Objetivos para os alunos

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1 ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 2 - MATEMÁTICA Nome: Nº 3ª Série Data: / / Professores: Diego, Luciano e Sami Nota: (Valor 1,0) 1º Semestre 1º Bimestre 1. Apresentação: Prezado aluno, A estrutura da recuperação bimestral paralela do Colégio Pentágono pressupõe uma revisão dos conteúdos essenciais que foram trabalhados neste bimestre. O roteiro de recuperação vai auxiliá-lo a planejar e organizar seus estudos. Para isso, sugerimos que: Anote tudo o que tiver para fazer. Fazer um esquema pode ajudar Faça um planejamento de estudos, estabelecendo um horário para desenvolver as diversas tarefas. Planejar significa antecipar as etapas que você precisa fazer e entregar; não deixe para depois o que pode ser feito hoje... Estabeleça prioridades: onde você tem mais dúvidas? Como se organizar para resolvê-las? Para que você aproveite essa oportunidade, é necessário comprometimento: resolva todas as atividades propostas com atenção, anote em um caderno suas dúvidas e leve-as para as aulas de recuperação. Sempre que possível, aproveite a monitoria de estudos. Procure esclarecer todas as dúvidas que ficaram pendentes no bimestre que passou. Tudo o que for fazer, faça bem feito! 2. Conteúdos Para ajudar em sua organização dos estudos, vale lembrar quais foram os conteúdos trabalhados neste bimestre: Conjuntos numéricos; Funções e inequações: 1ª grau, 2ª grau, inversa, composta; Potenciação, radiciação, fatoração e produtos notáveis; Teoria dos números: múltiplos, divisores, mmc e mdc; Números Complexos; Geometria plana: ângulos, triângulos e diversos teoremas. 3. Objetivos: Temas conceitos Teoria dos conjuntos Objetivos para os alunos Compreender os conceitos básicos da teoria dos conjuntos. Resolver problemas clássicos de contagem utilizando os diagramas de Euler- Venn.

2 Formalizar a representação dos intervalos reais. Funções Estudar os conjuntos relacionados por uma função. Função do 1 grau Apresentar e conceber as propriedades características das funções que as classificam Compreender as funções de 1º grau. Conceituar funções lineares e funções constantes. Funções inversas Construir o significado da função inversa. e compostas Formalizar e conceituar a composição de funções e apresentar aplicações. Praticar composições e decomposições de funções. Função do 2 Compreender as funções de 2º grau (quadráticas). grau Definir as expressões que fornecem as coordenadas do vértice de uma parábola. Inequações Estudar a análise do sinal de uma função de 1º ou 2º grau. Apresentar o método de resolução de inequações na forma de produto e quociente Potenciação Compreender a operação de potenciação. Apresentar as principais propriedades das potências. Conjuntos Reconhecer e compreender os diferentes significados e representações dos numéricos números naturais, cardinais e ordinais. Construir o significado do eixo dos números reais e explorar sua interpretação geométrica. Teorema Estudar o Teorema fundamental da aritmética. fundamental da aritmética Praticar a decomposição de um número em fatores primos. Números e algarismos Produtos notáveis Estabelecer a distinção entre o conceito de número e o significado dos algarismos. Compreender o sistema de numeração decimal posicional. Estudar as principais identidades algébricas. Fatoração Estudar os principais casos de fatoração. Praticar algumas de suas aplicações. Problemas de 1º e Modelar e resolver problemas usando representações algébricas polinomiais 2 graus de 1º e 2º graus. Identificar representações algébricas ao interpretar enunciados e resolver situações-problema Conceitos Conceituar razão de seção. básicos de geometria plana e ângulos Definir e classificar ângulos quanto às suas posições e unidades de medidas. Números Complexos Identificar e interpretar conceitos e procedimentos matemáticos expressos em diferentes formas. Utilizar conceitos e procedimentos matemáticos para construir formas de raciocínio que permitam aplicar estratégias para a resolução de problemas. Triângulos Apresentar os critérios de congruência. Apresentar e demonstrar ideias e teoremas iniciais referentes a ângulos no triângulo. Apresentar o teorema das bissetrizes de um triângulo. Definir semelhança de triângulos.

