FOLHA 5. Problemas de Transportes e de Afectação

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1 FOLHA 5 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Uma companhia de aço possui 2 minas e 3 fábricas transformadoras. Em cada mina (1 e 2) encontram-se disponíveis 103 e 197 toneladas de minério. A companhia transporta por mar o minério até às fábricas. O custo de transporte é dado na tabela (em milhares de escudos por tonelada). Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Mina Mina As fábricas (1, 2 e 3) requerem a utilização de 71, 133 e 96 toneladas de minério. a) Construa o modelo matemático que represente o problema de transportar minério das minas para as fábricas, de modo a minimizar o custo total de transporte. b) Obtenha uma solução básica admissível (SBA) inicial utilizando o i) método do Canto Noroeste; ii) método do Custo Mínimo; iii) método das Penalidades. c) Partindo de uma das SBA iniciais em obtidas em (b), determine o plano óptimo. 2. Uma companhia tem 3 fábricas a produzir um dado produto, para ser depois transportado para 4 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 12, 17 e 11 carregamentos por mês. Cada centro necessita de receber 10 carregamentos por mês. As distâncias de cada fábrica a cada centro (em Km) constam da tabela. O custo do frete de cada carregamento é de 5000$00 mais 50$00 por Km. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Centro 4 Fábrica Fábrica Fábrica

2 22 Problemas de Transportes e de Afectação Formule o problema de modo a minimizar o custo total de transporte. Resolva o problema, determinando uma SBA inicial através do método do Canto Noroeste. 3. Determinada empresa pretende transportar um certo produto, que é fabricado nas suas 3 fábricas, para 3 centros de distribuição. A capacidade de produção por dia de cada fábrica é a que consta na última coluna da tabela em baixo. A última linha da tabela dá-nos as necessidades máximas de cada centro de distribuição. Os custos de transporte, por unidade de produto, das fábricas para cada centro encontram-se mencionados na mesma tabela. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Capacidade Fábrica Fábrica Fábrica Necessidade Máx Pretende-se determinar a solução mais económica para transportar o produto das fábricas para os centros de distribuição. Uma das soluções é a que consta no quadro seguinte : Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica Fábrica Fábrica a) Verifique, e justifique, que a solução apresentada não é óptima. b) A partir da solução dada, determine a solução óptima. c) Interprete os resultados obtidos e diga qual o custo total de transporte. 4. Uma empresa tem 3 fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado para 3 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 50, 60 e 30 unidades por mês, respectivamente. Os centros (1, 2 e 3) necessitam de receber 10, 70 e 20 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados no quadro : Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica Fábrica Fábrica Determine o plano óptimo de transporte que a empresa deve adoptar.

3 Problemas de Transportes e de Afectação Pretende-se transportar um produto de 2 armazéns (A1 e A2) para 3 destinos (D1, D2 e D3). Os armazéns A1 e A2 dispõem de 4 e 6 unidades do produto, respectivamente. Em D1, D2 e d3, são requeridos 2, 3 e 5 unidades do produto, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados na tabela : D 1 D 2 D 3 A A a) Formule o problema em termos de PL. b) Resolva o problema, calculando a SBA inicial através do i) método do Canto Noroeste; ii) método do Custo Mínimo; iii) método das Penalidades. 6. Uma empresa pretende determinar o plano óptimo de transporte da matéria prima armazenada em 2 centros de distribuição que é transformada em 3 fábricas. Nos centros de distribuição existem 20 e 18 toneladas de matéria prima. Nas fábricas são necessárias 12, 10 e 16 unidades de matéria prima. Os custos unitários de transporte são dados no quadro. O trajecto entre o centro 2 e a fábrica 2 não pode ser utilizado. Determinar que plano de transporte a empresa deve adoptar. Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Centro Centro Uma empresa tem 3 fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado para 3 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 20, 40 e 30 unidades por mês, respectivamente. Os centros (1, 2 e 3) necessitam de receber 30, 20 e 20 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados no quadro : Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica Fábrica Fábrica

4 24 Problemas de Transportes e de Afectação Considere a seguinte solução admissível para o problema dado : a) Averigua se se trata de uma solução óptima e, no caso de o não ser, parta dela para determinar uma solução óptima. Justifique os passos dados na resolução desta questão. b) Justifique a existência, ou não, de óptimos alternativos. 8. O treinador de uma equipa de natação necessita de seleccionar nadadores para a equipa de estafeta metros estilos. Dado que os nadadores são muito rápidos em mais do que um estilo, o treinador sente alguma dificuldade em afectá-los a cada um dos 4 estilos. Os 5 melhores nadadores e os melhores tempos (em segundos) que obtiveram em cada um dos estilos são dados na tabela : Alberto Belmiro Carlos David Ernesto Costas Bruços Mariposa Livre O treinador pretende determinar como afectar um nadador a cada um dos estilos, de modo a minimizar a soma dos correspondentes melhores tempos. 9. Numa secção de uma fábrica existem 4 máquinas. Um dado processo de produção consiste em 4 tarefas que devem ser levadas a cabo nessa máquinas. Cada máquina só pode cumprir uma tarefa. Os custos de realização da tarefa j (j = 1, 2, 3, 4) na máquina i (i = 1, 2, 3, 4) são dados na tabela : J1 J2 J3 J4 M M M M Como afectar as tarefas às máquinas, de modo a minimizar o custo total. 10. Em períodos de ponta o gabinete de tráfego da RODOVIA vê-se perante o problema de afectar os autocarros de passageiros estacionados em 3 garagens da empresa e 3 localidades da rede de

