ESTUDANDO POLIEDROS COM AUXÍLIO DE SOFTWARE EDUCACIONAL

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1 ESTUDANDO POLIEDROS COM AUXÍLIO DE SOFTWARE EDUCACIONAL Gilmara Teixeira Barcelos - Centro Federal de Educação Tecnológica de Campos (CEFET- Campos) - gilmarab@cefetcampos.br Silvia Cristina Freitas Batista - Centro Federal de Educação Tecnológica de Campos (CEFET- Campos) - silviac@cefetcampos.br Flávio de Freitas Afonso - Bolsista do CNPq-Brasil/ Centro Federal de Educação Tecnológica de Campos (CEFET- Campos) - fafonso@es.cefetcampos.br Resumo. Neste trabalho relatamos, resumidamente, um estudo sobre o tema matemático poliedros, que foi desenvolvido considerando os recursos do software Poly e a classificação de poliedros que este utiliza. Neste sentido, apresentamos algumas definições básicas sobre o tema e descrevemos categorias de poliedros convexos, ressaltando a dificuldade de encontrar informações sobre algumas destas. Finalizando, destacamos que este estudo fundamentou um minicurso para professores. Palavras-chave: Poliedros, Software Educacional, Ensino e Aprendizagem 1. Introdução Certos temas matemáticos são algumas vezes abordados de maneira superficial por livros didáticos. A utilização adequada de softwares educacionais pode permitir uma análise mais aprofundada destes temas, possibilitando ir além dos aspectos tradicionalmente abordados. Neste trabalho relatamos um estudo do tema poliedros, que teve como fatores motivadores: i) os recursos oferecidos pelo software Poly, assim como a classificação de poliedros que este apresenta; ii) a dificuldade de aquisição de informações sobre a referida classificação de poliedros nos livros didáticos. Poly é um programa shareware, que permite reconhecimento e análise de diferentes poliedros convexos. A empresa Pedagoguery Software Inc. é responsável pelo mesmo e disponibiliza-o em em uma versão avaliativa completa. O relato desse estudo encontra-se estruturado em 3 seções, além dessa introdução. Na seção 2, apresentamos algumas definições que fundamentam o estudo de Poliedros, uma vez percebido que nem sempre estas são claras e precisas. Na seção 3, classificamos poliedros convexos, destacando as características de cada uma das categorias consideradas, ressaltando que o estudo destas foi motivado pelo software Poly. Finalizando, a seção 4 apresenta algumas considerações finais sobre o tema, destacando que este estudo fundamentou um minicurso para professores.

2 2 2. Poliedros A maior dificuldade encontrada no estudo deste tema foi, justamente, definir poliedro. Muitas definições encontradas na literatura mostraram-se imprecisas, após uma análise mais minuciosa. Assim, o que planejávamos ser um aprofundamento do estudo de Poliedros, analisando de forma particular algumas categorias destes, teve que ser expandido, de forma a incluir definições básicas que julgamos adequadas. Apresentamos, a seguir, as definições que adotamos neste trabalho. Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos 1 planos, de tal forma que a interseção de dois polígonos distintos seja uma aresta comum, um vértice comum, ou vazia (LIMA, 1991). As Figuras 1a e 1b exemplificam poliedros, já as Figuras 1c e 1d não (a 1c porque a interseção das faces F e G não é vazia, nem uma aresta, nem um vértice comum; a 1d, pois a face superior e a inferior não são polígonos). a b c d Figura 1: Sólidos geométricos (Fonte: Figura 1a - LIMA, et. al., 2002; Figuras 1b, 1c e 1d LIMA, 1991) Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em no máximo, dois pontos (LIMA, et. al., 2002). Em todo poliedro convexo cada lado de um polígono é também lado de um, e apenas um, outro polígono. 3. Classificação de Poliedros O software Poly permite visualizar poliedros convexos, planificá-los e rotacioná-los. Os poliedros são apresentados nas categorias: platônicos, sólidos de Arquimedes, prismas e anti-prismas, sólidos de Johnson, deltaedros, sólidos de Catalan, dipirâmides e deltoedros, esferas e domos geodésicos. Neste trabalho, as esferas e domos geodésicos não serão analisados, pois o estudo destes está em andamento. Os livros didáticos do Ensino Médio, em geral, não contemplam todas essas categorias. Normalmente, destas, apenas os poliedros platônicos e os prismas são estudados nesse nível de ensino. As figuras 2, 4, 5, 6, 7 e 8 deste trabalho foram construídas com a utilização do Poly. 1 Seja uma seqüência de pontos de um plano (A 1, A 2,..., A n ) com n 3, todos distintos, na qual três pontos consecutivos não são colineares. A reunião dos segmentos A 1A2, A 2 A3,..., An 1 An os pontos internos da região limitada por estes segmentos, chama-se polígono., 1 A n A com

