Noções de Lógica e de Topologia

Transcrição

1 Análise Matemática 1 Ano Lectivo 2012/2013 Fernanda Sousa Isabel Silva Magalhães Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Civil

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3 Prefácio A lógica e a topologia são, embora a diferentes níveis, transversais a toda a ciência matemática e, em particular, à análise matemática. A elaboração destes apontamentos teve por objectivo arrumar, num texto curto e de leitura simples, as noções essenciais ao bom desempenho da unidade curricular de Análise Matemática 1 do Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Este texto teve uma primeira versão no ano lectivo 2006/2007, que contou com a colaboração do Doutor Miguel Mendes. O texto está recheado de exemplos intuitivos e tem um conjunto vasto de exercícios, cujas soluções se anexam. Foram assinalados com ( ) os exercícios que, embora de resolução aconselhável a todos os estudantes, têm um grau de dificuldade um pouco superior.

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5 Lógica 1. Proposições e operações lógicas entre proposições O nosso ponto de partida é o conjunto de todas as expressões que se podem obter através da nossa linguagem. Do ponto de vista matemático, no entanto, as que mais nos interessam são aquelas que não representam nenhuma ambiguidade, i.e., têm algum significado, nomeadamente, - termos, nomes ou designações; - frases ou proposições. Definição 1. Uma expressão diz-se um termo, nome ou designação se este designar uma entidade. Exemplo 1. As expressões 23, e são termos que designam a mesma entidade. Definição 2. Uma expressão diz-se uma proposição sempre que for possível atribuir-lhe um e um só valor lógico, VERDADEIRO (V) ou FALSO (F). Exemplo 2. A expressão 1+2 = 3 é verdadeira segundo as convenções dos números e da operação + envolvida. Por outro lado, a expressão x+1 = 3 só será uma proposição quando a variável x for concretizada por valores reais. A partir de proposições básicas poderemos construir outras mais complexas utilizando as operações que descrevemos de seguida Negação ( ) Dada uma proposição a chama-se negação de a (escreve-se a e lê-se não a ) à proposição que se obtém a partir de a fazendo a afirmação contrária à de a e, por conseguinte, invertendo o seu valor 1

6 lógico. Esquematicamente, utilizaremos o seguinte quadro, que chamaremos de tabela de verdade: a a V F F V Exemplo 3. A negação da proposição a : = 3 é a : que obviamente é uma proposição falsa. Note-se, no entanto que, a proposição 6 < 0 é também uma proposição falsa mas não é a negação da proposição a já que não foi obtida a partir desta Conjunção ( ) Dadas duas proposições a e b chama-se conjunção de a e b (escreve-se a b e lê-se a e b ) à proposição cujo valor lógico só é verdadeiro quando ambas as proposições são verdadeiras, ou equivalentemente, basta que uma delas seja falsa para que a conjunção seja também falsa. A tabela de verdade da conjunção é a seguinte: a b a b V V V V F F F V F F F F Exemplo 4. Consideremos as seguintes proposições: a : 9 é múltiplo de 3, b : 18 é múltiplo de 2 e c : 8 é divisor de18. As proposições a ebsão verdadeiras e a proposição c é falsa. Consequentemente, a proposição a b é verdadeira enquanto que a c e b c são proposições falsas. Exemplo 5. Consideremos agora as proposições: a : existe um número real x tal que x 2 = 2 e b : existe um número real x tal que x 3 = 1. Obviamente ambas as proposições são verdadeiras e, consequentemente a proposição a b é também verdadeira. No primeiro caso x = 2 ou x = 2 são uma resposta ao problema enquanto que na segunda proposição apenas x = 1 satisfaz a condição. Note-se que a proposição a b não corresponde ao sistema de equações { x 2 = 2 x 3 = 1 para o qual não há solução e, portanto, o sistema diz-se impossível. Este sistema corresponde a afirmar que existe um número real x tal que x 2 = 2 e x 3 = 1. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 2

7 1.3. Disjunção ( ) Dadas duas proposições a e b chama-se disjunção de a e b (escreve-se a b e lê-se a ou b ) à proposição cujo valor lógico só é falso quando ambas as proposições são falsas, ou seja, basta que uma delas seja verdadeira para que a disjunção seja verdadeira. A tabela de verdade da disjunção é a seguinte: a b a b V V V V F V F V V F F F Exemplo 6. Consideremos as proposições: a : existem números positivos e b : existem números negativos. Obviamente, ambas as proposições são verdadeiras e por isso, a proposição a b será também verdadeira. Em termos linguísticos a proposição a b escreve-se: Existem números positivos ou existem números negativos o que não deverá ser confundido com a proposição: OU existem números positivos OU existem números negativos que corresponde a uma disjunção exclusiva, i.e., uma disjunção que não admite que ambas as afirmações sejam verdadeiras. Nesse caso, a proposição seria falsa. Neste exemplo a confusão é gerada pelas limitações próprias da linguagem escrita Implicação ( ) Sejam a e b duas proposições. A proposição a b (lê-se a implica b, ou se a então b) é uma nova proposição cujo valor lógico é falso somente quando a hipótese a é verdadeira e a conclusão (ou tese) b é falsa. A tabela de verdade é a seguinte: a b a b V V V V F F F V V F F V Quando escrevemos a b chamamos à proposição a antecedente, à proposição b consequente e dizemos que: - a é condição suficiente para que b se verifique; - b é condição necessária para que a ocorra. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 3

