O Cálculo Desenhado. A poética dos números. Autora: Mariane Brito Azevedo Borges

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1 O Cálculo Desenhado A poética dos números Autora: Mariane Brito Azevedo Borges (mariane.azevedo@eba.ufrj.br) Coautora: Beatriz dos Ramos Pinto (bia_rp1@yahoo.com.br) 1 Introdução Atualmente, observa-se uma tendência por parte das escolas em pautar o ensino visando principalmente o acesso às universidades. Estas, por sua vez, buscam desenvolver uma formação direcionada ao preparo para mercado de trabalho, gerando uma desvalorização dos conhecimentos considerados não relevantes, ou seja, uma priorização de determinados conteúdos em detrimento de uma formação completa. Portanto, alguns conteúdos como, por exemplo, disciplinas ligadas à área da Expressão Gráfica Desenho Geométrico e Projetivo vêm deixando de ser parte integrante dos currículos de inúmeras escolas. Em contrapartida, observava-se uma vertente em prol de políticas inclusivas e valorização das inteligências múltiplas, que pode ser um forte aliado na defesa de um ensino mais abrangente e com ferramentas variadas. A utilização de novos recursos tecnológicos e ferramentas computacionais no processo didático é muitas vezes interpretada de maneira equivocada, como se viesse a tornar descartável o conhecimento em Desenho Geométrico e Projetivo; o que é um paradoxo, pois se omite nesse tipo de argumentação que este conhecimento é um dos alicerces para as pessoas que participam da construção de tais ferramentas e para quem busca entender o que estas fazem e não apenas a utilizam. Este trabalho é o ponto de partida para a desconstrução desta ideia, tendo como objetivo elucidar como o conhecimento geométrico auxilia na resolução de problemas matemáticos mostrando assim uma visão interdisiciplinar do desenho. Em um primeiro momento, conclui-se que o traçado não apenas prova, como também é uma forma alternativa de ensinar os cálculos; uma vez que no desenho esses são resolvidos por traçados. A partir disto, entende-se que as práticas pedagógicas devem buscar ampliar os horizontes do processo educativo ao invés de restringi-lo.

2 2 A Matemática A Matemática é uma das ciências que causa repulsa em muitos alunos, considerando alunos do ensino fundamental estes a consideram complicada e trabalhosa, chegando a se tornar um trauma. Quando se passa a questão para estudantes que estão no Ensino Médio observamos que a Física também aparece com umas das principais rejeitadas, sabe-se que esta disciplina tem base em cálculos. Observa-se a existência de inúmeros métodos que tem por objetivo acelerar ou mecanizar as contas, em contrapartida não se percebe uma preocupação em fazer com que os discentes percam seus medos e/ou sintam prazer com o aprendizado. Os números {1, 2, 3, 4, 5, } são substituídos por segmentos e se trabalha com a unidade e com a precisão. Quando o Desenho é estudado depois da Matemática, o aluno tem tendência de medir os segmentos e transformá-los em números, isso acarreta algumas vezes uma perda de precisão. O segmento tem um comprimento que é transportado com o compasso seja qual for seu tamanho, enquanto os números que sofrem arredondamento como as dízimas, por exemplo vão perdendo sua exatidão a cada arredondamento. 2.1 Operações fundamentais A Matemática trabalha com quatro operações fundamentais: a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão. Fazendo um paralelo com o desenho, analisa-se uma forma de ensiná-las: Exemplo: Paulo ganhou de sua mãe 1 (um) pedaço de chocolate e 2 (dois) de seu pai. Com quantos pedaços de chocolate Paulo ficou? = 3 Resposta: Paulo ficou com 3 (três) pedaços. Quando a criança é pequena, normalmente o problema vem ilustrado.

3 Figura 1: Soma + = Apesar de ser uma forma de utilizar o desenho no ensino, não é a disciplina Desenho Geométrico que está sendo abordada neste artigo. A soma ou adição, ensinada através do desenho, seria através de segmentos colineares e adjacente da seguinte forma: Figura 2: Soma de segmentos AB + BC = AC De maneira análoga, observa-se um raciocínio similar na subtração: Exemplo: Gabi tem 5 (cinco) pedaços de chocolate, ela dá 2 (dois) para seu irmão. Com quantos pedaços de chocolate Gabi fica? = 3 Resposta: Gabi ficou com 3 pedaços de chocolate.

