura transformada em concreto = 10 x Área em aço. No cômputo do momento de inércia da área transformada desprezamos a parcela correspondente à lina de centro da armadura. Exemplo 5.5.3: Uma viga de concreto armado, i-apoiada, suporta uma carga uniformemente distriuída de 24 kn/m em um vão de 5m. A seção retangular mede 300 x 540 mm 2 reforçada com 5 arras de aço redondo de 7/8 (1 polegada = 25,4 mm) com seus centros colocados a 70 mm da parte inferior da viga. Os módulos de elasticidade do aço e do concreto valem 200 e 20 GPa, respectivamente. Determinar as tensões longitudinais máximas no concreto e a tensão média de tração no aço, admitindo: 1º) que o concreto seja eficaz para suportar a tração; 2º) que nenuma parte do concreto seja eficaz para tração. No meio do vão a flexão é pura (Q=0) e o momento fletor é máximo, valendo: M = 60 x 2,5 (24 x 2,5 x ½ 2,5) = 75 kn.m 1º) Supondo que o concreto fosse eficaz para suportar tensões de tração (prática em desuso denominada Estádio 1 ), a seção transformada teria as características representadas na figura aaixo: 60 kn 2,5 m 24 k N / m Q = 0 75 kn.m 60 kn ou 540 Lina Neutra 70 ½ 1940 x 10 ½ 1940 x 10 uracos n 5 vergalões d = (7/ 8) x 25,4 = 22,2mm; A v = 387,9 mm 2 Área total: A a = 1940 mm 2 n ½ 1940 x 9 n - 1 ½ 1940 x 9 n - 1 LN 9

10 A posição da lina neutra fica determinada fazendo: LN = 300 x 540 x x 9 x x x 9 = 250, 5 mm. O momento de inércia da transformada valerá: I T = 300 x / x 540 ( ,5) x 9 x (250, 5 70) 2 = x 10 6 mm 4 I T = x 10 6 m 4. Portanto:, as tensões extremas no concreto valerão: σ Τração = ( / x 10 6 ) (0,2505) = 4,11 MPa (na fira inferior) σ Compressão = ( / x 10 6 ) (0, 540-0,2505) = 4,75 MPa (na fira superior) A tensão média na armadura de aço valeria: σ Aço = ( / x 10 6 ) (0,2505 0,070) x 10 = 29,6 MPa. 2º) Supondo, agora, que o concreto não seja eficaz para suportar tensões de tração ( Estádio 2 ), a seção transformada seria como a apresentada na figura aaixo Lina Neutra LN A posição da lina neutra será determinada igualando os momentos estáticos da área eficaz do concreto (comprimida) e da área total da armadura de aço, transformada. Assim: x 10 mm (540 LN )(540 ln ) x ½ = = x ( LN 70). LN = 349,8 mm O momento de inércia da seção transformada em relação à lina neutra valerá: I T = 300 x ( ,8) 3 / x (349,8 70) 2 = 2.206,6 x 10 6 mm 4 = 2.206,6 x 10-6 m 4 Portanto: (no concreto) (σ Compressão ) máxima = ( / 2.206,6 x 10 6 ) (0, 540 0,3498) = 6,46 MPa (na parte superior da seção) (no aço) (σ Tração ) média = 10 x ( / 2.206,6 x 10 6 ) (0,3498 0,070) = 95,1 MPa (na armadura) 10