8 Exemplo 7. Seja f : D R uma função real de variável real cujo domínio é um conjunto D R e seja x 0 R. Dadas as proposições a : f é contínua em x 0 e b : x 0 D, note-se que a b é uma proposição verdadeira, independentemente da função f e do ponto x 0, pois não podemos ter pontos onde a função seja contínua e os mesmos não pertençam ao domínio. Por outro lado, o valor lógico da expressão b a não pode ser determinado uma vez que podemos ter pontos do domínio onde a função seja descontínua (dependerá da concretização de f e x 0 ). Note-se que o facto da implicação a b ser verdadeira não implica por si só que b seja verdadeira uma vez que a proposição a poderá ser falsa (ver Raciocínio dedutivo) Equivalência ( ) Sejam a e b duas proposições. A proposição a b (lê-se a equivale a b, ou a se e só se (sse) b) é uma nova proposição cujo valor lógico é verdadeiro quando as proposições têm o mesmo valor lógico e falso caso contrário. A tabela de verdade é a seguinte: a b a b V V V V F F F V F F F V Escrever a b significa que a é condição necessária e suficiente para que b seja verdadeira. Exemplo 8. As proposições a : x+5 é um número par e b : x é um número ímpar são equivalentes. Note-se que (x + 5) x = 5 e, por isso, dos números x + 5 e x, um deles é necessariamente par e o outro é ímpar Algumas tautologias importantes Uma tautologia é uma proposição construída a partir de uma ou mais proposições cujo valor lógico é sempre verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições que a constituem. Vejamos um exemplo elementar: consideremos uma proposição qualquer a e a nova proposição a a. Então, esta última proposição é verdadeira independentemente do valor lógico da proposição a aplicando a tabela de verdade da equivalência. Outras tautologias menos básicas mas de importância mais fulcral na lógica matemática são as seguintes: Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 4

9 1. (Idempotência) Para qualquer proposição a temos que: (a a) a, (a a) a. 2. As operações de conjunção, disjunção e equivalência são comutativas. Isto é, (a b) (b a), (a b) (b a), (a b) (b a). Note-se porém que a implicação não é comutativa já que se a b for falsa então a é verdadeira e b é falsa. Logo b a é verdadeira pela tabela de verdade da implicação (ver também a lei da conversão em baixo). 3. As operações de conjunção e disjunção são distributivas uma em relação à outra. Ou seja, ((a b) c) ((a c) (b c)), ((a b) c) ((a c) (b c)). 4. (Leis de De Morgan) As seguintes tautologias descrevem em termos proposicionais as já conhecidas leis de De Morgan da teoria de conjuntos: ( (a b)) (( a) ( b)), ( (a b)) (( a) ( b)). Consideremos as tabelas de verdade da primeira equivalência: a b a b (a b) V V V F V F V F F V V F F F F V e a b a b ( a) ( b) V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V Concluímos deste modo que, para os mesmos valores lógicos das proposições a e b as novas proposições (a b) e ( a) ( b) têm o mesmo valor lógico. Assim, podemos dizer que são equivalentes. 5. A seguinte tautologia permite interpretar a equivalência como sendo a conjunção de duas implicações: (a b) ((a b) (b a)). Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 5

10 6. Por seu turno a implicação pode ser vista como uma disjunção: (a b) (( a) b). 7. (Lei da conversão) Em muitas demonstrações matemáticas recorre-se à seguinte tautologia: (a b) (( b) ( a)). Um processo para mostrar que (a b) é equivalente a (( b) ( a)) é, partindo da proposição (a b), obter sucessivamente proposições equivalentes até chegar à proposição (( b) ( a)). Assim: (a b) (( a) b) ( usando a tautologia 6.) (b ( a)) ( usando a 1 a equivalência da tautologia 2.) (( b) ( a)) ( usando a tautologia 6.). Exemplo 9. Suponhamos que queremos provar, por exemplo, que x 2 +5x 4 > 0 x > 0. Pela lei da conversão suponhamos que x 0. Então temos que x 2 0 e 5x 0. Logo, ( x 2 +5x) 4 0 (Tente provar que x > 0 supondo que x 2 +5x 4 > 0). Exemplo 10. Se denominarmos por X um aluno inscrito à cadeira de AM1 consideremos a proposição a : X estudou e a proposição b : X passou. Então, a implicação a b : X estudou X passou é equivalente, pela lei da conversão, à seguinte ( b) ( a) : X não passou X não estudou. Ou seja, a seguinte afirmação: Todos os alunos que estudaram passaram a AM1 é equivalente a Todos os alunos que não passaram a AM1 não tinham estudado. 8. Da tautologia 6. podemos ainda obter uma proposição equivalente à negação da implicação, a saber: ( (a b)) (a ( b)). Esta tautologia é muito importante na interpretação da definição de alguns conceitos matemáticos que serão dados. Por exemplo, o conceito de conjunto de vectores linearmente independentes que será dado em Álgebra é da forma a b. Logo, a definição de conjunto de vectores linearmente dependentes será da forma a ( b). 9. (Raciocínio dedutivo) A tautologia (a (a b)) b descreve um argumento dedutivo: se conseguirmos averiguar que a proposição a é verdadeira e se, além disso, soubermos que sempre que a for verdadeira então b também o é, então podemos concluir que a proposição b é verdadeira. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 6