3 Estudar os lugares geométricos básicos: circunferência, mediatriz e bissetriz. Conhecer os pontos notáveis dos triângulos 4. Materiais que devem ser utlilizados e/ou consultados durante a recuperação: Apostila de sala e livro de exercícios; Listas de estudos; Anotações de aula feitas no próprio caderno. Atividades do Mangahigh; Provas mensais 1 e 2. Prova bimestral 5. Etapas e atividades Veja quais são as atividades que fazem parte do processo de recuperação: a) refazer as provas mensais e bimestral para identificar as dificuldades encontradas e aproveitar os momentos propostos para esclarecer as dúvidas com o professor ou monitor da disciplina. b) refazer as listas de estudos. c) revisar as atividades realizadas em aula, bem como as anotações que você fez no caderno. c) fazer os exercícios do roteiro de recuperação. 6. Trabalho de recuperação e forma de entrega Após fazer as atividades sugeridas para o processo da recuperação paralela, entregue os exercícios do roteiro de estudos em folha de bloco. O Trabalho de recuperação vale 1 ponto. Para facilitar a correção, organize suas respostas em ordem numérica. Não apague os cálculos ou a maneira como você resolveu cada atividade; é importante saber como você pensou! É muito importante entregar o Trabalho na data estipulada. TRABALHO DE RECUPERAÇÃO 1. (UFPA - Adaptada) Feita uma pesquisa entre 100 alunos do ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e história, constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. Com base nessas informações, qual é o número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas? 2. Sejam os intervalos A = [-2, 3], B = ] 13, 13 ] e C = [-5, + [. Represente, utilizando as notações de 10 2 conjuntos e intervalos, as operações abaixo: a) A B b) C B

4 c) A B C d) A (B U C) 3. Realize o estudo do domínio, em IR, das funções abaixo: a) f(x) = 16x x 8 b) g(x) = 3x + 12 c) h(x) = x 2 x 3 4. Dadas as funções f(x) = 3x + 14 e g(x) = 5x + 13, encontre o que se pede abaixo. a) Expresse as funções inversas de f(x) e g(x). b) Expresse as funções compostas f(g(x)) e g(f(x)). c) Encontre os valores de f(g(-1)) e g(f(-1)). 5. (FUVEST) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? x 6. (PUC-MG) Por mês, certa família tem uma renda de r reais, e o total de seus gastos mensais é dado pela função g(r) = 0,7r Num mês em que os gastos atingiram R$ 3.600,00, pode-se estimar que a renda dessa família foi de: a) R$ 4.000,00 b) R$ 5.000,00 c) R$ 5.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 6.500,00 7. (FGV - Adaptada) Para determinado produto, o número de unidades vendidas está relacionado com a quantia gasta em propaganda, de tal modo que, para x milhares de reais investidos em propaganda, a receita R é dada

5 por R(x) = milhares de reais. Determine então a receita, ainda que nenhuma quantia seja investida em x + 5 propaganda. 8. Para compor o vitral retangular representado na figura abaixo, um artesão usou 40 placas de dimensões iguais, cada qual com a forma de um triângulo eqüilátero. Considerando que o vitral tem 2 m de comprimento, responda: 2 a) qual é a área da superfície de cada placa usada na composição do painel? b) qual é a altura do painel? 9. Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 2 cm. Calcule: a) o comprimento de cada lado do triângulo. b) a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 10. (UNICAMP - Adaptada) Temos na figura abaixo a representação de uma plantação de cana-de-açúcar. Para colher a cana, pode-se recorrer a trabalhadores especializados ou a máquinas. Cada trabalhador é capaz de colher 0,001 km² por dia, enquanto uma colhedeira mecânica colhe por dia, uma área correspondente a 0,09 km². a) Se a cana precisa ser colhida em exatamente 40 dias, quantos trabalhadores são necessários para a colheita, supondo que não haja máquinas?

6 b) Suponha, agora, que a colheita da parte hachurada do desenho só possa ser feita manualmente, e que o resto da cana seja colhido por quatro colhedeiras mecânicas. Neste caso, quantos trabalhadores são necessários para que a colheita das duas partes tenha a mesma duração? Em seus cálculos, desconsidere os trabalhadores que operam as máquinas 11. Uma porteira tem 2 m de largura. Ela é formada por 10 ripas verticais e duas em diagonal, como mostra o esquema. Se cada ripa vertical tem 1,5 m de comprimento, quantos metros de ripa o marceneiro utilizou para construir essa porteira? 12. (UFPE) Encontre o menor inteiro positivo n tal que a potência 3 i n seja um número real. 13. (UECE) Se x e y são números reais não nulos, pode-se afirmar corretamente que o módulo do número complexo a) 1. b) c) x y. d) xy. x iy z é igual a x iy 14. (MACKENZIE) Na figura abaixo, calcule: a) O lado do quadrado sombreado. b) A área do quadrado. 15. (FUVEST) Na figura, AB = AC, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo BOC é o triplo do ângulo Â.