11 5.6 FLEXÃO PURA ASSIMÉTRICA (FLEXÃO OBLIQUA) Na determinação das tensões normais despertadas na flexão pura (Q=0) de vigas cujo plano do carregamento não coincide com um eixo de simetria da seção, ou quando a seção não dispõe de qualquer eixo de simetria, a equação de Euler (5.3.2) não pode ser utilizada. A Fig representa uma viga com seção de formato qualquer, sumetida a um momento fletor M orientado segundo uma direção qualquer, formando um ângulo θ, como indicado. O eixo foi orientado para aixo enquanto o eixo z foi escolido de forma a constituir um triedro direto com o eixo x ao longo da viga (a θ origem posta no centróide C da área da seção). Plano do carregamento θ M z M Fig Flexão Oliqua. M Tomando momentos das forças normais elementares atuantes nos diversos pontos da seção, teremos: M z = σ da e M = σ da z...(5.6.1) Admitindo que a seção transversal permanece plana após girar em torno da lina neutra, concluiremos que as deformações ε das diversas firas longitudinais da viga variarão linearmente com respeito às coordenadas e z do ponto da seção correspondente. Considerando, em complemento, que o material traala elasticamente ao se deformar (tensões proporcionais às deformações), poderemos escrever: >>> σ = k 0 + k 1 + k 2 z, sendo k i constantes a determinar. Considerando que a flexão é pura e, portanto, N = 0, teremos que N = σ da = 0 e, então k 0 = 0, (já que os momentos estáticos em relação aos eixos aricêntricos são nulos) indicando que a lina neutra, tamém neste caso, contém o centróide da área da seção e que: Levando em otemos: C z da σ z x Convém frisar que as componentes de momento M z e M escolidas são aquelas que produziriam tensões trativas para um da posicionado no primeiro quadrante do par de eixos z (note que M será positivo quando orientado no sentido positivo do eixo, enquanto M z será positivo, quando orientado no sentido negativo do eixo z -tensões de tração nas firas inferiores). σ = k 1 + k 2 z... (5.6.2) M z = (k k 2 z) da e M z = (k 1 z + k 2 z 2 ) da, ou M z = k 1 2 da + k 2 z da e M z = k 1 z da + k 2 z 2 da. 11

12 Considerando que: 2 da = I z ; z 2 da = I ; z da = P z * * - P z - Produto de Inércia da área da seção em relação ao par de eixos z. Finalmente teremos: M z = k 1 I z + k 2 P z... (5.6.3). M = k 1 P z + k 2 I Conecido o carregamento e determinado o momento fletor, otemos suas componentes nos eixos (para aixo) e z escolidos (cuidado com o sinal de M z, positivo quando no sentido negativo do eixo z). Conecidas as características geométricas da seção, podemos determinar os momentos e produto de inércia em relação aos eixos. Tais valores (M z, M, I z, I e P z ), levados em 5.6.3, nos permitem oter um sistema de duas equações com as duas incógnitas k 1 e k 2. Resolvido o sistema e utilizando 5.6.2, oteremos o valor da tensão normal, astando conecer as coordenadas do ponto correspondente da seção. A posição da lina neutra será determinada considerando que nela as tensões serão nulas (fazendo σ = 0 em 5.6.2, otendo-se a equação da L.N.). Exemplo nº O perfil de aas desiguais esquematizado ao lado é sumetido a um carregamento vertical e, em determinada seção, a flexão é pura, com momento fletor de 10,0 kn.m, tracionando a aa superior. Pede-se determinar: 1º) as tensões normais nos pontos A, B e C assinalados; 2º) a posição da lina neutra; 3º) as máximas tensões de tração e de compressão na seção. A M = 10,0 kn.m C 52 B 22 CG z Solução Estaelecendo os eixos z com origem no centróide da área da seção: c = (60 x20 x x20 x70) / (60 x x20) = 52 mm z c = (60 x20 x x20 x 10) / (60 x x20) = 22 mm No cálculo dos momentos de inércia otem-se: I z = 60 x20 3 / x20(52 10) x / x 20(70 52) 2 = = 7,637 x 10 6 mm 4 = 7,637 x 10 6 m 4 I = 140 x20 3 / x20(22 10) x 60 3 / x 20(50 22) 2 = = 1,797 x 10 6 mm 4 = 1,797 x 10 6 m 4 12