11 Sugestão: Faça a tabela de verdade para cada uma das expressões das tautologias 1. à 9., de modo a verificar a veracidade do resultado. 2. Expressões com variáveis e quantificadores Chamamos de variável a uma letra que representa um elemento de um determinado universo que deverá ser claro dentro do contexto. Usualmente, x representará um número real assim como utilizaremos a letra f para representar uma função entre dois conjuntos. Definição 3. Chamamos de condição ou expressão proposicional a uma expressão que envolva afirmações com variáveis e que se transforme numa proposição para cada concretização das variáveis envolvidas. Exemplo 11. Dada uma variável real x, a expressão x 2 = 2 é uma condição já que se x = ± 2 então a condição transforma-se numa proposição verdadeira e para x ± 2 numa proposição falsa. No exemplo anterior, note-se que se o universo da variável x for os números inteiros então a condição é falsa independentemente da concretização de x. Dizemos então que a condição é impossível. Por outro lado, se considerarmos a condição x 2 0 no universo dos números reais então podemos concluir que a condição se transforma numa proposição verdadeira para qualquer concretização de x e, nesse caso, dizemos que a condição é universal. Se porventura, a condição for verificada para algumas concretizações de x, mas não para todas, dizemos que a condição é possível. Definição 4. (Quantificador Universal) O símbolo significa para todo e usado em condições com uma só variável transforma essa condição numa proposição. Exemplo 12. Consideremos a proposição para todo o número realxoseu quadrado, x 2, é um número não-negativo. Utilizando o quantificador universal podemos escrever x R : x 2 0, que é uma proposição verdadeira. Definição 5. (Quantificador Existencial) O símbolo significa existe pelo menos um e usado em condições com uma só variável transforma essa condição numa proposição. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 7

12 Exemplo 13. Consideremos a proposição existe pelo menos um número real x tal que o seu quadrado, x 2, é um número negativo. Utilizando o quantificador existencial podemos escrever x R : x 2 < 0, que é uma proposição falsa. Notemos que as proposições dos exemplos anteriores foram obtidas a partir de condições através da aplicação dos quantificadores. Isto é, frequentemente a utilização de um quantificador transforma uma condição em proposição. Analisemos de novo as proposições: x R : x 2 0 e x R : x 2 < 0. Claramente podemos afirmar que uma é a negação da outra. Isto é, não só os valores lógicos das proposições são contrários como uma é a afirmação contrária da outra. De facto, em geral, se tivermos uma condição C(x) onde x U é a variável interveniente na condição (e U é o universo da variável x) então, ( ) ( x U : C(x)) ( x U : C(x)) e, ( ) ( x U : C(x)) ( x U : C(x)). Um aspecto importante na escrita de expressões com quantificadores é a sua localização. No Exemplo 5. a conjunção a b corresponde a afirmar que ( x R : x 2 = 2 ) ( x R : x 3 = 1 ), enquanto que o sistema de equações corresponde a afirmar que x R : ( x 2 = 2 x 3 = 1 ). Os quantificadores podem ainda ser utilizados de forma encadeada quando as condições a que eles são aplicados envolvem mais do que uma variável. Por exemplo, x R, y R : x+y = 0. (1) Esta é uma proposição verdadeira e, podemos ainda dizer, que o número y que a proposição afirma existir é o simétrico de x, isto é, x. Notemos, no entanto, que a proposição: y R, x R : x+y = 0, (2) não é equivalente à anterior já que isso significaria que existe um mesmo y tal que para todo x se teria x + y = 0, o que é claramente falso. Além disso, esta nova proposição também não é a negação da primeira embora o valor lógico seja o oposto. De facto a negação de (1) é a proposição falsa: x R, y R : x+y 0, Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 8

13 e a negação de (2) é a proposição verdadeira: y R, x R : x+y 0. Concluímos assim que a ordem dos quantificadores é crucial para a avaliação do valor lógico da proposição que os contenha. 3. Demonstração em Matemática O enunciado de um teorema envolve proposições que podem ser escritas na forma a b ou a b onde a e b são proposições (note-se que poderão ser proposições do tipo p 1... p n, etc.). Pela tautologia 5. sabemos que uma equivalência é o mesmo que a conjunção de duas implicações. Logo para demonstrarmos um teorema deveremos saber como demonstrar uma implicação. Para tal poderemos proceder duma das seguintes formas: (directa) Assumir a proposição a e, utilizando o raciocínio dedutivo (tautologia 9.), obter outras proposições até finalmente obter a proposição b. (indirecta) Pela lei da conversão (tautologia 7.) assumir a proposição b e aplicando o raciocício dedutivo chegar à proposição a como feito na forma directa. (redução ao absurdo) Pela tautologia 6. sabemos que a proposição (a b) é equivalente a a ( b). Logo, se assumirmos que a proposição a ( b) é verdadeira e a partir daí, aplicando o raciocínio dedutivo, chegarmos a uma proposição que sabemos que é falsa (absurda) então a hipótese da qual partimos tem que ser falsa, já que a partir de uma verdade só poderemos concluir verdades por aplicação do raciocínio dedutivo. Finalmente, se a ( b) é falsa então (a b) também é falsa e, portanto, a proposição a b tem que ser verdadeira. Exemplo 14. Vamos mostrar que ( x 2 +5x 4 > 0 x > 0). No Exemplo 9. efectuámos uma prova de forma indirecta. A forma directa foi deixada como exercício, demonstraremos agora por redução ao absurdo. Suponhamos, então, que existe x tal que x 2 + 5x 4 > 0 e x 0. Então, por um lado x 0 x 2 0 5x 0. Logo, x 2 +5x 0. Por outro lado, x 2 +5x 4 > 0 x 2 +5x > 4. Consequentemente, obtivemos a proposição: x 2 +5x 0 x 2 +5x > 4, que é claramente um absurdo. O absurdo resultou de supormos que x 2 + 5x 4 > 0 e x 0. Seguindo o raciocínio exposto anteriormente, facilmente se conclui que a implicação é verdadeira. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 9

