XXVII Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

Transcrição

1 Gabarito da Prova da Primeira Fase Nível Alfa 1

2 Questão 1 Na disciplina de Matemática serão realizadas duas provas durante o primeiro semestre A primeira prova com peso 2 e a segunda prova com peso 3 Caso o aluno não alcançar média 7, fará um exame final A média final será então a média entre a nota do exame final com peso 2 e a média das provas realizadas no semestre com peso 3 A média final para aprovação deve ser maior do que ou igual a Um aluno que obteve nota na primeira prova e nota 6 na segunda prova, qual a nota mínima que precisa obter no exame final para ser aprovado? Vamos denotar por P 1 a nota da primeira prova, por P 2 a nota da segunda prova e por M a média Desse modo, a média é calculada da seguinte forma: M = 2 P P 2 No caso em que M é menor que 7 o aluno deverá fazer um exame final, cuja nota vamos denotar por E Neste caso, a média final do aluno, que vamos denotar por MF, será calculada da seguinte forma: MF = 2 E + 3 M Considerando um aluno que obteve nota na primeira prova, P 1 =, e uma nota 6 na segunda prova, P 2 = 6, a sua média é dada por: M = = 28 =, 6 Assim, esse aluno deverá fazer o exame final Vamos determinar a nota mínima que esse aluno precisa obter no exame para ser aprovado, isto é, obter uma média final igual a A média final desse aluno é obtida da seguinte forma: MF = 2E + 3, 6 = 2E + 18, 6 Portanto, devemos determinar a nota mínima do exame da forma: 2E + 18, 6 = 2E + 16, 8 = 2 2E = 8, 2 E = 4, 1 2

3 Questão 2 Numa escola tem oito alunos que desejam participar do grêmio estudantil que é formado da seguinte forma: Presidente, Secretário, Diretor Financeiro, Diretor Esportivo e Diretor Social De quantas maneira esse grêmio poderá ser composto? Como temos oito alunos e cinco cargos dentro do grêmio estudantil, ficamos com um arranjo cujo número de possibilidades é A 8 = 8! (8 )! = = = 6720 Portanto, podemos compor o grêmio estudantil de 6720 maneiras diferentes 3

4 Questão 3 Encontre três múltiplos consecutivos de 7 cuja soma é 336 Vamos denotar os três múltiplos consecutivos de 7 da seguinte forma: 7n, 7(n + 1) e 7(n + 2) Queremos que a soma desses três múltiplos consecutivos seja igual a 336, isto é, 7n + 7(n + 1) + 7(n + 2) = n + 21 = n = 31 n = 1 Portanto, os três múltiplos consecutivos de 7 cuja soma é igual a 336 são: 10, 112 e 119 4

5 Questão 4 Um revestimento cerâmico retangular que possui 20 cm de largura por 30 cm de comprimento é vendido somente em caixas com 20 peças cada uma Determine o número mínimo de caixas que devem ser compradas para cobrir o piso de uma cozinha que possui 3, 6 m de largura por 4, 2 m de comprimento, lembrando que devemos comprar sempre 10 % a mais que o necessário Vamos determinar a área em metros quadrados de cada peça do revestimento cerâmico, que vamos denotar por A p, A p = 0, 20 0, 30 = 0, 06 m 2 Desse modo, cada caixa do revestimento com 20 peças possui 1, 20 m 2 de piso A área da cozinha em metros quadrados, que denotamos por A c, é dada por: A c = 3, 6 4, 2 = 1, 12 m 2 Como é aconselhável comprar sempre 10 % a mais do que o necessário, a quantidade M p ; de metros quadrados que devemos comprar é M p = A c + 0, 1 A c = 1, 1 A c = 16, 623 m 2 Logo, o número mínimo de caixas que devemos comprar é calculada da seguinte forma: N c = M p 1, 20 = 13, 86 Portanto, devemos comprar pelo menos 14 caixas desse revestimento

6 Questão Uma determinada empresa fará uma homenagem a seus melhores funcionários com uma placa comemorativa confeccionada a partir de uma placa de prata com 6 cm de largura por 10 cm de comprimento, como ilustra a figura abaixo Sabendo que a prata tem uma densidade volumétrica igual a 10, g/cm 3, determine a massa da placa comemorativa, considerando que a placa possui uma espessura de 4 mm 7 cm 60 o Vamos denotar por A p a área da placa comemorativa, por A c a área do setor circular de raio r = 3 cm, por A R a área do retângulo e por A T a área do triângulo retângulo ABC, como ilustra a figura abaixo 7 cm C B 60 o A Assim, a área da placa é escrita da forma: BC = AB tan(30 o ) = 2 3 A p = A R A c A T, onde A R = 6 10 = 60, A c = πr2 4 Desse modo, obtemos = 9π 4 e A T = 6 BC 2 = 6 3 A p = 60 9π , 1 10, 4 = 42, cm 2 Portanto, o volume da placa é dada por: V p = 42, 0, 4 = 17 cm 3 e a massa da placa é dada por M p = 10, 17 = 178, g, uma vez que a densidade volumétrica da prata é 10, g/cm 3 6

7 Questão 6 Duas galinhas mais dois patos e mais quatro gansos custam R$ 10, 00 Se o preço de um ganso é igual ao preço de cinco patos e o preço de um pato é igual ao preço de três galinhas, determine o preço de cada uma das aves Vamos denotar por x o preço de uma galinha, por y o preço de um ganso e por z o preço de um pato Desse modo, o problema apresentado pode ser equacionado da seguinte forma: 2x + 4y + 2z = 10 y = z z = 3x Da segunda equação e da terceira equação, obtemos y = 1x Substituindo y = 1x e z = 3x na primeira equação, temos 2x + 60x + 6x = 10 68x = 10 x = 7, Portanto, uma galinha custa R$ 7, 0, um pato custa R$ 22, 0 e um ganso custa R$ 112, 0 7