II Cálculo Integral em R n

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1 Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de omputadores Ano Lectivo 2/22 2 o emestre Exercícios propostos para as aulas práticas II álculo Integral em R n Departamento de Matemática da Universidade de oimbra

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3 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Eq.paramétricas e c.polares Equações paramétricas e coordenadas polares. urvas definidas por equações paramétricas. Rectas tangentes e áreas 92. Mostre que: (a) x = rcost, y = rsint, t [,2π], são equações paramétricas da circunferência de equação cartesiana x 2 +y 2 = r 2 ; (b) x = rsint, y = rcost, t [,2π], são outras equações paramétricas da circunferência de equação cartesiana x 2 +y 2 = r Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Esboce a curva e indique com uma seta a direcção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. (a) x = 2t+4, y = t ; (b) x = cosθ, y = sinθ, θ 2π; (c) x = 2+cosθ, y = 3+sinθ, θ 2π; (d) x = 2cosθ, y = 3sinθ, θ 3π 2 ; (e) x = sect, y = tant, 3π 4 t 5π 4 ; (f) x = t 2, y = 2lnt, t ; (g) x = cosht, y = sinht. 94. Faça um esboço da curva definida por: (a) r(t) = 4tî+2costĵ+3sintˆk, t [, π]; (b) r(t) = 2sintî+ 2sintĵ+2costˆk, t [, 2π]. 95. Determine equações cartesianas de cada uma das curvas consideradas no exercício anterior. 96. Determine uma parametrização da curva definida por: (a) = (x,y,z) R 3 : z = x 2 +y 2 e y = x}; (b) = (x,y,z) R 3 : z = x 2 +y 2 e z = }; (c) = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 z 2 = e y = 2x}. 97. Determine dy dx e d2 y em cada um dos seguintes casos. dx2 (a) x = t t 3, y = 2 5t; (b) x = t t, y = t 3 t; (c) x = tlnt, y = sin 2 t. 98. Determine uma equação da recta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro indicado. (a) x = 2t+4, y = 8t 2 2t+4, t = ; (c) x = e t, y = e t, t = 2. (b) x = e t, y = t ln(t 2 ), t = ;

4 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Eq.paramétricas e c.polares 99. Determine uma equação da recta tangente à curva no ponto P indicado. (a) x = cost, y = 2sint, z = t, t [,2π], P (,,π); (b) x = t 2, y = 2, z = t 3, t [,2], P (,2, ).. Determine uma equação da recta tangente à curva 2x 2 +3y 2 +z 2 = 47, x 2 +2y 2 = z, no ponto P ( 2,,6).. onsidere a curva de equações paramétricas x = t 2 y = t 3 t, t R. (a) Determine os pontos da curva onde a recta tangente à curva é horizontal. (b) Determine os pontos da curva onde a recta tangente à curva é vertical. 2. Determine os pontos da curva onde a recta tangente à curva é horizontal ou vertical. Esboce a curva. (a) x = cos3t, y = sint, t [,2π]; (b) x = t(t 2 3), y = 3(t 2 3), t R; (c) x = t 3 3t 2, y = t 3 3t, t R. 3. Use as equações paramétricas de uma elipse para calcular a área limitada por essa curva. 4. alcule a área limitada pela curva x = cost, y = e t, t π 2, e pelas rectas y = e x =. x = a(t sint) 5. onsidere o ciclóide cujas equações paramétricas são y = a( cost), t R. (a) Esboce o arco de ciclóide correspondente a t [,2π]. (b) alcule a área da região limitada pelo arco de ciclóide referido em (a) e pelo eixo das abcissas..2 oordenadas polares 6. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos com as seguintes coordenadas polares: π (a) (3,); (c) (2, (b) (, π 2 ); 4 (e) ( 2, 2 ); (d) (, π 3 π); 4 ); (f) (3,π). 7. Determine as coordenadas polares dos pontos definidos em coordenadas cartesianas por ( 3, ) e (, ) de três formas: (a) com r e θ < 2π; (c) com r e θ 2π. (b) com r e π θ π; 8. Exprimindo-a em coordenadas cartesianas, identifique a curva: (a) r = 3; (b) θ = π 3 ; (c) r2 sin(2θ) = ; (d) r = 3sinθ. 2