14 (indução matemática) Seja S um conjunto de inteiros positivos que goza das seguintes propriedades: (1) o número 1 pertence a S; (2) se o número k pertence a S então o inteiro k +1 também pertence a S. Então, podemos concluir que todos os inteiros positivos pertencem ao conjunto S. Este argumento ao qual se chama de princípio de indução matemática pode ser utilizado para demonstrar propriedades que dependam de um número inteiro n. Nomeadamente, seja A(n) uma expressão referente a um inteiro n. Concluiremos que A(n) é verdadeira para qualquer n N, para um certo N, se conseguirmos provar que: (1) A(N) é verdadeira e (2) supondo que A(k) é verdadeira então A(k +1) verdadeira para todo o k N. Exemplo 15. SejaA(n) a seguinte expressão: n = n(n+1). Pretendemos mostrar 2 que esta expressão é uma proposição verdadeira para todo o número natural. (1) Tomemos N = 1. Então, A(1) será a expressão 1 = 1(1+1) 2. Dado que 1(1+1) 2 = 2 2 = 1 concluímos imediatamente que a proposição A(1) é verdadeira. (2) Suponhamos agora que a fórmula é válida para algum inteirok > 1, ou seja, A(k) é verdadeira para k. O nosso objectivo é tentar deduzir A(k +1) a partir de A(k), i.e., mostrar que A(k +1) é também uma proposição verdadeira. Hipótese: A(n) é verdadeira para todo o número natural não superior a k. Tese: A(k + 1) ainda é verdadeira, i.e., k +(k +1) = (k +1)(k +2). 2 Ora, k +(k +1) = ( k)+(k +1) (pela propriedade associativa da soma) k(k +1) = +(k + 1) (pela hipótese de indução A(k)) 2 ( ) k = (k +1) 2 +1 (colocando (k + 1) em evidencia) ( ) k +2 = (k +1) (calculando a soma) 2 (k +1)(k +2) =. 2 Consequentemente, a proposição A(k + 1) é também verdadeira e, por indução, podemos concluir que, n N : n = n(n+1) 2. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 10

15 4. Exercícios 1. Indique se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes: (a) Se os lados de um triângulo são iguais então os seus ângulos são todos iguais. (b) Se os ângulos de um triângulo são iguais então os seus lados são todos iguais. (c) Um triângulo possui dois lados iguais se e só se dois dos seus ângulos são iguais. (d) Um número é divisível por 6 se e só se for divisível por 2 e por 3. (e) Um número é divisível por 6 se e só se for divisível por 2 ou por Nos seguintes pares de proposições pratique os conceitos de condição suficiente, condição necessária e, caso faça sentido, condição necessária e suficiente: (a) a: x é múltiplo de 3 (b) a: Aquela pessoa é mãe b: x é múltiplo de 9 b: Aquela pessoa é do sexo feminino (c) a: Este quadrilátero tem 4 ângulos rectos b: Este quadrilátero é um quadrado (e) a: 2x+5 13 b: x 0 (d) a: x 0 b: x 2 = x (f) a: 2x+5 13 b: x No conjunto dos números reais, quais das seguintes implicações ou equivalências são verdadeiras? (a) x < 7 x 2 < 49 (b) a > 3 2 a2 > 9 4 (c) 2x+1 < x+3 x < 2 (d) t > π e π t < e (e) y 2 > 3 2y 2 3 > 2 (f) x+3 25 < 0 x > 3 (g) x 2 = y 2 x = y (h) x 2 > y 2 x > y (i) x 2 > y 2 x > y (j) x > y x 2 > y 2 4. Repita o exercício anterior considerando agora que as variáveis intervenientes pertencem a: (a) N (b) Z (c) Q (d) R + (e) R 5. Supondo que x R negue correctamente cada uma das seguintes condições: (a) x+ 1 x < 3 x 1 (b) x+1 5 (c) 3 x < 10 (d) x > 0.1 x > 0.01 (e) 3(x 5) > 5 x (f) 3(x 5) 5 x 2 +1 < 0 (g) x = 1 x 1 (h) ( x 2 = 0 x = 2 ) x = 1 (i) x > y 2 x > 0 (j) x+y = 7 (x = 2 y = 5) (k) x 2 +y 2 = 0 (x = 0 y = 0) (l) x 2 +y 2 = 0 (x = 0 y = 0) Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 11

