JOGOS E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS TORRE DE HANÓI

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1 UNIVERDIDADE SÃO PAULO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA JOGOS E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS TORRE DE HANÓI Kássio Luiz Lilian Renata dos Santos Marcelo Salete Rodrigues

2 TORRE DE HANÓI Foi inventado pelo matemático francês Édouard Lucas em É dada uma torre com oito discos, inicialmente empilhados por tamanhos decrescentes em três pinos dados. O objetivo é transferir a torre inteira para um dos outros pinos, movendo apenas um disco de cada vez e nunca colocando um disco maior em cima de um menor. A LENDA Lucas anexou ao seu brinquedo uma lenda romântica que conta que no tempo de Benares, sob a cúpula que marcava o centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de diamantes, cada uma de um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha. Durante a Criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o maior deles imediatamente acima da bandeja e os demais, cada vez menores, por cima. Esta torre foi chamada de Torre de Brahma. Dia e noite os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para outra, de acordo com as leis imutáveis de Brahma, que dizia que o sacerdote do turno não poderia mover mais que um disco de cada vez, e que o disco fosse colocado na outra agulha, de maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima. Quando todos os 64 discos tivessem sido transferidos da agulha que Deus colocou no dia da Criação para outra agulha, o mundo deixaria de existir. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de 1 disco por segundo. Será que veremos o mundo acabar? OBJETIVOS E REGRAS Transferir a pilha de discos de um pino para outro, conseguindo completar a transferência com o número mínimo possível de movimentos, movendo um disco de cada vez, nunca permitindo que um disco maior fique acima de um menor.

3 COMO JOGAR É muito difícil imaginar os movimento feitos com uma pilha de 64 discos. Vamos imaginar uma pilha com 1 disco: Para 1 disco, a transferência se dá com um movimento: m 1 = 1 (m n é a quantidade de movimentos ) Dois discos: Para dois discos, a transferência se dá com 3 movimentos: m 2 = 3

4 Três discos: Para três discos, a transferência se dá com 7 movimentos: m 3 = 7 Experimentos com três discos mostram que a idéia é transferir os dois discos de cima para o pino do meio, depois mover o terceiro e, finalmente, transferir os outros dois para cima deste. Isto nos dá uma pista para transferência de n discos em geral: primeiro transferimos os n-1 discos menores para um pino intermediário ( o que requer m n-1 movimentos), depois movemos o maior disco (o que requer um movimento) e, finalmente, empilhamos os n -1 discos menores em cima do maior (o que requer m n-1 movimentos). Portanto podemos transferir n discos (para n>0) em no máximo 2 m n-1 +1 movimentos. m n 2 m n-1 +1, para n > 0 Esta fórmula usa no lugar de = porque nossa construção mostra apenas que 2 m n-1 +1 movimentos são suficientes: não mostramos que 2 m n-1 +1 movimentos são necessários. Uma pessoa esperta poderia ser capaz de encontrar um atalho. Mas existe um modo melhor? De fato não. Alguma hora vamos ter que mover o maior disco. Quando fizermos, os n-1 discos menores tem que estar, todos, em algum pino e foram precisos pelo menos m n-1 movimentos para colocá-los lá. Se não estivermos bem atentos, corremos o risco de mover o maior disco mais de uma vez. Mas depois de mover o maior disco pela última vez, precisamos transferir os n-1 discos menores (que, de novo, tem que estar em um único pino) para cima do maior; para isto também são necessários m n-1 movimentos. Logo m n 2 m n-1 +1, para n > 0 Estas duas inequações, junto com a solução trivial para n = 0, fornecem m 0 =0 m n = 2 m n-1 +1, para n > 0

5 Assim, podemos montar a tabela, sendo n o número de discos e m n o número de movimentos: n m n Observando a segunda linha da tabela vemos que os seus números são: 1= = = = O que nos leva a fazer a seguinte conjectura: m n = 2 n 1 Esta sentença é verdadeira para n = 1, 2, 3, 4, 5,6, mas será verdadeira para sempre? Tentemos demostrá-la por indução: Seja S o conjunto dos números naturais n tais que n discos são movidos com 2 n -1 movimentos. i) 1 S, pois para 1 disco necessitamos de 1 = movimento. ii) Vamos supor que k S, isto é, k discos são removidos com 2 k 1 movimentos. Vamos provar que k + 1 S, isto é, que m k +1 = 2 k Para remover k + 1 discos passamos, inicialmente, k discos para o bastão de trás com m k movimentos; Em seguida, com 1 movimento, o (k + 1) ésimo disco vai para o outro bastão da frente; Com mais m k movimentos, os k discos de trás passam para o bastão da frente. Isto é: m k+1 = m k m k m k+1 = 2 k k 1 m k+1 = 2. 2 k 1 m k+1 = 2 k+1 1 E isto mostra que k + 1 S. O princípio da indução nos garante que n discos podem sempre ser removidos com 2 n 1 movimentos e, em particular, m 64 =

6 CONCLUSÃO Este jogo pode ser trabalhado em variados níveis de desenvolvimento das crianças. Até mesmo na pré-escola, a Torre de Hanói pode ser associada a questões de coordenação motora, identificação de formas, ordem crescente e decrescente, entre outras. Numa segunda etapa, o jogo pode ser usado para o estabelecimento de estratégias de transferência das peças, como a contagem dos movimentos e raciocínio indutivo. Iniciando com um número menor de peças, ou seja, resolvendo um problemas mais simples, seguindo assim, um caminho que dará oportunidade a se experimentar uma das mais importantes formas de raciocínio matemático. Sendo este, um dos métodos de Polya para resolução de problemas.

7 BIBLIOGRAFIA Maria Verônica Rezende de Azevedo Jogos com Regras na Pré-Escola e Ensino Fundamental Curso de capacitação para professores Sociedade Brasileira de Matemática Revista do Professor de Matemática nº 9 Princípio da Indução Finita Renata Watanabe Graham Knuth - Patashnik Matemática Concreta Fundamentos para a Ciência da Computação