5 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral Duplo 9. onsidere as seguintes curvas apresentadas em coordenadas cartesianas. Para cada uma delas, identifique a curva e apresente a respectiva equação em coordenadas polares: (a) x 2 +y 2 = ; (b) y = 2; (c) xy = ; (d) x = 2; (e) y = x 2 ; (f) y = x.. Esboce a região determinada em coordenadas polares pelas seguintes desigualdades: (a) r > ; (b) θ π 4 ; (d) r 2, cosθ ; (e) r, π 4 θ π 2. (c) r 2, π 2 θ π;. Esboce as curvas de equação: (a) r = 3( sinθ); (b) r = cos(2θ); (c) r = sin(3θ); (d) r = 4sinθ; (e) r = e θ, θ ; (f) r = θ, θ. 2. Utilize as equações paramétricas para determinar a equação da tangente à curva nos pontos indicados: (a) r = 2cosθ, θ = π 2 ; (b) r = cosθ +sinθ, θ = π 4 ; (c) r = θ, θ = 2π; (d) r = 4 3sinθ, θ = π. 3. Determine a tangente à curva de equação em coordenadas polares: (a) r = 2(+ sen θ) no ponto cujas coordenadas polares são r = 2+ 3 e θ = π 3 ; (b) r = 3cos 2 (2θ) no ponto cujas coordenadas polares são r = 3 4 e θ = π 6 ; (c) r = θ no ponto cujas coordenadas polares são r = π 4 e θ = π 4. 2 Integral duplo 2. Integral duplo em coordenadas cartesianas 4. alcule cada um dos seguintes integrais duplos depois de os identificar como volume de um sólido: (a) 3dA, R = (x,y) R 2 : 2 x 2, y 6 } ; R (b) 5 xda, R = (x,y) R 2 : x 5, y 3 } ; R (c) 4 2ydA, R = [,] [,]; R (d) 4 y 2 da, R = [,4] [,2]. R 3

6 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral Duplo 5. alcule os seguinte integrais iterados (a) x 2 (x+2y)dydx; (b) 2 2 y xydxdy; (c) 2 x x 2 (x 2 y)dydx. 6. Esboce o domínio de integração e inverta a ordem de integração (a) 4 2 y/2 f(x,y)dxdy; (c) 2 4x x 2 x f(x,y)dydx; (b) x x 2 2 f(x,y)dydx; (d) x 2 3 f(x,y)dydx+ 3 x 2 f(x,y)dydx. 7. Inverta a ordem de integração e calcule os seguintes integrais (a) v 2 dvdu; u 2 (b) e y2 dydx; 2x 3 9 (c) y cos ( x 2) dxdy; y 2 8. onsidere o integral duplo I = R (d) (e) y x 3 +dxdy; π/2 arcsin y cos ( x 3) dxdy escrito na forma cos x +cos 2 xdxdy. I = y y 3 cos ( x 3) dxdy + 3 y 3 cos ( x 3) dxdy. (a) Esboce o domínio de integração R. (b) alcule o valor de I. [ugestão: Inverta a ordem de integração.] 9. alcule R (a) f(x,y) = f(x,y)da, sendo x y se x+y se x+y > ; R = [,] [,]; (b) f(x,y) = 4y x 3 +8 ; R = (x,y) R 2 : y 4, y 2 x 2 } ; (c) f(x,y) = e x/y ; R = (x,y) R 2 : x y 3, y 2, y x } ; (d) f(x,y) = x y 2 x 2 ; R = (x,y) R 2 : x, x y } ; (e) f(x,y) = 6 x ; R = (x,y) R 2 : x 3, y 3, (x 3) 2 +(y 3) 2 9 }. 4