16 6. Indique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: (a) t R : t 2 +1 > 0 (b) x R : x 2( x 2 +1 ) 2x (c) y Z : y 2 1 y < 0 (d) x Q : x < 0 (e) x R + : 1 x > 0 (f) x R\Q : 2x = 7 7. Utilize as propriedades para negar as proposições seguintes, indicando, em cada caso, se a proposição que se obtém é verdadeira ou falsa: (a) x R : x 2 > 0 (b) x R : x > 2 x > 1 (c) x Q : 3x = 10 (d) x N : 3x = 10 (e) x R, y R : y < x (f) y R, x R : y < x (g) x R, y R : y = x 2 (h) y R, x R : y = x 2 (i) x R, y R : (x y) 2 = x 2 y 2 (j) x R, y R : (x y) 2 = x 2 y 2 8. Mostre, recorrendo ao princípio de indução matemática, que: (a) 1+r +r r n = 1 rn+1, se r 1; 1 r (b) (1+x) n 1+nx+ n(n 1) x 2, se x 0; 2 n (c) n N, i 2 = n(n+1)(2n+1) ; 6 (d) n N, (e) n N, 1 2 i=1 n j (j +1)! = (n+1)! 1 ; (n+1)! j=1 n 1 k=0 k +1 2 k = 2 n+2 2 n ; (f) n! > 2n, se n 4; n 1 (g) i(i+1) = n n+1, n 1. i=1 9. Localize o erro na cadeia de raciocínios que se segue: Sejam x e y números reais quaisquer tais que x = y. Então x 2 = xy x 2 y 2 = xy y 2 (x+y)(x y) = y(x y) x+y = y 2y = y y = 0. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 12

17 Topologia 1. Algumas definições Nas seguintes definições considera-se que E é um conjunto não vazio e d uma função cujo domínio é o conjunto de todos os pares de pontos de E e com contradomínio R + 0, isto é, d : E E R+ 0. Definição 6. A função d diz-se uma distância ou métrica sse satisfaz as seguintes condições (i) x,y E, d(x,y) = 0 sse x = y. (ii) x,y E, d(x,y) = d(y,x) (simetria). (iii) x,y,z E, d(x,z) d(x,y)+d(y,z) (desigualdade triangular). Observação: Note que o facto do contradomínio de d ser R + 0 implica que esteja subjacente a propriedade d(x,y) 0 x,y E. Definição 7. Seja d uma distância ou métrica sobre o conjunto E. O par (E,d) designa-se por espaço métrico. Exemplo 16. (a) O conjunto de números reais, R, com a distância definida por d 1 (x,y) = x y, para x,y R, constitui um espaço métrico. (b) De forma mais geral, o par (R n,d e ), onde R n representa o conjunto de n uplos de números reais e d e representa a distância Euclideana definida, para x,y R n, por d e (x,y) = d e ((x 1,...,x n ),(y 1,...,y n )) = (y 1 x 1 ) 2 + +(y n x n ) 2, constitui um espaço métrico. 13

18 Observação: Note que d 1 é a distância Euclideana para n = 1. No que se segue, considera-se que (E,d) é um espaço métrico. Definição 8. Seja x 0 E e r > 0. A bola aberta de raio r centrada em x 0, representada por B(x 0 ;r), é definida como o conjunto de pontos de E que distam de x 0 menos que r, i.e., B(x 0 ;r) = {x E : d(x,x 0 ) < r}. Definição 9. Uma vizinhança de x 0 E, V(x 0 ), é um qualquer conjunto V E que contenha pelo menos uma bola aberta centrada em x 0. Exemplo 17. No espaço métrico (R,d 1 ), o intervalo ]x 0 r,x 0 +r[ é a bola aberta de raio r centrada em x 0. Em (R 2,d e ),B(x 0 ;r) é o círculo centrado em x 0 e com raio r. Definição 10. Seja x A E. Diz-se que x é um ponto interior de A sse existe alguma bola aberta centrada em x completamente contida em A, i.e., r > 0 : B(x;r) A. O interior de um conjunto A,int(A), é constituído por todos os pontos de E que são pontos interiores de A. Exemplo 18. Considere o espaço métrico (R,d 1 ). (a) Sejam A =]0,1],B = [0,1],C = [0,1[ e D =]0,1[. Então int(a) = int(b) = int(c) = int(d) = ]0,1[. (b) Sejam A =],a[,b =]b,+ [,C =],c] e D = [d,+ [. Então int(a) = A,int(B) = B,int(C) =],c[ e int(d) =]d,+ [. Definição 11. Um conjunto A E diz-se aberto sse todo o ponto de A é seu ponto interior, i.e., ( x A, r > 0 : B(x;r) A) (A = int(a)). Um conjunto A é não aberto sse existe pelo menos um ponto de A que não pertence ao interior de A, i.e., x A, r > 0 : B(x;r) A. Exemplo 19. Em (R,d 1 ), Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 14