5 Problemas de Transportes e de Afectação 25 exploração. No quadro seguinte representam-se : o número de autocarros disponíveis nas garagens G i (i = 1, 2, 3), o número de autocarros necessários em cada uma das localidades L j (j = 1, 2, ) e os tempos t ij, em minutos, necessários para cada autocarro em G i atingir a localidade L j. L 1 L 2 L 3 Autocarros disponíveis G G G Autocarros necessários Como deverá o gabinete de tráfego afectar os autocarros disponíveis de modo a minimizar o tempo total para se atingirem as 3 localidades? Para isso, a) Formule e resolva o problema. b) Não sendo única a solução óptima encontrada, determine alternativas. 11. No PT seguinte, em que a oferta total é superior à procura total, para cada unidade da fonte i (origem i) que não for excedida, incorre-se num custo de armazenagem. Sejam estes custos, por unidade, de 5, 4 e 3 (u.m.) respectivamente nas origens 1, 2 e 3. Dest. 1 Dest. 2 Dest. 3 Oferta Orig Orig Orig Procura Determine a solução que minimiza o custo total. Para esse efeito : a) Resolva o problema dado, justificando as opções tomadas. b) Considere a seguinte solução admissível para o problema dado : Averiguar se se trata de uma solução óptima e, no caso de não ser, parta dela para determinar uma solução óptima. Justifique os passos dados na resolução desta questão.

6 26 Problemas de Transportes e de Afectação 12. Considere o problema de afectação de 3 tipos de máquinas M 1, M 2 e M 3, a 4 tipos de tarefas T 1, T 2, T 3 e T 4. O número de máquinas disponíveis de cada tipo é : M 1 = 20, M 2 = 30 e M 3 = 40. As tarefas que é necessário realizar são, nos diferentes tipos T 1 = 10, T 2 = 10, T 3 = 40 e T 4 = 30. Admitindo que o critério de afectação se baseia no lucro unitário estimado, constante no quadro seguinte, obtenha a solução de lucro total máximo Uma empresa decidiu iniciar a produção de 2 novos produtos, usando 3 fábricas que normalmente produzem em excesso. A capacidade de produção de cada fábrica é medida pela quantidade de produtos fabricados por dia (última coluna da tabela). A última linha da tabela dá-nos a quantidade média vendida de cada produto por dia. Cada fábrica produz qualquer um dos produtos, com excepção da fábrica 1 que não produz o produto 1. Por outro lado, os custos por unidade de cada produto diferem de fábrica para fábrica, como mostra a tabela : Custo por unidade Capacidade Produto 1 Produto 2 de Produção Fábrica Fábrica Fábrica Quantidade média Determine o plano óptimo (menor custo) de produção dos 2 produtos pelas 3 fábricas, tendo em conta que o mesmo produto pode ser produzido em várias fábricas. 14. Uma determinada empresa decidiu iniciar a produção de 4 novos produtos, utilizando 3 fábricas que normalmente produzem em excesso. A capacidade de produção de cada fábrica é medida pela quantidade dos produtos que são produzidos por dia (última coluna da tabela seguinte). A última linha da tabela dá-nos a taxa de produção por dia exigida para venda. Cada fábrica produz qualquer um dos produtos, com excepção da Fábrica 2 que não pode produzir o Produto 3. Por outro lado, os custos por unidade de cada produto diferem de fábrica para fábrica, como mostra a tabela seguinte.

7 Problemas de Transportes e de Afectação 27 Produto 1 Produto 2 Produto 3 Produto 4 Disponibilidade Fábrica Fábrica Fábrica Taxa produção A empresa pretende tomar uma decisão de como decompor a produção dos produtos pelas fábricas. Dois tipos de opções são válidos : a) É permitida a separação dos produtos, onde o mesmo produto pode é produzido em mais do que uma fábrica; b) Não é permitida a separação dos produtos, onde cada produto apenas pode ser produzido apenas numa fábrica. 15. Uma empresa decidiu iniciar a produção de 3 novos produtos, usando 2 fábricas. A capacidade de produção de cada fábrica é medida pela quantidade dos produtos que são produzidos por dia (última coluna da tabela). A última linha da tabela dá-nos a quantidade média vendida de cada produto por dia. Os custos por unidade de cada produto diferem de fábrica para fábrica, como mostra a tabela (de notar que a Fábrica 1 não pode produzir o Produto 3) : Custo por unidade Capacidade Produto 1 Produto 2 Produto 3 de Produção Fábrica Fábrica Quantidade média Determine o plano óptimo (menor custo) de produção dos 3 produtos pelas 2 fábricas, tendo em conta que o mesmo produto só pode ser produzido numa única fábrica, mas que uma fábrica pode produzir vários produtos