7 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral Duplo 2.2 Mudança de variável 2. alcule os seguintes integrais passando a coordenadas polares: (a) x dxdy onde D = (x,y) R 2 : y x,x,x 2 +y 2 9 e x 2 +y 2 4}; (b) D D dxdy onde D = (x,y) R 2 : x 2 +y 2 4}; (c) 2 4 x 2 2 (x 2 +y 2 ) 3 2 dy dx; (d) (e) x 2 D 2. Usando a transformação e x 2 +y 2 dy dx; dxdy onde D = (x,y) R 2 : x 2 +y 2 2x,x 2 +y 2 4 e y 3x}. x+y = u y = uv, mostre que x e y x+y dy dx = 2 (e ). 22. Usando uma mudança de coordenadas conveniente, calcule (a) e y x y+x dxdy, onde D é o triângulo limitado pelas rectas de equação x =, y = e D x+y = 2; (b) (x y) 2 sin 2 (x+y) dxdy, onde D é o polígono de vértices nos pontos de coordenadas D (π,), (2π,π), (π,2π), (,π); (c) xy dxdy, onde D D = (x,y) R 2 : (x 2 +y 2 4 x y ) (4x 2 +y 2 4 x y )}. 2.3 Áreas de regiões planas 23. Determine, usando integrais duplos, as áreas dos domínios planos definidos por: (a) R = (x,y) R 2 : y 6x x 2 e y x 2 2x}; (b) R = (x,y) R 2 : y e x, y e x e x 2 }; (c) R = (x,y) R 2 : x 2 +y 2 2x, y 3x e y x}; (d) R = (x,y) R 2 : 2x 2 +y 2, y x e y }; (e) R = (x,y) R 2 : y 2 4x e y 2x 4}; (f) R = (x,y) R 2 : x+4y 5, xy e y }. 5

8 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral Triplo 24. eja R a região plana cuja medida da área, A, é dada, em coordenadas polares, por A = arctan 2 3 sec θ π/4 r drdθ. (a) Exprima R em coordenadas cartesianas e ilustre a resposta com um esboço de R. (b) alcule o valor de A. 2.4 Volumes 25. Usando integrais duplos, calcule o volume dos seguintes subconjuntos de R 3 : (a) (b) (c) x 2 +y 2 z x+y ; y x 2 x y 2 ; z 3 x 2 +y 2 +z 2 4 x 2 +y 2 2x ; (d) x 2 +y 2 z 2 x 2 y 2 ; x 2 +y 2 2z (e) x 2 +y 2 +z 2 3 ; (z 6) 2 x 2 +y 2 (f) x 2 +y 2 ; 4 z 2 (x 2 +y 2 ) (g). y +z eja E = (x,y,z) R 3 : x 2 +z 2, x 2 +z 2 y 2 e y 2}. Determine o volume de E usando integrais duplos. 27. Estabeleça, através de integrais iterados, o volume do sólido do o octante limitado pelas superfícies y = x, y = 2x, z = y 2 e z =, considerando que o sólido é projectado (a) no plano XOY; (b) no plano XOZ; (c) no plano YOZ. 3 Integral Triplo 3. Integral triplo em coordenadas cartesianas 28. alcule V f(x,y,z)dxdydz, em cada um dos seguintes casos: (a) V = (x,y,z) R 3 : x+y +z, x, y e z } e f(x,y,z) = (x+y +z +) 3; (b) V = (x,y,z) R 3 : x 4, z 2 ( y 2), x, y e z } e f(x,y,z) = xy; (c) V = (x,y,z) R 3 : z 3 x 2 y 2,x 2 +y 2 e z } e f(x,y,z) = x+y. 29. onsidere o integral triplo 2 2 x 4x y 2 2 x dz dy dx. Inverta a ordem integração de modo a que a primeira integração se faça em ordem a x e a y, respectivamente, e calcule o seu valor. 6

9 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral Triplo 3.2 Mudança de variável 3. Usando uma mudança de variável conveniente calcule os seguintes integrais triplos (a) dv, com D = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 z 2 x 2 y 2 }; D ( x 2 y 2 ) 3 2 (b) dv, com D = (x,y,z) R 3 : 4 x 2 +y 2 +z 2 9}; D (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 (c) x 2 +y 2 +z 2 dv, com D = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2, x 2 +y 2 +(z ) 2 }; (d) (e) D D D y dv, com D = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2, z x 2 +y 2 }; z dv, com D = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 z 2 2z x 2 y 2 }. 3. onsidere o integral triplo I escrito na seguinte forma I = (a) alcule o valor de I. 2π 2 rcosθ r 2 4r 2 sinθ dz dr dθ. (b) Represente graficamente, num referencial cartesiano OXY Z, o domínio de integração E. (c) Escreva I como um integral iterado usando coordenadas cartesianas. 32. onsidere o integral triplo T = f(x,y,z)dxdydz escrito na forma T = E π π/3 ρ 3 sin φdρdφdθ. Escreva T como um integral iterado em coordenadas cartesianas. 3.3 Volumes 33. Usando integrais triplos, calcule o volume das regiões de R 3 definidas por: (a) x 2 +y 2 +z 2 r 2, r > ; x 2 +y 2 (b) z ; x 2 +y 2 (z ) 2 (c) ; z (d) x 2 +y 2 z x 2 +y 2 ; x 2 +y 2 +z 2 8 (e) z 2 x 2 +y 2 ; x 2 +y 2 +z 2 4 (f) x 2 +y 2 +(z 2) Determine o volume dos seguintes sólidos (a) V = (x,y,z) R 3 : z 2 e x 2 +y 2 z 2 }; (b) V = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 2z, x 2 +y 2 +z 2 3 e y x}. 7

