RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1

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1 RESUMO TEÓRICO Experimentos aleatórios: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplo: Lançar um dado e verificar qual é a face voltada para cima. Espaço Amostral (U): conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo: Considerando como experimento aleatório Lançar um dado e verificar qual é a face voltada para cima o espaço amostal é U = { ; 2; 3; 4; 5; 6 } Evento A: qualquer subconjunto do espaço amostral U. Exemplo: Considerando como experimento aleatório Lançar um dado e verificar qual é a face voltada para cima podemos considerar como evento A Obter um número múltiplo de 3 e representamos A = { 3; 6 } U A Probabilidade do evento A: número de casos favoráveis a A P(A)= número de casos possíveis n(a) P(A) = n(u) Onde: n(a) = número de elementos de A n(u) = número de elementos do espaço amostral. 0 P(A) Exemplo: Lançando um dado, qual a probabilidade de observarmos na face voltada para cima um número múltiplo de 3? P(A) = 2 6 3

2 Principais tipos de eventos: Para os exemplos abaixo considere como experimento aleatório Lançar um dado e verificar qual é a face voltada para cima Evento elementar: subconjunto unitário de U. Exemplo: Evento E Observar um número múltiplo de 5 Probabilidade: P(E) = 6 Evento certo: o próprio espaço amostral U. (P = ) 6 Exemplo: Evento U Observar um número menor que 7 P(U) = 6 Evento impossível: subconjunto vazio de U. (P = 0) 0 Exemplo: Evento Observar um número maior que 7 P( ) = 0 6 Evento complementar ( A ): A = U A P( A ) = P(A) Exemplo: Evento A Observar um número múltiplo de 3. Evento Complementar de A A Observar um número que não é múltiplo de 3. P( A ) = 3 = 3 2 União de Eventos: união dos dois conjuntos que representam os eventos. Exemplo: Evento A Observar um número par. Evento B Observar um número primo. Evento A B Observar um número par ou primo. U A B 2

3 Probabilidade da União: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Exemplo: A par P(A) = 6 3 B primo P(B) = 6 3 A B par e primo P(A B) = 6 P(A B) = = 6 5 Intersecção de Eventos: intersecção dos dois conjuntos que representam os eventos. Também pode ser entendida como simultaneidade de condições ou ainda como sucessão de ocorrências de eventos. Probabilidade da Intersecção de Eventos: P ( A B ) calcula-se por meio da multiplicação da probabilidade do evento A pela probabilidade do evento B, levando em conta, a ocorrência do evento A. Exemplo: (simultaneidade de condições) A lançar uma moeda e observar cara. B lançar um dado e observar o número 5. A B lançar uma moeda e um dado e observar cara na moeda e número 5 no dado. P(A) = 2 P(B) = 6 P(A B) = 2 6 = 2 Exemplo: (sucessão de ocorrências de eventos) Uma urna com 0 bolas numeradas de a 0 A retirar um bola e observar um número par. B retirar outra bola (sem repor a primeira bola na urna) e observar um número par. A B Retirar duas bolas pares (sem reposição) 3

4 P(A) = 0 5 P(B) = 9 4 Para determinar P(B) foi considerado que a primeira bola par não foi reposta, sobrando assim, 4 bolas pares em 9 bolas (4 pares e 5 ímpares) P(A B) = = = Se no mesmo problema fosse reposta a primeira bola teríamos: P(A) = P(B) = P(A B) = = = Observação: O mesmo procedimento pode ser adotado para a intersecção de mais de dois eventos. Exemplo: No lançamento de três moedas (que é equivalente a lançar uma mesma moeda três vezes), qual a probabilidade de observarmos uma única cara? Solução: São três os casos a serem considerados: cara na primeira moeda e coroa nas outras duas, ou, cara na segunda moeda e coroa nas outra duas, ou, cara na terceira moeda e coroa nas outra duas. P(cara) = 2 Caso P(cara coroa coroa) = = 8 P(coroa) = 2 Caso 2 P(coroa cara coroa) = = 8 Caso 3 P(coroa coroa cara) = = 8 P(Caso Caso 2 Caso 3) = = 8 3 Eventos mutuamente exclusivos: eventos de intersecção vazia. Probabilidade Condicional e Intersecção de Eventos P A B P B A P( A B) P( B) P( A B) P( B) P A B ou P( A B) P( A B) P( A) P B A P( A) 4

5 ATIVIDADES ) De um baralho de 52 cartas, uma carta é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de se obter: a) dama de copas? b) dama? c) carta que não é dama? d) carta do naipe copas? e) carta do naipe copas ou dama? 2) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados e observados os números das faces de cima. Qual a probabilidade de se obter: a) números iguais? b) soma dos números maior ou igual a?c)número dois em pelo menos um dado? 3) Quatro bolas brancas e seis bolas pretas são colocadas em uma urna. Retirando-se duas bolas qual a probabilidade: a) da primeira ser branca e a segunda ser preta? b) da primeira ser preta e a segunda ser branca? c) de uma ser branca e a outra ser preta? d) das duas bolas serem brancas? e) das duas serem pretas? f) de pelo menos uma delas ser branca? g) de ambas serem brancas ou pretas? 4) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade: a) da primeira ser o ás de paus e a segunda ser o reis de paus? b) da primeira ser do naipe paus e a segunda ser do naipe copas? c) das duas serem do naipe paus? d) de ambas serem do naipe paus ou ambas serem do naipe copas? e) de ambas serem do mesmo naipe? f) das duas serem de naipes diferentes? 5) No concurso da Mega-Sena qual a probabilidade: a) de uma pessoa que preencheu um cartão com seis dezenas acertar o prêmio principal? b) de uma pessoa que preencheu um cartão com sete dezenas acertar o prêmio principal? 5