19 (a) ]0, 1[,], a[ e ]b, + [ são conjuntos abertos. (Verifique!) { } 1 (b) ]0,1],[0,1[ e n,n N são conjuntos não abertos. (Verifique!) Definição 12. Seja A E. O complementar do conjunto A em E,C A = E\A, define-se por {x E : x / A}. Exemplo 20. Para A = [3,4[,C A =],3[ [4,+ [= R\A em R. Definição 13. Seja x E e A E. Diz-se que x é um ponto exterior de A sse for ponto interior do complementar de A, i.e. (se existe uma vizinhança de x contida em C A ) r > 0 : B(x;r) C A. O exterior de um conjunto A,ext(A), é constituído por todos os pontos de E que são pontos exteriores de A. Definição 14. Diz-se que x E é ponto de fronteira de A E se não for ponto interior nem exterior de A, i.e. (se toda a vizinhança de x intersecta A e C A ) ( r > 0 (B(x;r) A B(x;r) C A )) ( r > 0 ((B(x;r) A) (B(x;r) C A ) )). A fronteira de um conjunto A,fr(A), é constituída pelos pontos de fronteira de A. Exemplo 21. Em (R,d 1 ), (a) Sejam A =]0,1],B = [0,1],C = [0,1[ e D =]0,1[. Então ext(a) = ext(b) = ext(c) = ext(d) =],0[ ]1,+ [. fr(a) = fr(b) = fr(c) = fr(d) = {0,1}. (b) Sejam A =],a[,b =]b,+ [,C =],c] e D = [d,+ [. Então ext(a) =]a,+ [,ext(b) =],b[,ext(c) =]c,+ [,ext(d) =],d[. fr(a) = {a},fr(b) = {b},fr(c) = {c},fr(d) = {d}. (c) Seja A = [0,1[ {2}. Então ext(a) =],0[ (]1,+ [\{2}) e fr(a) = {0,1,2}. { } 1 (d) Seja A = n,n N. Então ext(a) = R\(A {0}) e fr(a) = A {0}. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 15

20 Definição 15. Seja x E e A E. Diz-se que x é ponto de aderência de A se toda a bola aberta centrada em x contém pontos de A, i.e. r > 0,B(x;r) A. A aderência ou fecho do conjunto A,Ā, é constituído pelo conjunto de pontos de aderência de A, i.e., pelo conjunto de pontos interiores ou de fronteira de A(Ā = int(a) fr(a)). Exemplo 22. (a) Sejam A =]0,1],B = [0,1],C = [0,1[ e D =]0,1[. Então Ā = B = C = D = [0,1]. (b) Sejam A =],a[,b =]b,+ [,C =],c] e D = [d,+ [. Então Ā =],a], B = [b,+ [, C = C e D = D. (c) Seja A = [0,1[ {2}. Então Ā = [0,1] {2}. { } 1 (d) Seja A = n,n N. Então Ā = A {0}. Definição 16. Um conjunto A E diz-se fechado sse fr(a) A, i.e., se todo o ponto de fronteira de A pertence a A (de forma equivalente, diz-se que A é fechado sse Ā = A, i.e., se a aderência de A coincide com A). Um conjunto A E diz-se não fechado sse existe pelo menos um ponto da fronteira de A que não pertence a A, i.e., x fr(a) : x / A. Exemplo 23. (a) [0, 1],], a] e [b, + [ são conjuntos fechados. (b) ]0,1] e [0,1[ são conjuntos não fechados. { } 1 (c) A = n,n N não é fechado nem aberto, mas A {0} é fechado. Definição 17. Uma bola fechada de raio r centrada em x 0 é o conjunto B(x 0 ;r) definido por B(x 0 ;r) = {x E : d(x,x 0 ) r}, para x 0 E e r > 0. Exemplo 24. No espaço métrico (R,d 1 ), a bola fechada de raio r centrada em x 0 é o intervalo [x 0 r,x 0 + r]. Em (R 2,d e ),B(x 0 ;r) é a circunferência centrada em x 0 e com raio r conjuntamente com o seu interior. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 16

21 Definição 18. Seja x E e A E. Diz-se que x é um ponto de acumulação de A sse toda a vizinhança de x contém um ponto y x tal que y A, i.e., r > 0, B(x;r) (A\{x}). Ao conjunto de pontos de acumulação de um conjunto A denomina-se derivado do conjunto A e denota-se por A. Definição 19. Um ponto x A E diz-se ponto isolado de A sse existe uma vizinhança de x que não intersecta A\{x}, i.e. r > 0 : B(x;r) A = {x}. Exemplo 25. { } 1 (a) Se A = n,n N então todos os pontos de A são pontos isolados e x = 0 é o único ponto de acumulação, i.e., A = {0}. (b) Se A = [0,1[ {2} então A = [0,1] e x = 2 é o único ponto isolado. Definição 20. Um conjunto A E diz-se limitado sse existir r > 0 tal que A B(0; r). Definição 21. A noção de conjunto compacto em geral é mais complexa, mas no caso particular dos subconjuntos de R verifica-se que se A R é fechado e limitado então A é um conjunto compacto. Definição 22. Um conjunto A diz-se convexo sse, dados dois pontos quaisquer de A, o segmento de recta que une esses dois pontos está completamente contido em A, i.e. x,y A λx+(1 λ)y A, λ [0,1]. Exemplo 26. Em R tem-se que: (a) A = { } 1 n,n N não é convexo. (b) A = [0,1[ é convexo. (c) A = [0, 1[ {2} não é convexo. Proposição 1. (a) Um conjunto A é fechado sse A Ā. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 17