10 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral urviĺıneo 3.4 Massa e entro de Massa 35. Determine a massa do sólido Q = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 4}, sabendo que a densidade, em cada ponto, é directamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto à origem. 36. Determine as coordenadas do centro de massa de sabendo que ρ(x,y,z) = k z. 37. onsidere o sólido definido por Q = (x,y,z) R 3 : z 5 x 2 y 2 e x 2 +y 2 }, = (x,y,z) R 3 : x, y 3x, z 2 4(x 2 +y 2 ) e x 2 +y 2 +z 2 4}. Determine a massa total de, sabendo que a densidade em cada ponto (x,y,z) de, é dada por ρ(x,y,z) =. x 2 +y eja E o sólido definido por z 2 4(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 +(z 6) 2 7 z 5 alcule a massa total de E, sabendo que a densidade, em cada ponto (x,y,z) de E, é proporcional à distância desse ponto ao plano de equação z = Integral urvilíneo 4. Integral urvilíneo de uma função escalar 39. alcule o f(x,y,z) ds, onde x = sint (a) f(x,y,z) = x+y +z e é a curva de equações paramétricas y = cost, t [,2π]; z = t x = t (b) f(x,y,z) = xcosz e é a curva de equações paramétricas y = t 2, t [,]. z = 4. alcule: (a) x y ds, em que é o segmento de recta de equação y = 2x 2, compreendido entre os pontos A(, 2) e B(4,); (b) xy ds, onde é a circunferência de equação x 2 +y 2 6x 4y +2 = ; (c) x 2 y 2 ds, onde = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 = e x+y +z = }. 8

11 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral urviĺıneo 4.2 omprimento de curvas 4. alcule o comprimento do arco de ciclóide de equações paramétricas x = t sint, y = cost, t 2π. 42. ejam e 2 as curvas de equações paramétricas x = 2cost, t [,2π] e y = 3sint x = 2cos4t y = 3sin4t, t [,2π], respectivamente. (a) Faça um esboço de e 2. (b) Mostre que o comprimento de 2 é igual a 4 vezes o comprimento de. 43. Determine o comprimento de uma catenária uniforme (a densidade é constante), de equação y = 2cosh x 2, entre os pontos de abcissas 5 e Integral urvilíneo de uma função vectorial 44. alcule F d r onde (a) F(x,y,z) = (y+z)î+(x+z)ĵ+(x+y)ˆk e é o arco da curva de equações une os pontos A(,,) e B(,,) e orientada de A para B; y = x 2 z = x 4, que (b) F(x,y,z) = (2x z)î+yĵ+xˆk e éacurvaqueseobtém porjustaposiçãodosegmento derecta x = cost de extremos (,,) e (,,) com a curva parametrizada por y = sint, t π; z = t π (c) F(x,y,z) = yî+xĵ+zˆk e é a curva definida por = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = e z = } x 2 +y 2, orientada no sentido directo. 45. alcule os seguintes integrais curvilíneos: ( π ) (a) (y sinx) dx+cosx dy, onde é o triângulo de vértices P(,), Q 2, ( π ) e R 2, orientado no sentido positivo; (b) (y z) dx+(z x) dy +(x y) dz, onde é a elipse definida por x 2 +y 2 = e x+z =. 46. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F(x,y,z) = xî+2yĵ zˆk, no deslocamento ao longo da curva definida por: z = y 4 x =, desde (,,) a (,,)., 9