7 Então a medida de  é a) 18 b) 12 c) 24 d) 36 e) 15 2º Bimestre 1. Apresentação: Prezado aluno, A estrutura da recuperação bimestral paralela do Colégio Pentágono pressupõe uma revisão dos conteúdos essenciais que foram trabalhados neste bimestre. O roteiro de recuperação vai auxiliá-lo a planejar e organizar seus estudos. Para isso, sugerimos que: Anote tudo o que tiver para fazer. Fazer um esquema pode ajudar Faça um planejamento de estudos, estabelecendo um horário para desenvolver as diversas tarefas. Planejar significa antecipar as etapas que você precisa fazer e entregar; não deixe para depois o que pode ser feito hoje... Estabeleça prioridades: onde você tem mais dúvidas? Como se organizar para resolvê-las? Para que você aproveite essa oportunidade, é necessário comprometimento: resolva todas as atividades propostas com atenção, anote em um caderno suas dúvidas e leve-as para as aulas de recuperação. Sempre que possível, aproveite a monitoria de estudos. Procure esclarecer todas as dúvidas que ficaram pendentes no bimestre que passou. Tudo o que for fazer, faça bem feito! 2. Conteúdos Para ajudar em sua organização dos estudos, vale lembrar quais foram os conteúdos trabalhados neste bimestre: Polinômios e equações algébricas Funções, equações e inequações exponenciais Funções, equações e inequações logarítmicas Porcentagem Matemática Financeira básica Estatística básica Geometria Plana: triângulos, quadriláteros, polígonos e círculos

8 3. Objetivos: Temas conceitos Polinômios e Equações Algébricas Objetivos para os alunos Reconhecer e interpretar polinômios e suas equações. Aplicar os conceitos na resolução de problemas. Utilizar modelagem analítica. Funções, Equações e inequações exponenciais Compreender as funções exponenciais. Interpretar graficamente os coeficientes. Estudar as técnicas de resolução de equações exponenciais. Estudar as técnicas de resolução das inequações exponenciais. Funções, Equações Compreender as funções logarítmicas e modulares. e Inequações Interpretar graficamente os coeficientes. Logarítmicas Estudar as técnicas de resolução de equações logarítmicas Estudar as técnicas de resolução das inequações logarítmicas Porcentagem Compreender os conceitos de porcentagem, taxa unitária e taxa percentual. Praticar a notação e aplicação dessas taxas na resolução de problemas. Matemática Estudar os principais conceitos elementares da matemática financeira. financeira básica Resolver problemas básicos de aplicações financeiras e compras parceladas. Estatística Básica Identificar, interpretar e produzir registros de informações sobre fatos ou fenômenos de caráter aleatório. Caracterizar ou inferir aspectos relacionados a fenômenos de natureza científica ou social, a partir de informações expressas por meio de uma distribuição estatística. Resolver problemas envolvendo processos de contagem, medida e cálculo de probabilidades. Analisar o comportamento de variável expresso por meio de uma distribuição estatística como importante recurso para a construção de argumentação consistente. Geometria Plana: Identificar e interpretar fenômenos de qualquer natureza expressos em linguagem triângulos, geométrica quadriláteros, Construir e identificar conceitos geométricos no contexto da atividade cotidiana polígonos e Construir e identificar conceitos geométricos no contexto da atividade cotidiana círculos Recorrer a conceitos geométricos para avaliar propostas de intervenção sobre problemas do cotidiano 4. Materiais que devem ser utlilizados e/ou consultados durante a recuperação: Apostila de sala e livro de exercícios; Listas de estudos; Anotações de aula feitas no próprio caderno. Atividades do Mangahigh; Prova mensal Prova bimestral Simulados 7. Etapas e atividades Veja quais são as atividades que fazem parte do processo de recuperação: a) refazer as provas mensais e bimestral para identificar as dificuldades encontradas e aproveitar os momentos propostos para esclarecer as dúvidas com o professor ou monitor da disciplina.