22 (b) Um conjunto é fechado sse o seu complementar é aberto. (c) A Ā, uma vez que todo o ponto de acumulação de A é também ponto de aderência de A. (d) A reunião de qualquer número (finito ou infinito) de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. (e) A intersecção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto. (f) A reunião de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado. (g) A intersecção de qualquer número (finito ou infinito) de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado. Exemplo 27. (a) Os conjuntos e R são conjuntos simultaneamente abertos e fechados. (b) Seja A = {a 1,...,a n } um conjunto finito. Então int(a) =. Se a 1 < a 2 <... < a n então C A =],a 1 [ ]a 1,a 2 [...]a n,+ [ é um aberto. Logo A é um conjunto fechado. (c) int(n) =,fr(n) = N e N não têm pontos de acumulação. N é um conjunto fechado pois o seu complementar em R é aberto (C N =],0[ ]0,1[ ]1,2[... ]n,n+1[..., que é uma reunião de intervalos abertos). (d) Seja A n =] 1 n, 1 n [,n N, uma família de conjuntos abertos. Tem-se que A i = {0} é um conjunto não aberto. (e) Seja A R um conjunto aberto. Tem-se que, para qualquer x A, {x} é um conjunto fechado mas x A{x} = A é um conjunto aberto. i=1 2. O conjunto dos números reais Teorema 1. (Bolzano-Weierstrass) Qualquer subconjunto limitado e infinito de R tem pelo menos um ponto de acumulação. Definição 23. Sejam A R,A e m R. (a) Diz-se que m é um majorante de A sse x A,x m. (b) Diz-se que A é limitado superiormente se existe um majorante de A. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 18

23 (c) Se A é limitado superiormente, diz-se que m é supremo de A,m = sup(a), se m é o menor dos majorantes. Se o supremo m é um elemento do conjunto A, diz-se que m é máximo (m = max(a)). (d) Diz-se que m é um minorante de A sse x A,m x. (e) Diz-se que A é limitado inferiormente se existe um minorante de A. (f) Se A é limitado inferiormente, diz-se que m é ínfimo de A,m = inf(a), se m é o maior dos minorantes. Se o ínfimo m é um elemento do conjunto A, diz-se que m é mínimo (m = min(a)). Observação: Se A não é limitado superiormente, convenciona-se que sup(a) = +. Analogamente, quando A não é limitado inferiormente, convenciona-se que inf(a) =. Exemplo 28. (a) Seja A = {x R : x 2 < 1} =] 1,1[. Então O conjunto de majorantes de A é [1,+ [ e o conjunto de minorantes é ], 1]. sup(a) = 1,inf(A) = 1 e A não tem nem máximo nem mínimo. A é limitado (superior e inferiormente). (b) Seja A =],1[. Então O conjunto de majorantes de A é [1,+ [ e o conjunto de minorantes é vazio. sup(a) = 1 e A não tem ínfimo, máximo nem mínimo. A não é limitado inferiormente mas é superiormente. (c) Seja A = [1, + [. Então O conjunto de minorantes de A é ],1] e o conjunto de majorantes é vazio. inf(a) = 1, min(a) = 1 e A não tem supremo nem máximo. A não é limitado superiormente mas é inferiormente. 3. Exercícios 10. Seja d uma função definida para todos os pares de números reais. Para cada uma das alíneas seguintes diga, justificando convenientemente, se d é uma distância (ou métrica): (a) d(x,y) = x y. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 19

24 (b) ( ) d(x,y) = max{1, x y }. (c) ( ) d(x,y) = min{1, x y }. (d) d(x,y) = x y 2. 0 se x = y, (e) ( ) d(x,y) = x y se x [0,1] e y [0,1], 1 se x y e (x / [0,1] ou y / [0,1]). 11. ( ) Considerando que d é a função definida na alínea (e) do Exercício 10, defina e represente os seguintes conjuntos: (a) B(0;1); (b) B(0;2); (c) B(3;1). 12. Sejam B(x 0 ;r) uma bola aberta no espaço métrico (E,d) e y B(x 0 ;r). Mostre que B(x 0 ;r) é uma vizinhança de y. 13. Considere o espaço métrico (R,d 1 ). Para cada uma das alíneas seguintes, determine int(a) : { } 1 (a) A = [0,1[ {2}; (b) A = n,n N ; (c) A = [0,1] Q. 14. ( ) Mostre que os seguintes subconjuntos de R são abertos: (a) A = { x R : x 2 < 2 } ; (b) A = { x R : x 2 > 2 }. 15. Em R, determine a fronteira de Q e de R\Q. 16. Mostre que, num espaço métrico qualquer (E,d), para qualquer subconjunto A de E, i.e., A E, se verificam as duas condições seguintes: (a) int(a),fr(a) e int(c A ) são mutuamente disjuntos 1. (b) E = int(a) fr(a) int(c A ). 17. ( ) Seja (E,d) um espaço métrico e A E. Mostre que fr(a) = sse A é simultaneamente aberto e fechado. 18. Em (R,d 1 ) verifique que: (a) O conjunto dos números inteiros, Z, não tem pontos de acumulação. 1 Dado o conjunto de subconjuntos A = {A 1,...,A n}, em que A i E com i = 1,...,n, diz-se que A é mutuamente disjunto se para todo o par de elementos distintos de A,(A i,a j), se tem A i A j =. Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 20