12 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral urviĺıneo 47. onsidere as superfícies e 2 de equações x 2 + 2y 2 + z 2 = 4 e z = 3, respectivamente, e seja Γ a linha de intersecção de com 2. alcule o trabalho realizado pelo campo G(x,y,z) = y 2 î + xyĵ + (z 2 + )ˆk, para deslocar uma partícula material ao longo da curva Γ, orientada no sentido directo. 4.4 ampos conservativos e independência do caminho 48. eja F(x,y,z) = 2xî+2yz 3 ĵ+3y 2 z 2ˆk. Prove que F é conservativo em R eja F(x,y) = e x sin yî+e x cos yĵ. (a) Mostre que F é conservativo em R 2. ( π (b) alcule F d r, onde é uma curva entre o ponto P(,) e o ponto Q 2, π. 2) 5. onsidere em R 3 o campo de vectores F(x,y,z) = 2xî+2yz 3 ĵ+3y 2 z 2ˆk. (a) Determine uma função g, definida em R 3, tal que g = F. (b) alcule 5. alcule F d r, onde é a curvade equações paramétricas (y x 2 ) dx+x dy, onde x = 2 cost y = 2 sint z = t, t 2π. = (x,y) R 2 : (y = 2x x 2 x ) (x+3y = 4 x 4)}, orientada de A(4, ) para B(, ). 52. eja Q uma carga eléctrica situada na origem do referencial. A força exercida por essa carga sobre uma carga Q 2 de igual sinal e situada em (x,y,z) (,,) é dada por ( ) x y z F(x,y,z) = c î+ ĵ+ ˆk, (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 onde c é uma constante que depende da intensidade das cargas e das unidades utilizadas. (a) Mostre que F é conservativo em R 3 \,,}. (b) alcule o trabalho realizado por F quando a carga Q 2 é deslocada do ponto (,,) para o ponto (3,4,). 4.5 Teorema de Green 53. Por aplicação do Teorema de Green, calcule o integral x 2 y dx+xy 2 dy, onde é a circunferência de equação x 2 +y 2 = 4, orientada no sentido directo.

13 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral de uperfície 54. endo } R = (x,y) R 2 : x y 2 e x y2 2 +2, use o Teorema de Green para calcular o integral y 2 dxdy. 55. eja R aregião planadefinidapelascondições x 2 e y 2 2(x+2) eseja K = R y dx+e y y 2 dy, onde é a fronteira de R orientada no sentido directo. Apresente o valor da área de R em função de K. 56. onsidere o campo de vectores definido por F(x,y) = (x,y) ],[ R. arccos xî+(x+)ĵ, alcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partícula desde o ponto A (, 2 até ao ponto B (, 2), ao longo do arco de circunferência definido por x 2 +y 2 = 4 e x. 57. onsidere a seguinte região plana R = (x,y) R 2 : y (x+) 2 } e seja K = x 2 dy y 2 dx, onde é a fronteira de R orientada positivamente. Exprima o volume do sólido E = (x,y,z) R 3 : (x,y) R e z y x} em função de K. 58. eja a curva de equações paramétricas x(t) = acost, t [,2π] e y(t) = Usando o Teorema de Green, determine a por forma a que asint, t [,π], t ]π,2π] x dx+xy dy = eja r um parâmetro real positivo e diferente de 2. Discuta, para os diferentes valores de r, o valor de y x 2 +y 2 dx+ x x 2 +y 2 dy, sendo a curva plana de equação (x ) 2 +(y ) 2 = r 2.. ) 5 Integral de uperfície 5. uperfícies definidas por equações paramétricas 6. Identifique e escreva uma equação cartesiana da superfície de equação vectorial: (a) r(u,v) = (+2u)î+( u+3v)ĵ+(2+4u+5v)ˆκ; (b) r(u,v) = u cosvî+u sinvĵ+u 2 ˆκ; (c) r(u,v) = uî+u cosvĵ+u sinvˆκ; (d) r(u,v) = uî+cosvĵ+sinvˆκ.