6 ATIVIDADES EXTRAS ) Uma urna contem vinte bolas sendo dez bolas brancas numeradas de a 0 e dez bolas pretas numeradas de a 0. Uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de se obter: a) a bola 7 branca? b) bola 7? c) bola que não é 7? d) bola branca? e) bola 7 ou branca? f) bola ímpar? g) bola ímpar e branca? h) bola ímpar ou branca? Respostas: a) /20 b) /0 c) 9/0 d) /2 e) /20 f) /2 g) /4 h) 3/4 2) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados e observados os números das faces de cima. Qual a probabilidade de se obter: a) números diferentes? b) número seis em pelo menos um dado? c) número seis em apenas um dos dados? d) a soma dos números igual a 5? e) a soma dos números igual a 7? f) a soma dos números igual a 5 ou 7? g) soma dos números maior ou igual a 0? Respostas: a) 5/6 b) /36 c) 5/8 d) /9 e) /6 f) 5/8 g) /6 3) Duas bolas brancas e três bolas pretas são colocadas em uma urna. Retirando-se duas bolas qual a probabilidade: a) da primeira ser branca e a segunda ser preta? b) da primeira ser preta e a segunda ser branca? c) de uma ser branca e a outra ser preta? d) das duas serem brancas? e) das duas serem pretas? f) de pelo menos uma delas ser branca? g) de ambas serem brancas ou pretas? Respostas: a) 3/0 b) 3/0 c) 3/5 d) /0 e) 3/0 f) 7/0 g) 2/5 6

7 4) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso três cartas sem reposição. Qual é a probabilidade: a) da primeira ser o ás de paus, a segunda ser o reis de paus e a terceira ser a dama de paus? b) da primeira ser do naipe paus, a segunda ser do naipe copas e a terceira ser do naipe espadas? c) das três serem do naipe paus? d) das três serem do naipe paus ou as três serem do naipe copas? e) das três serem do mesmo naipe? Respostas: a) /32600 b) 69/0200 c) /850 d) /425 e) 22/425 TESTES DE VESTIBULARES Teste : (PUC-SP 200) Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas Universidades é de: a) 70% b) 68% c) 60% d) 58% e) 52% Teste 2: (PUC-RIO 200) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda? a) /8 b) 2/9 c) /4 d) /3 e) 3/8 Teste 3: (PUC-RIO 2009) Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja igual a 0? a) /2 b) / c) /0 d) 2/23 e) /6 Teste 4: (PUC-RIO 2008) No jogo de Lipa sorteia-se um número entre e 600 (cada número possui a mesma probabilidade). A regra do jogo é: se o número sorteado for múltiplo de 6 então o jogador ganha uma bola branca e se o número sorteado for múltiplo de 0 então o jogador ganha uma bola preta. Qual a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma bola? a) 3/7 b) /5 c) 23/30 d) 2/3 e) /2 Teste 5: (PUC-RIO 2008) A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é: a) 60% b) 50% c) 45% d) 37,5% e) 25% Teste 6: (PUC-RIO 2007) A probabilidade de um dos cem números, 2, 3, 4,..., 00 ser múltiplo de 6 e de 0 ao mesmo tempo é: a) 3% b) 6% c) 2% d) 0% e) 60% Teste 7: (UFMG 2009) Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema: 7

8 Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é: a) /2 b) 2/3 c) 3/4 d) 5/6 Teste 8: (UFMG 2008) Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é: a) 27/64 b) 27/256 c) 9/64 d) 9/256 Teste 9: (FUVEST 2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: a) 2/9 b) /3 c) 4/9 d) 5/9 e) 2/3 Teste 0: (ADVISE 2009) O quadro funcional de uma empresa é composto de 35 pessoas efetivas e 5 pessoas prestadoras de serviços. Do pessoal efetivo 20 são homens e do pessoal prestador de serviço 5 são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa pessoa ser homem ou prestar serviço é: a) /5 b) 7/0 c) 9/0 d) 3/5 e) 4/5 Teste : (UFPR 200) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é /25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é /4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é /40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: a),0% b) 2,4% c) 4,0% d) 3,4% e) 2,5% Teste 2: (Enem 20) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das "ilhas de calor" da região, que deveriam ser inferiores a 3 C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico: 8

9 Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é: a) /5 b) /4 c) 2/5 d) 3/5 e) 3/4 Teste 3: (Enem 20) O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, pelo Comitê Gestor da Internet (CGI). Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos Mbps neste domicílio? a) 0,45 b) 0,42 c) 0,30 d) 0,22 e) 0,5 Teste 4: (Enem 200) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: 9

10 Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é: a) /3 b) /5 c) 2/5 d) 5/7 e) 5/4 Teste 5: (Enem 200) Em uma reserva florestal existem 263 espécies de peixes, 22 espécies de mamíferos, 93 espécies de répteis, 32 espécies de borboletas e 656 espécies de aves. Disponível em: Acesso em: 23 abr. 200 (adaptado). Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a probabilidade de ser uma borboleta? a) 63,3% b) 60,8% c) 56,52% d) 49,96% e) 43,27% RESPOSTAS DOS TESTES DE VESTIBULARES Teste : d) 58% Teste 2: c) /4 Teste 3: a) /2 Teste 4: c) 23/30 Teste 5: d) 37,5% Teste 6: a) 3% Teste 7: c) 3/4 Teste 8: a) 27/64 Teste 9: a) 2/9 Teste 0: b) 7/0 Teste : d) 3,4% Teste 2: e) 3/4 Teste 3: d) 0,22 Teste 4: d) 5/7 Teste 5: d) 49,96% 0