Física IV Escola Politécnica GABARITO DA PR 5 de fevereiro de 2013

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1 Física IV Escola Politécnica - 0 GABARITO DA PR 5 de fevereiro de 03 Questão No circuito abaixo o gerador de corrente alternada com freqüência angular ω = 500 rd/s fornece uma tensão eficaz (quadrática média) V = 50 V e potência média P = 60 W. A corrente eficaz no circuito I = A. C R (a) (,0 ponto) Determine a resistência R e a tensão eficaz V R no resistor. (b) (,0 ponto) Desenhe o diagrama de fasores para o circuito indicando a corrente eficaz e as tensões eficazes no resistor, no capacitor e no gerador. Determine a tensão eficaz V C no capacitor e a capacitância C. (c) (0,5 pontos) Determine a impedância (em módulo) e o fator de potência da associação RC em série.

2 Solução da questão (a) Resistência Voltagem eficaz no resistor R = P I = 60 4 = 5 Ω. V R = RI = (5)() = 30 V. (b) Diagrama de fasores V R I V C V Tensão eficaz no capacitor Reatância capacitiva Capacitância V C = V V R = = 40 V. X C = V C I = 40 C = ωx C = (c) Módulo da impedância da associação RC = 0 Ω. (500)(0) = 0 4 F. Z = V I = 50 = 5 Ω. Fator de potência da associação RC cosφ = P VI = 60 (50)() = 0,6.

3 Questão Luz de comprimento de onda λ, emitida por uma fonte puntiforme S, atinge um anteparo contendo uma dupla fenda, a uma distância L, com a fenda superior F diretamente adiante da fonte, e a fenda inferior F a uma distância d abaixo, como mostrado na figura. O ponto P, sobre o qual a intensidade luminosa é analisada, é equidistante das fendas F e F. S d F F P L (a) (,0 ponto) Seja r a diferença de caminho entre as ondas e. Escreva em termos de λ (comprimento de onda da luz incidente) os valores de r que produzem sobre o ponto P uma interferência destrutiva. (b) (0,5 ponto) Calcule, em termos da distância L entre a fonte e o anteparo, e da separação d entre as fendas, a diferença de caminho exato r entre as ondas e. (c) (,0 ponto) Para λ = 490nm e L = m qual é o mínimo valor de d para que sobre o ponto P haja uma interferência destrutiva? Sugestão: faça uma aproximação usando o fato de que λ é muito menor que L. 3

4 Solução da questão (a) Para que haja interferência destrutiva da luz emitida pelas duas fendas a diferença de caminho r tem que corresponder a um múltiplo semi-inteiro de um comprimento de onda. Assim, os valores para r são r = ( m+ ) λ, m = 0,±,±,... (b) A diferença de caminho corresponde à diferença entre a hipotenusa e o maior cateto do triângulo formado pela fonte e as duas fendas. Portanto, r = L +d L. (c) O menor valor de d corresponde ao menor valor da diferença de caminho. Assim, L +d L = λ L +d = L+ λ, L +d = L +λl+ 4 λ d = λl+ 4 λ e desprezando o termo em λ frente ao termo em λl chegamos a d = λl = m = m. 4

5 Questão 3 Um feixe de luz com comprimento de onda de 480 nm no vácuo e de intensidade de 0 W/m incide sobre um catodo de cm de área no interior de uma célula fotoelétrica. A funçãodetrabalhodometaléde,ev.asrespostasdevemserdadascomdoisalgarismos significativos. (a) (0,5 ponto) Calcule a energia dos fótons incidentes em joules e em elétron-volts. (b) (0,5 ponto) Calcule o número de fótons por segundo incidente na placa metálica. (c) (,0 ponto) Se a eficiência da conversão fotoelétrica é de 0%(apenas 0% dos fótons arrancam elétrons do metal), calcule a corrente elétrica máxima através da célula quando uma ddp é aplicada entre o catodo e o anodo. (d) (0,5 ponto) Calcule o comprimento de onda máximo dos fótons incidentes acima do qual não ocorre o efeito fotoelétrico. Dados: h = 6, J s = 4, 0 5 ev s, c = 3,0 0 8 m/s, ev =,6 0 9 J e nm = 0 9 m, carga do elétron e =,6 0 9 C. 5

6 Solução da questão 3 (a) A energia do fóton é dada por E f = hc λ = (6, )(3 0 8 ) , 0 9 J = E f = 4, 0 9,6 ev (b) O número de fótons por segundo é N f seg = área I E f = , 0 9,4 05. (c) Como E f > φ, haverá emissão fotoelétrica e a corrente será i = eficiência N f seg e = 0, (,4 05 ) (,6 0 9 ) 7,6 0 5 A. (d) No limiar do efeito fotoelétrico a energia do fóton incidente é igual à função de trabalho φ do material. E f = hc λ hc = φ = λ = φ = (4, 0 5 )(3 0 8 ), = 5,6 0 7 m. 6

7 Questão 4 Uma partícula de massa m executa oscilações harmônicas, em uma dimensão, num potencial U(x) = mω x /. A função de onda da partícula no estado fundamental, com energia E = hω/, é dada por ψ(x) = Ae bx, onde A é uma constante e b = mω/( h). (a) (,0 ponto) Calcule a constante de normalização A. (b) (0,5ponto)Classicamente, apartículaoscilariadentrodointervalosimétrico[ x máx,x máx ]. Calcule x máx usando a mecânica clássica. (c) (,0 ponto) Calcule, usando a mecânica quântica, a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [ x máx,x máx ]. Como este resultado se compara com o da mecânica clássica? 7

8 Solução da questão 4 (a) A constante A é determinada impondo-se ψ dx = = A A = e bx dx = = A π b = ( ) /4 b = π ( ) mω /4. π h (b) Classicamente, nos pontos ±x máx toda a energia é potencial: mω x máx = hω h = x máx = mω. (c) A probabilidade quântica P de encontrar a partícula no intervalo [ x máx,x máx ] é P = = x máx x máx ψ(x) dx = A e bx dx = x máx x máx h/mω ( ) mω / e mωx / h dx. π h 0 x máx 0 A e bx dx Fazendo a mudança de variável P = π ( ) mω /x = t obtemos h 0 e t dt = erf() 0,84, Em contraste com o que ocorre na mecânica clássica, existe uma probabilidade de 0,6 de encontrar a partícula fora do intervalo [ x máx,x máx ]. 8

9 Formulário Z = R +(X L X C ), X L = ωl, X C = ωc, tanφ = X L X C, R V m = ZI m, P med = V mi m cosφ = RI m, V qm = Vm, I qm = Im. E = hf = hc/λ, E = pc, E cin = hf Φ h d ψ(x) π +U(x)ψ(x) = Eψ(x); exp( αt )dt = m dx α x exp( t )dt = erf(x); erf(/) = 0,5; erf() = 0,84; erf() = 0,99. π 0 9