13 No cômputo do PRODUTO DE INERCIA P z levaremos em conta que é nulo o seu valor quando um dos eixos for de simetria para a seção. Portanto, os produtos de inércia aricêntricos para cada uma das aas retangulares serão nulos, astando apenas acrescentar os produtos de transporte para o aricentro da figura, conforme estaelece o teorema de Steiner (eixos paralelos). Importante será levar em conta que, ao contrário dos momentos de inércia (grandeza sempre positiva), o produto de inércia pode ser positivo ou negativo (conforme o quadrante em que a figura esteja posicionada) Assim, para a área da cantoneira em análise (em sua maior parte contida nos 2º e 4º quadrantes) teremos: P z = [ - 60 x 20 x (50 22) x (52 10)] + [ x 20 x (70 52) x (22 10) = = - 2,016 x 10 6 mm 4 = - 2,016 x 10 6 m 4 Levando em os resultados otidos para as propriedades geométricas da seção e considerando que o momento fletor M tem como componentes: M = 0 e M z = - 10 kn.m (o sinal negativo corresponde à convenção usual para momentos que tracionam as firas superiores, emora esteja orientado no sentido positivo do eixo z cuidado! segundo o eixo a incoerência não ocorre ): - 10 x 10 3 = [ 7,637 k 1 + (- 2,016) k 2 ] x = [(- 2,016) k 1 + 1,797 k 2 ] x 10-6 Resolvido o sistema otemos: k 1 = x 10 6 ; k 2 = x 10 6 (Pa/m) e, levando em 5.12, teremos finalmente: σ = ( ) + ( ) z...(a) Para os pontos A(-52; -22); B(-52; +58) e C(+84; -2) coordenadas (; z) em mm, teremos: σ A = MPa (tração); σ B = - 24,3 MPa (compressão!! *); σ C = 152 MPa (compressão). * o resultado, inesperado em princípio, de uma tensão de compressão em ponto da aa superior do perfil, ficará compreendido ao analisarmos a posição da lina neutra. A lina neutra (que separa as regiões tracionada e comprimida) é o lugar geométrico dos pontos da seção onde a tensão é nula, permitindo oter-se a sua equação z LN = f ( LN ) fazendo σ = 0 em (a): 0 = z >>>> z LN = - 0,8912 LN (eq. da LN) indicando que a LN forma um ângulo β com o eixo tal que a sua tg = - 0,8915 ou seja β = - 41,7º = + 138,3º. Portanto, a lina neutra não coincide com a lina de ação do vetor momento na seção (ao contrário do que ocorre na flexão reta). O ponto B, realmente, está no lado comprimido do perfil. As tensões máximas ocorrerão nos pontos mais afastados da lina neutra. No caso em apreciação: σ max Tração = 143 MPa (ponto A); σ max Comp. = 152 MPa (ponto A) Nota: se a equação de Euler (5.4) fosse empregada para o caso (solução incaível) as tensões extremas seriam calculadas como: σ A = σ B = ( / 7,637 x 10-6 ) x 0,052 = 68,1 MPa (errado!) σ C = ( / 7,637 x 10-6 ) x 0,088 = 115 MPa (errado!) 52 Lina Neutra - 41,7º A C - B 41,9º z 13

14 No caso de vigas cuja seção transversal possui um eixo de simetria, porém o plano do carregamento não coincide com o seu plano de simetria (FLEXAO OBLIQUA), a determinação das tensões se realiza de maneira mais simples escolendo-se, como um dos eixos, o eixo citado de simetria da seção. Assim, teremos a condição simplificada de P z = 0 que, levada em nos fornece: k 1 = M Z / I Z e k 2 = M Y / I Y. Considerando 5.6.2, termos finalmente: M Y Z Plano do carregamento σ = (M Z / I Z ) Y + (M Y / I Y ) Z... (5.6.4) indicando que a solução seria a composição de duas flexões retas, cada uma computada em relação a um dos eixos principais da seção (representados em letras maiúsculas como Y e Z). Os.: mesmo que a seção não admita um eixo de simetria, averá dois eixos perpendiculares em relação aos quais o produto de inércia será nulo (eixos principais de inércia), e para os quais os momentos de inércia serão extremos (um máximo e outro mínimo). Seus valores são dados por: Exemplo nº A viga em T, posicionada oliquamente em relação ao plano do carregamento vertical, com a alma formando um ângulo de 30º, está sumetida, em determinada seção, a flexão pura com um momento fletor de intensidade M = 2,5 kn.m, tracionando as firas inferiores. Pede-se determinar M as máximas tensões de tração e de compressão, indicando os pontos da seção onde ocorrem. Solução: LN O centróide da seção fica em: Y C = (80x30x x24x80) / (80x x24) = 47,5 mm Os momentos de inércia principais valerão: I Z =80x30 3 / x30(47,5 15) x100 3 / x24(80 47,5) 2 I Z = 7,250 x 10-6 m Y 4 I Y = 30 x 80 3 / x 24 3 / 12 = 1,395 x 10-6 mm 4 I Y = 1,395 x 10-6 m 4 As componentes do momento fletor nos eixos principais serão: M Z = 2,5 x cos 30º = + 2,165 kn.m; I 1,2 = ½ (I + I z ) + [ ½ (I I z ) 2 + (P z ) 2 M Y = 2,5 x cos 60º = + 1,250 kn.m; Levando em 2.14 teremos: σ = (2.165 / 7,250x10-6 ) Y + (1.250 / 1,395x10-6 ) Z; σ = ( 298,6 Y + 896,1 Z )x10 6. A equação da lina neutra (σ = 0) será: Z LN = - 0,3332 Y LN. Portanto, a LN forma com o eixo Y um ângulo tal que tg β = - 0,3332 e β = -18,43º. Os pontos onde ocorrem as tensões extremas são aqueles mais afastados da LN. Para a compressão, não á dúvida, será a quina A da mesa: σ Α = [298,6 x (-0,0475) + 896,1 (-0,040)] x 10 6 = - 50,0 MPa (compressão máxima). Para a tração, dois seriam os candidatos : (a quina B da mesa e a quina C da alma): σ Β = [298,6 x (-0, ,030) + 896,1 (+0,040)] x 10 6 = + 30,6 MPa. σ C = [298,6 x (0,130-0,0475) + 896,1 (+0,012)] x 10 6 = + 35,4 MPa (tração máxima). C A 24 30º 80 Z B Y C 14