4 Figura 3: Soma de segmentos (com en.wikipedia.org/wiki/yorkie_(chocolate_bar)) Contudo, se Gabi tivesse 2 (dois) pedaços de chocolate e quisesse dar 5 (cinco) para seu irmão? Matematicamente, 2 5 = 3; entretanto ela teria que comprar mais chocolate. No desenho, acontece o mesmo, sempre retiramos o menor do maior; pois não existe traçado negativo, ou seja, a resposta da subtração é em módulo. 5 2 = 2 5 = 3 Figura 4: Subtração de segmentos DE FG = DG Em Desenho, na multiplicação, primeiro se demonstra o produto de um segmento por um número natural; que é igual a somar o segmento a ele mesmo o numero de vezes que é solicitado. Exemplo: 3 a = a + a + a Figura 5: Produto de um segmento por um número natural

5 O mesmo acontece com a divisão de um segmentos em segmentos iguais ou proporcionais, obtido através do Teorema de Tales. Tales de Mileto foi um filósofo e matemático grego, o qual teve a incumbência de medir a altura das pirâmides. Ele observou que os raios solares chegavam a terra de forma paralela e por semelhança de triângulos, descobriu que se soubesse a sombra que a pirâmide fazia, comparada com a de um graveto de altura conhecida, poderia encontrar a altura pirâmide. Figura 6 Medição da altura da pirâmide Fonte: matematicaferafacitec.blogspot.com.br Figura 7: Teorema de Tales Fonte: AZEVEDO, Mariane Brito. Desenho Geométrico Básico a 3 = a 3 Figura 8: Divisão de um segmento por um número natural

6 Por fim, se faz necessário apresentar como ficaria o produto e a razão entre dois segmentos. Para solucionar ambos, se faz necessário o conhecimento de razão e de proporção: Razão é comparação entre duas grandezas. Exemplo: AB BC o segmento AB está para o segmento BC Proporção é a igualdade entre duas razões. Exemplo: AB = DE BC EF AB está para BC assim como DE está para EF. Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo: a = c é o mesmo que a = b. Ao igualar d a uma unidade em a = c tem-se: a b d c d b d b = c. Analogamente, em a d = b c, se substituir c pela unidade tem-se a d = b. Para se resolver ambos problemas, faz-se necessário o saber solucionar a quarta proporcional. A Quarta Proporcional é quando se desconhece o quarto termo de uma proporção, mas se pode determiná-lo em função dos demais. Graficamente é determinado através do Teorema de Tales. Exemplo: a = c ou b c = a x b x Figura 9: Solução de Quarta Proporcional Quando um dos termos da proporcional se repete, esta é chamada de Terceira Proporcional, uma vez que a incógnita é o terceiro termo. Exemplo: a b = b x ou b b = a x

7 Com este saber, se torna possível a solução de potenciações também, bem como de equações que utilizem essas operações. 2.2 Média Geométrica ou Proporcional Método de achar a raiz quadrada de duas grandezas. Nesta proporcional o termo que se repete é a incógnita. Figura 10: Equação Fonte: AZEVEDO, Mariane Brito. Desenho Geométrico Básico Para resolver a Média Geométrica graficamente, é imprescindível analisar primeiramente as relações do triângulo retângulo. Figura 11: Relações do triângulo retângulo m = h b = m a = n h n c b c a h 2 = m n b 2 = c m a 2 = c n h = m n b = c m a = c n A construção geométrica pode ser realizada por dois teoremas: Por adição: onde a altura do triângulo retângulo é a Média Proporcional da projeção de seus catetos na hipotenusa. h = m n Por subtração: onde qualquer cateto de um triângulo retângulo é a Média Proporcional entre a projeção do cateto escolhido sobre a hipotenusa. b = c mou a = c n

8 do outro. Neste caso, ao substituir um dos segmentos pela unidade, tem-se a raiz quadrada 3 Considerações Finais Neste trabalho foi apenas mostrado operações matemáticas simples que podem ser solucionadas através do desenho, entretanto o objetivo do estudo no qual este está inserido é mostrar como os saberes são complementares e interligadas. Sendo assim, futuramente, será evidenciado que o saber em questão é alicerce para outros conteúdos da Matemática e das demais disciplinas das Ciências Exatas como a Física e a Química, revelando sua presença também nas Humanas e Biológicas. Estes resultados farão parte de uma pesquisa que tem por propósito apontar as lacunas que podem surgir com a exclusão de tal saber, mostrando a importância da presença desta disciplina na Educação Básica, como um conhecimento, que transcende o desenvolvimento lógico e a percepção visual. Bibliografia AZEVEDO, Mariane Brito. Desenho Geométrico Básico. Rio de Janeiro: UFRJ/ EBA/ Departamento de Técnicas e Representação, mai Número de páginas. Apostila.