3 3 3.1 Poliedros Regulares Um poliedro é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes e todos os vértices são congruentes. É possível provar que existem apenas cinco poliedros regulares convexos. Estes passaram a ficar conhecidos na história como poliedros platônicos pelo fato de Platão ter construído suas teorias cosmogônicas, associando a estes, os constituintes fundamentais da natureza. Tetraedro Cubo ou hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Figura 2: Poliedros regulares convexos Admitindo que as faces de um poliedro regular podem ser polígonos regulares generalizados e que podem intersectar-se, os quatro poliedros conhecidos como poliedros de Kepler-Poinsot são regulares, porém não convexos (HART, 1996a). Pequeno dodecaedro estrelado Grande dodecaedro estrelado Grande dodecaedro Grande Icosaedro Figura 3: Poliedros de Kepler- Poinsot (Fonte: HART, 1996a) Chama-se dual de um poliedro, o poliedro que se obtém unindo, por segmentos de reta, os centros das faces adjacentes do primeiro (HART, 1996b). Considerando os poliedros platônicos, podemos afirmar que o tetraedro é dual de um outro tetraedro; o cubo é dual do octaedro (e vice-versa); o dodecaedro é dual do icosaedro (e vice-versa). 3.2 Sólidos de Arquimedes Os sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos (HART, 1996c). Há relações íntimas entre os poliedros platônicos e os arquimedianos. Por exemplo, efetuando cortes cada vez mais profundos nos vértices de um cubo, podemos obter alguns sólidos arquimedianos. Tetraedro truncado Rombicuboctaedro Icosidodecaedro Figura 4: Exemplos de poliedros arquimedianos

4 4 3.3 Prismas e Antiprismas Os prismas são poliedros nos quais duas faces são congruentes e paralelas (bases) e as demais (faces laterais) são paralelogramos. Estes são retos se suas faces laterais são perpendiculares às bases, ou oblíquos, se tal não acontece. Prismas regulares são prismas retos cujas bases são polígonos regulares. Antiprisma é um poliedro composto de dois polígonos regulares de n lados (as bases) situados em planos paralelos, de modo que o segmento h que liga seus centros seja perpendicular aos planos das bases e, de forma que cada vértice da base superior seja eqüidistante de dois vértices da base inferior (ALLAN, 1997). Se as bases são polígonos regulares convexos de n lados, o antiprisma possui 2n triângulos isósceles como faces laterais. Se todas as faces laterais são triângulos eqüiláteros, o antiprisma é regular. Existem infinitos prismas e antiprismas. Aqueles cujas faces são polígonos regulares convexos são poliedros arquimedianos. No entanto, não é comum classificar essas duas classes como arquimedianos. Figura 5: Prisma hexagonal regular (à esquerda) e antiprisma hexagonal regular (à direita) 3. 4 Deltaedros Deltaedros são poliedros cujas faces são triângulos eqüiláteros. Há oito deltaedros convexos, três dos quais são poliedros regulares (tetraedro, octaedro e icosaedro). 3.5 Sólidos de Johnson dipirâmide pentagonal prisma triangular triaumentado Figura 6: Exemplos de deltaedros Todos os poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares, e que não são poliedros platônicos, arquimedianos, prismas ou antiprismas, são chamados de sólidos de Johnson. Existem noventa e dois sólidos nesta categoria. Pirâmide quadrangular alongada Dipirâmide pentagonal alongada Figura 7: Exemplos de sólidos de Johnson

5 Sólidos de Catalan, Dipirâmides e Deltoedros Os sólidos de Catalan são poliedros duais dos sólidos arquimedianos. As faces não são polígonos regulares, mas são todas congruentes. As dipirâmides são poliedros duais dos prismas e os deltoedros são duais dos antiprismas. a b c Figura 8: a) Dodecaedro rômbico (sólido de Catalan); b) Dipirâmide pentagonal; c) Deltoedro pentagonal 4. Considerações Finais Em educação, os softwares educacionais estão sendo incorporados ao processo de ensino e aprendizagem como ferramenta de mediação entre o indivíduo e o conhecimento. Estes permitem a exploração, visualização e experimentação do que praticamente seria impossível sem seu auxílio. No entanto, isto requer profissionais preparados, dispostos a pesquisar e a inovar e, sobretudo, convictos da importância da educação escolar para a inclusão digital e social. Neste sentido, o estudo descrito, os recursos do Poly e atividades elaboradas para utilização deste software constituíram um minicurso. Este foi ministrado a dois grupos distintos, ambos formados por licenciandos e professores de Matemática. As experiências vivenciadas nesses minicursos foram muito gratificantes, visto que o trabalho com o software foi motivador e permitiu um estudo mais aprofundado do tema. Isto ressalta a importância de iniciativas como essas no processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Referências Bibliográficas ALLAN, N. Uma Curta História dos Poliedros. In: Anais do II Encontro Luso- Brasileiro de História da Matemática, Águas de São Pedro, SP: p LIMA, E.L. Meu Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Impa e Vitae Comunicação Visual, p. LIMA, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E., Morgado, A. C. A Matemática do Ensino Médio. 4ª ed. Rio de Janeiro: SBM, p. HART, G. W. The Kepler-Poinsot Polyhedra. Virtual Polyhedra. 1996a. Disponível em < Última consulta em 16/03/05. HART, G. W. Duality. Virtual Polyhedra. 1996b. Disponível em < Última consulta em 11/03/05. HART, G. W. Arquimedean Polyhedra. Virtual Polyhedra. 1996c. Disponível em < consulta em 11/03/05.