14 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral de uperfície 6. Determine uma representação paramétrica para cada uma das seguintes superfícies: (a) plano que passa pelo ponto (,2, 3) e contém os vectores î+ ĵ+ ˆκ e î ĵ+ ˆκ; (b) porção de superfície de equação x 2 y 2 +z 2 =, com (x,y) [,] [ 3,3]; (c) porção do plano z = x+3 que está dentro do cilindro x 2 +y 2 =. 62. Determine as equações paramétricas e represente a superfície obtida pela rotação da curva: (a) y = e x, x 3, em torno do eixo x; (b) x = 4y 2 y 4, 2 y 2, em torno do eixo y. 63. onsidere a superfície de equação vectorial r(u,v) = vcosuî+vsinuĵ+ v2ˆκ, u < 2π, v >. (a) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto P ( 2/2, 2/2,). (b) Represente geometricamente a superfície dada. 64. onsidere a superfície de equação vectorial r(u,v) = uî+vĵ+(u 2 +v 2 )ˆκ, (u,v) R 2. (a) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto P (,,2). (b) Represente geometricamente a superfície dada. 65. Determine uma equação do plano tangente à superfície definida por no ponto P tal que OP = r(,). r(u,v) = (u v)î+(u 2 +v 2 )ĵ+uvˆκ, (u,v) R 2, 5.2 Integral de uperfície de uma função escalar 66. alcule os seguintes integrais de superfície (a) z 2 d, onde é a porção da superfície cónica de equação z = x 2 +y 2, limitada pelos planos z = e z = 3; (b) (4z 5) d, onde é a reunião da porção do parabolóide z = (x 2 +y 2 ), situada acima do plano XOY, com a porção desse mesmo plano definida por x 2 +y 2. (c) x d, onde = (x,y,z) IR 3 : x 2 +y 2 = 2x e z } x 2 +y onsidere a superfície definida por = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 = 4, y, z x+3}. alcule os seguintes integrais: (a) y 2 d; (b) z 2 d. 2

15 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral de uperfície 5.3 Áreas de uperfície 68. alcule a área de superfície de quando: (a) é composta pela porção do parabolóide x 2 +y 2 = 4 z, situada acima do plano XOY, e pela porção da superfície esférica x 2 +y 2 +z 2 = 4 situada abaixo desse mesmo plano; (b) é a superfície que limita o sólido Q definido por Q = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 (z 6) 2 e z 6}; (c) = (x,y,z) R 3 : z = 9+2x y,x 2 +y 2 }. 69. alcule a área das superfícies definidas parametricamente por: x = u+v u x = rcosθ (a) y = u, v ; (b) r y = 2rsinθ, θ 2π. z = v z = r 5.4 Integral de uperfície de uma função vectorial 7. alcule F ˆn d quando: (a) F(x,y,z) = yî xĵ+8ˆk e éaporçãodoparabolóidez = 9 x 2 y 2 queficasituadaacima do plano XOY, com ˆn dirigida para cima; (b) F(x,y,z) = xî ĵ+2x 2ˆk, sendo a porção do parabolóide z = x 2 +y 2, limitada pelas superfícies x = y 2 e x = y 2, orientada com a normal ˆn dirigida para baixo; (c) F(x,y,z) = xî yzĵ 3yˆk e = (x,y,z) R 3 : z = y +3 e x 2 +y 2 }, orientada com a normal unitária ˆn com a componente segundo z positiva; (d) F(x,y,z) = xî+yĵ e = (x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 = 9 e z 2} orientada com a normal ˆn a apontar para o exterior. 7. onsidere a superfície definida por: x = ucosv y = usinv, u 2, v 2π. z = u 2 (a) Determine um campo de vectores normal a. (b) alcule a área de. (c) onsidere munida com a orientação canónica e n o campo de vectores normal associado a essa orientação. alcule onde F(x,y,z) = xî+yĵ+3zˆk. F ˆn d, 3