15 M Exercício Proposto nº Para a viga retangular ( x ), sumetida a um carregamento vertical direcionado segundo uma de suas diagonais, pede-se: 1º) mostrar que a lina neutra estará direcionada segundo a outra diagonal, e 2º) determinar as máximas tensões de tração e compressão em função do momento M e das dimensões da seção. 5.7 DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO PURA SIMÉTRICA E ELÁSTICA. O momento fletor é o esforço solicitante que, atuando em duas seções contíguas paralelas de uma viga reta, separadas de dx, provoca um ângulo dϕ entre elas de sorte a se poder escrever (ver Fig aaixo): dϕ = ε dx / dϕ ρ sendo ε a deformação específica longitudinal de uma fira situada a uma distância do plano neutro. Admitindo que o material traala na fase elástica, teremos: x x z ε = σ / E = (M / E I LN ) portanto: σ dϕ = Μ dx / E I LN...(5.7.1) dx (1+ ε)dx Fig Deformações na flexão pura simétrica No caso da flexão pura, com M constante, seção uniforme e material continuo, ao longo da extensão L 0 da viga oteremos, para o pequeno ângulo formado entre as seções extremas: 15

16 δϕ = Μ L 0 / E I LN...(5.7.2) (compare com as equações 1.7.2, e 4.2.8). O raio de curvatura do plano neutro pode ser calculado oservando (ainda na Fig ) que: ρ dϕ = dx; portanto dϕ / dx = 1 / ρ 1 / ρ = Μ / Ε Ι LΝ... (5.7.3) 2 mm 35 D = 2,0 m 20 Exemplo nº Uma fita de aço (E = 210 GPa), com 2 mm de espessura e 20 mm de largura, é encurvada para formar um aro circular com 2,0m de diâmetro, sendo suas extremidades unidas através de um pino cravado conforme mostra a figura ao lado. Pede-se estimar: 1º) o valor máximo das tensões normais na fita; 2º) o valor da força de tração no pino da união. Os.: á uma superposição entre as fitas da ordem de 35 mm. Solução: A equação 5.16 nos fornece: 1 / ρ = Μ / Ε Ι LΝ = 1 / 1,0 = 12 M / 210x10 9 x 20 x (2) 3 x de onde tiramos M = 2,8 N.m F pino As tensões máximas (tanto de tração como de compressão) valerão: 35 σ =[12 x 2,8 / 20 x (2) 3 x ] x (1,0 x 10-3 ) = 210 MPa O momento fletor aplicado na extremidade da fita, através da ação do pino e do encosto com a outra extremidade da fita, será dado por: F pino x (2/3) 0,035 = 2,8 e, portanto: F pino = 120 N. (valor aproximado, admitindo que a ação de encosto entre as fitas se caracterizasse por uma distriuição linear de esforços, desde zero, na altura do pino, até o valor máximo, na extremidade). 16