9 b) refazer as listas de estudos. c) revisar as atividades realizadas em aula, bem como as anotações que você fez no caderno. c) fazer os exercícios do roteiro de recuperação. 8. Trabalho de recuperação e forma de entrega Após fazer as atividades sugeridas para o processo da recuperação paralela, entregue os exercícios do roteiro de estudos em folha de bloco. O Trabalho de recuperação vale 1 ponto. Para facilitar a correção, organize suas respostas em ordem numérica. Não apague os cálculos ou a maneira como você resolveu cada atividade; é importante saber como você pensou! É muito importante entregar o Trabalho na data estipulada. TRABALHO DE RECUPERAÇÃO 1. (UNB) Em um experimento com uma colônia de bactérias, observou-se que havia bactérias vinte minutos após o início do experimento e, dez minutos mais tarde, havia bactérias. Suponha que a população da colônia cresce exponencialmente, de acordo com a função P(t) = P0e xt, em que P0 é a população inicial, x é uma constante positiva e P(t)é a população t minutos após o início do experimento. Calcule o valor de P0/100, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 2. (ACAFE)O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. Uma função exponencial kt pode ser enunciada pela lei N(t) N0 a, onde N0 é o número inicial, N é o número no instante t, e k é a taxa de crescimento ou decrescimento do fenômeno em estudo. Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas. ( ) Para que a função N(t) represente um decaimento é necessário que k seja um número negativo. ( ) A lei que representa o crescimento do número de pessoas infectadas pelo vírus da gripe em uma grande 0,8t cidade é dada por N(t) 600 2, com t em horas. Então, após 6h25min a cidade está com pessoas infectadas. ( 0,25t ) A população de certa região do país é dada pela função P(t) P0 2, onde t é o tempo em anos. Então, após 4 anos, a população dessa região está reduzida à metade da população inicial. 3. (UFSM) As matas ciliares desempenham importante papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua recuperação é o plantio de mudas. O gráfico mostra o número de mudas numa determinada região. t N(t) ba (o a 1 e b 0) a serem plantadas no tempo t (em anos),

10 De acordo com os dados, o número de mudas a serem plantadas, quando t 2 anos, a) b) c) d) e) é igual a 4.(UFCG) Certa espécie de animal, com população inicial de 200 indivíduos, vivendo em um ambiente limitado, capaz de suportar no máximo 500 indivíduos, e modelada pela função P(t) =, em que a variável t e 2t e dada em anos. O tempo necessário para a população atingir 60% da população máxima é: a) 0,4 ano. b) 0,2 ano. c) 0,5 ano. d) 0,1 ano. e) 0,6 ano. 5. Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2 -bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? 6. A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a. 1 2x, conforme o gráfico a seguir. a) Determine a lei da função exponencial que representa o caso acima, com o valor de a. b) Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 7. (UFSM) A partir de dados do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anisio Teixeira (Inep), o índice de Desenvolvimento da Educação Basica (IDEB) para as Séries Iniciais do Ensino Fundamental da Escola Estadual Básica Professora Margarida Lopes (Santa Maria, RS) pode ser representado pela expressão: onde f(t) representa o IDEB em funcao do ano t em que o dado foi coletado. Diante dessas informações, pode-se afirmar que o acréscimo do IDEB previsto para essa escola, de 2005 a 2013, é de: a) 5 b) 1 c) 1/2 d) 4 1 e) 0 8. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz e reduzida em 20%, de acordo com a equação: h I = I 0. 0,8 40

11 na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centimetros, e I 0 e a intensidade na superficie. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, e de 32% daquela observada na superficie.. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a: a) 0,64 b) 1,8 c) 2,0 d) 3,2 e) 4,0 9. (UFAL) A expressão N(t)= ,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t = 0). Após quantas horas da primeira observação haverá bactérias nessa cultura? (Dados: log2 = 0,30 log3 = 0,48). 10. (UNICAMP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1200 metros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60 ; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia. 11. Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Utilize 13 = 3, Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabese que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. Nesse caso, qual é a distância entre B e C em km? (Adote: 19 = 4,4). 13. (UNESP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD = 30, a medida do ângulo AED é 75º e x = BE. Determine o valor de x.

12 14. (UDESC) Observe a figura. Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo BIC é igual a 105, então o segmento AC mede: a) 5 2 b) c) 20 2 d) 10 2 e) (IFSUL) Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C, como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas duas direções é 60, a distância da livraria à igreja é :

13 a) 17 5 m b) 5 7 m c) 25 7 m d) 7 5 m 16. ACAFE - adaptado) Para a realização de uma olimpíada escolar, os professores de educação física montam as turmas por meio da distribuição das idades dos alunos. O gráfico abaixo representa a quantidade de alunos por suas idades. Determine : a)a média de idade da turma b) Se um deles é sorteado aleatoriamente, a probabilidade de que tenha idade abaixo da média. 17. (FUVEST) Os coeficientes a, b e c do polinômio 3 2 p(x) x ax bx c são reais. Sabendo que 1 e 1 αi, com α 0, são raízes da equação p(x) 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8, determine a) o valor de α ; b) o quociente de p(x) por (x 1). 18. (UERJ) Observe o anúncio abaixo, que apresenta descontos promocionais de uma loja. Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência: - primeiro desconto de 10% sobre o preço da mercadoria; - segundo desconto de 10% sobre o valor após o primeiro desconto; - desconto de R$100,00 sobre o valor após o segundo desconto. Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor, após os três descontos, é igual a R$710, (FGV) Sabendo que 3 é raiz dupla do polinômio P(x) = x 4-3x 3-7x x + 18, determine as outras raízes. 20. (UFMG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura:

14 Então, qual é a área (em dm 2 ) do quadrado PQRS?