16 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral de uperfície 72. eja F(x,y,z) = xî + x 2 ĵ + yzˆk o campo vectorial que representa a velocidade em (m/s) de um fluido. (a) Determine quantos metros cúbicos de fluido atravessam, por segundo, o plano XOY através do quadrado definido por x e y. (b) Determine quantos metros cúbicos de fluido atravessam, por segundo, o plano z = através do quadrado definido por z =, x e y. 73. alcule o fluxo de F (x,y,z) = sin(xyz)î+x 2 yĵ+z 2 e x 5ˆk através da parte do cilindro 4x 2 +z 2 = 4 situada acima do plano XOY e entre os planos y = 2 e y = 2, orientada com a normal dirigida para cima Teorema da Divergência e Teorema de tokes 74. Usando o Teorema de tokes, mostre que cada um dos seguintes integrais curvilíneos tem o valor indicado. Em cada caso diga em que sentido é que é percorrida a curva para obter o resultado pretendido. x 2 +y 2 = (a) y dx+z dy +x dz = π, sendo a circunferência ; z = (b) y dx+z dy +x dz = π 3, sendo a curva de intersecção da superfície esférica x 2 +y 2 + z 2 = com o plano x+y +z = ; (c) (y +z) dx+(z +x) dy +(x+y) dz =,sendo acurvadeintersecçãodasuperfíciecilíndrica x 2 +y 2 = 2y com o plano y = z. 75. eja F(x,y,z) = (x ) î y ĵ e a superfície definida por z = 4 y 2 e x 2 +y 2. (a) alcule F d supondo munida com a orientação positiva. (b) Use a alínea anterior para calcular G d r com G(x,y,z) = x 2 î+z ĵ+xy ˆk e a curva x 2 +y 2 = definida por z = 4 y eja F(x,y,z) = (8yz z) ĵ+ ( 3 4z 2) ˆk. (a) Mostre que G(x,y,z) = 4yz 2 î+3xĵ+xzˆk é um potencial vectorial para F em R 3, isto é, rotg = F em R 3. (b) alcule o fluxo de F através de, onde = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = 25 e z }, orientada com a normal unitária exterior ˆn. 77. eja a curva de intersecção do parabolóide de equação x 2 + y 2 = z com o plano de equação 4x+2y+z =, orientada de modo que a sua projecção no plano XOY seja percorrida no sentido horário. endo F(x,y,z) = zî+xĵ+yˆk, calcule F d r. 4

17 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral de uperfície 78. Utilizando o Teorema da Divergência, calcule: ( ) (a) xyî+yzĵ+zxˆk ˆn d onde é composta pelas faces do tetraedro limitado pelos planos x =, y =, z = e x+y +z = 3, e ˆn é a normal unitária exterior a ; ( (b) x 2 î+y 2 ĵ+z 2ˆk ) ˆn d onde ˆn é a normal unitária exterior a e i. é a superfície que limita o sólido Q = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 e z }; ii. é a superfície que limita o sólido Q = (x,y,z) R 3 : 4(x 2 +y 2 ) z 2 e z }. 79. onsidere o sólido V definido por (a) alcule V zdv. V = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 25 e z 3}. (b) eja = (x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = 25 e z 3} orientada com a normal unitária ˆn com a componente segundo z positiva. Utilizando o resultado da alínea anterior, calcule (xzî+yzĵ+ˆk) ˆn d. 8. onsidere o sólido Q definido por Q = (x,y,z) R 3 : y 2 +z 2 e x 2}. ( (a) alcule y 2 +z 2) dv. Q (b) eja = (x,y,z) R 3 : y 2 +z 2 = e x 2} orientada com a normal unitária exterior ˆn. eja F(x,y,z) = 3xy 2 î+xe z ĵ+z 3ˆk. Utilizando o Teorema da Divergência, calcule F ˆn d. 8. eja a superfície definida por = (x,y,z) R 3 : 2x = y 2 +z 2 e x 2}, orientada com a normal unitária exterior ˆn. (a) endo F(x,y,z) = î+3zˆk, calcule F ˆn d. (b) Usando o resultado da alínea anterior, calcule o volume do sólido E = (x,y,z) R 3 : 2x y 2 +z 2 e x 2}. 82. Usando o teorema da divergência, calcule o volume do sólido E = (x,y,z) R 3 : 6 z x 2 y 2}. 5

18 II álculo Integral Análise Matemática II - MIEE - 2/22 Integral de uperfície ( ) 83. ejae(x,y,z) x y z = εq î+ ĵ+ ˆk, o campo eléctrico (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 gerado pela carga Q, situada na origem do referencial. (a) alcule o fluxo eléctrico de E através de uma esfera de raio a e centro na origem. (b) Mostre que o fluxo eléctrico de E através de qualquer superfície fechada que contenha a carga Q é sempre o mesmo [Lei de Gauss]. 84. (a) alcule o volume do sólido Q definido por Q = (x,y,z) R 3 : 2z x 2 +y 2 +z 2 4z e x 2 +y 2 z 2}. (b) eja F(x,y,z) = (2x+y 2 ) î+(3y +z 3 ) ĵ+(4z +e x4 ) ˆk e sejam ainda a fronteira do sólido Q e ˆn a normal exterior a. i. Recorrendo ao resultado obtido na alínea anterior, determine o valor de ii. alcule 3 rot F ˆn d. Usando o Teorema da Divergência. Usando o Teorema de tokes. F ˆn d. 6