Matemática Básica II - Trigonometria Nota 01 - Ângulo e a Unidade de medida Grau

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1 Matemática Básica II - Trigonometria Nota 01 - Ângulo e a Unidade de medida Grau Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do caraú - UV Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 3 de setembro de Ângulo O espaço no plano determinado por duas semirretas que partem de um ponto comum, é chamado ângulo. Figura 1: Ângulo ÔB ou BÔ s semirretas O e OB são chamadas lados do ângulo e o ponto O é o vértice do ângulo. Em geral, são denotados por letras gregas ou maiúsculas. lguns ângulos recebem nomes especiais. Figura 2: α = ÔB = Ô = O 1

2 1.1 Ângulo Raso Quando as semirretas têm a mesma direção mas sentido oposto. Figura 3: Ângulo raso 1.2 Ângulo Nulo Quando as semirretas têm a mesma direção e sentido. Figura 4: Ângulo nulo 1.3 Ângulo Reto Quando as semirretas são perpendiculares. Figura 5: Ângulo reto 1.4 Ângulo gudo Quando o ângulo formado é menor que um ângulo reto. 1.5 Ângulo Obtuso Quando o ângulo formado é menor que um ângulo raso e maior que um ângulo reto. 2

3 Figura 6: Ângulo agudo Figura 7: Ângulo obtuso 1.6 Ângulos Complementares Ângulos que quando justapostos formam um ângulo reto. Figura 8: Ângulos complementares 1.7 Ângulos Suplementares Ângulos que quando justapostos formam um ângulo raso. Figura 9: Ângulos suplementares 3

4 2 Unidade de Medida Grau ssim como distâncias, tempo e massa, ângulos também têm suas unidades de medidas. mais comum é o grau, palavara que tem origem do latim - gradu - e significa degrau. Imagine várias semirretas partindo de um mesmo ponto, como mostra a Figura 11. Considere que o ângulo determinado por quaisquer duas semirretas consecutivas é sempre o mesmo. Se tivermos exatamente 360 semirretas, teremos detereminado 360 ângulos iguais. Cada um deles será chamado grau e denotaremos essa unidade por 1 0. Figura 10: Semirretas partindo de um mesmo ponto determinando ângulos iguais entre si Exemplo 1 De um mesmo ponto, partem 120 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida, em graus, de cada ângulo? Imaginando um círculo cujo centro é o vértice comum aos ângulos assim como na Figura 11, cada fatia, nesse caso, tem o triplo do tamanho comparada a divisão em 360 partes. ssim, cada ângulo determinado pela divisão em 120 partes têm exatamente 3 0. Um grau pode ser ainda subdividido em partes menores. lém da divisão própria dos números reais, são usadas divisões por 60: minutos e segundos. fração de 1/60 de um grau é chamada minuto. Notação: = 1 e a fração de 1/60 de um minuto, é chamada segundo. Notação 1 60 = 1 Exemplo 2 Considere um círculo de raio R. De seu centro O, partem 190 semirretas determinando ângulos iguais entre si. Qual a medida em graus de cada ângulo? Qual a medida em minutos de cada ângulo? Qual a medida em segundos de cada ângulo? ssim como no exemplo anterior, se ao dividirmos um círculo em 360 fatias, cada uma delas representa um ângulo de 1 0, então ao dividirmos em 190 fatias (iguais), essas representarão ângulos de 360 1, graus. Como cada grau corresponde a 60 minutos, o ângulo de 1, 89 0 equivale a 113, 4 minutos. E, por fim, sendo um minuto igual a 60 segundos, segue que o ângulo de 113, 4 é igual a

5 Em vez da notação decimal, algumas vezes é interessante usar graus, minutos e segundos na mesma representação. Por exemplo O ângulo 3, 4 0 corresponde a , 4 0. Como 1 0 corresponde a 60, segue que 0, 4 0 corresponde a 0, 4 60 minutos, isto é, 3 graus mais 24 minutos. Daí 3, 4 0 = Já o ângulo 12, 27 0, seguindo o raciocínio anterior, pode ser representado da seguinte forma: 12, 27 0 = , 27 0 = , = , 2 Como 1 = 60, temos: 12, 27 0 = , 2 = , 2 = , 2 60 = = Exemplo 3 Dados os ângulos = e B = , determine: + B B 3 B 4 No caso da soma, façamos de acordo com cada parte do ângulo: + B = = ( ) + ( ) + ( ) = Observe que a quantidade de minutos excede 60 e, portanto, deve ser transformada em graus. Sendo 80 = = , segue que + B = Já para a diferença, teremos um problema quando da subtração dos minutos: B = = ( ) + (38 42 ) + (29 13 ) Como a parte de minutos do ângulo é menor do que a mesma parte no ângulo B, apenas para a realização das contas, façamos uma modificação no ângulo : Daí, = = ( )38 29 = B = = ( ) + (98 42 ) + (29 13 ) = gora, vamos realizar a divisão de cada ângulo. 3 = = 21, , , 66 Fazendo os ajustes nos graus e minutos 1, teremos: 1 Não ajustaremos os segundos pois não é usada uma divisão para estes. 5

6 3 = ( , 33 0 ) + (12 + 0, 66 ) + (9, 66 ) = ( , ) + (12 + 0, ) + 9, 66 ssim, 3 = ( ) + ( ) + 9, 66 = ( ) + (40 + 9, 66 ) Usando raciocínio análogo, encotraremos Com isso, B B 4 = = ( )+(32 40 )+(50 33 ) = ( )+(92 40 )+(50 33 ) ou seja 3 B 4 = Exemplo 4 Considerando os ângulos do Exemplo 3, represente na forma decimal, B, + B e B. Sendo = , temos: = = = , , 483 = 64, , = 64, , Daí, 64, Com raciocínio análogo, B 38, Somando, obtemos + B 103, 34 0 e subtraindo, temos B 25, Ângulo entre os ponteiros de um relógio Um relógio marca 2:25. Qual o menor ângulo entre os ponteiros de horas e minutos? Figura 11: Relógio no tricô. Foto retirada do site VilaMulher ( Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maior percorre e o menor, Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre 6 0 e o menor 0, 5 0. Daí, às 2:25, o ponteiro maior terá percorrido (a partir do 12) = e o menor, 25 0, 5 0 = 12, 5 0. Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, o menor ângulo seria de = 90 0, mas como o ponteiro menor se movimentou 12, 5 0, segue que o ângulo procurado é de 77,

7 3 Exercícios Fontes: Exercícios 1 e 2: Practice Makes Perfect - Trigonometry (Carolyn Wheater) Exercício 3: Blog Click Exatas Exercício 4: Do autor. 1. Converta para a forma decimal: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Converta para a forma grau/minuto/segundo: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Determine o menor ângulo entre os ponteiros (das horas e dos minutos) de um relógio quando este marca: (a) 10:15 (b) 1:12 (c) 2:32 (d) 5:41 (e) 3:37 4. O ponteiro das horas já percorreu (a partir do 12). Que horas são? 3.1 Respostas (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (a) (b) 36 0 (c) (d) (e) :54 7