25 (b) O derivado dos conjuntos Q e R\Q é R. 19. Em (R,d 1 ) e para cada um dos conjuntos seguintes determine o seu interior, a fronteira, a aderência e o derivado e classifique-o quanto a ser ou não aberto e a ser ou não fechado: (a) A = [0,2[ ]3,5[ {6,7}. (b) A = {x : x 2 < 9}. (c) A = {x : 0 < x 3 5}. (d) A = {x : x 3 > x}. 20. Responda, justificando convenientemente, às seguintes questões: (a) Sejam A,B E dois conjuntos convexos. Pode afirmar que A B é ainda um conjunto convexo? (b) Sejam A,B E dois conjuntos convexos. Pode afirmar que A B é ainda um conjunto convexo? (c) Em R 3 um plano qualquer é um conjunto convexo? 21. Para cada uma das alíneas seguintes indique, caso existam, um majorante, o supremo, o máximo, um minorante, o ínfimo e o mínimo de A : (a) A = [1,2[ {3}. (b) A =] 2,+ [ { 5}. { } 1 (c) A = n,n N. (d) A = { x R : x 2 +x 1 < 0 }. { (e) ( ) A = x R : x+1 x 2 }. < 2x 1 Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 21

26 Soluções de alguns dos exercícios 1. (a) Verdadeira; (b) Verdadeira; (c) Verdadeira; (d) Verdadeira; (e) Falsa. 2. (a) x é múltiplo de 9 é condição suficiente para x é múltiplo de 3, x é múltiplo de 3 é condição necessária para x é múltiplo de 9 ; (b) Aquela pessoa é mãe é condição suficiente para Aquela pessoa é do sexo feminino, Aquela pessoa é do sexo feminino é condição necessária para Aquela pessoa é mãe ; (c) Este quadrilátero é um quadrado é condição suficiente para Este quadrilátero tem 4 ângulos rectos, Este quadrilátero tem 4 ângulos rectos é condição necessária para Este quadrilátero é um quadrado ; (d) x 0 é condição necessária e suficiente para x 2 = x ; (e) 2x+5 13 é condição suficiente para x 0, x 0 é condição necessária para 2x+5 13 ; (f) x 50 é condição suficiente para 2x+5 13, 2x+5 13 é condição necessária para x e 4. Alínea do 3. R N Z Q R + R (a) Falsa Verdadeira Falsa Falsa Verdadeira Falsa (b) Falsa Verdadeira Falsa Falsa Verdadeira Falsa (c) Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira (d) Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira (e) Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira (f) Falsa Verdadeira Falsa Falsa Verdadeira Falsa (g) Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira (h) Falsa Verdadeira Falsa Falsa Verdadeira Falsa (i) Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira Verdadeira (j) Falsa Verdadeira Falsa Falsa Verdadeira Falsa 22

27 5. (a) x+ 1 x 3 x 1 (b) x+1 > 5 (c) 3 > x x 10 (d) x 0.1 x 0.01 ( x 0.01) (e) 3(x 5) 5 x 2 +1 > 0 (f) 3(x 5) < 5 x (g) x 1 x = 1 (condição impossível) (h) ( x 2 0 x 2 ) x 1 (i) x > y 2 x 0 (j) (x+y = 7) (x 2 y 5) (k) x 2 +y 2 = 0 (x 0 y 0) (l) x 2 +y 2 = 0 (x 0 y 0) 6. (a) Verdadeira; (b) Verdadeira; (c) Falsa; (d) Falsa; (e) Verdadeira; (f) Falsa. 7. (a) x R : x 2 0, Verdadeira; (c) x Q : 3x 10, Falsa; (e) x R, y R : y x, Falsa; (g) x R, y R : y x 2, Falsa; (i) x R, y R : (x y) 2 x 2 y 2, Falsa; (b) x R : x > 2 x 1, Falsa; (d) x N : 3x 10, Verdadeira; (f) y R, x R : y x, Verdadeira; (h) y R, x R : y x 2, Verdadeira; (j) x R, y R : (x y) 2 x 2 y 2, Verdadeira. 9. O erro está na passagem [(x+y)(x y) = y(x y) x+y = y], pois como por hipótese x = y, não podemos dividir por (x y). 10. (a) Não é uma distância; (b) Não é uma distância; (c) É uma distância; (d) É uma distância; (e) É uma distância. 11. (a) B(0;1) = [0,1[; (b) B(0;2) = R; (c) B(3;1) = {3}. 13. (a) int(a) =]0, 1[; (b) int(a) = ; (c) int(a) =. 15. (a) fr(q) = R; (b) fr(r\q) = R. 19. int(a) fr(a) Ā A Classificação (a) ]0,2[ ]3,5[ {0,2,3,5,6,7} [0,2] [3,5] {6,7} [0,2] [3,5] Não aberto e não fechado (b) ] 3,3[ { 3,3} [ 3,3] [ 3,3] Aberto e não fechado (c) ] 2,8[\{3} { 2,3,8} [ 2,8] [ 2,8] Não aberto e não fechado (d) ] 1,0[ ]1,+ [ { 1,0,1} [ 1,0] [1,+ [ [ 1,0] [1,+ [ Aberto e não fechado Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 23

28 20. (a) Sim; (b) Não; (c) Sim. 21. Majorantes sup(a) max(a) Minorantes inf(a) min(a) (a) [3,+ [ 3 3 ],1] 1 1 (b) + Não tem ], 5] 5 5 (c) [1, + [ 1 1 ], 0] 0 Não tem (d) [( 1+ 5)/2,+ [ ( 1+ 5)/2 Não tem ],( 1 5)/2] ( 1 5)/2 Não tem (e) + Não tem ],(3+ 7)/2] (3+ 7)/2 Não tem Fernanda Sousa, Isabel Silva Magalhães (AMAT1 - MIEC - FEUP /2013) 24