O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

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1 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata é x = 0 e para matrizes inversíveis essa é a única solução. Para outras matrizes, não inversíveis, há soluções diferentes de zero para Ax = 0. Cada solução x pertence ao espaço nulo de A. Queremos encontrar todas as soluções e identificar este subespaço muito importante. DEFINIÇÃO O espaço nulo de A consiste de todas as soluções para Ax = 0. Es ses vetores x estão em R n. O espaço nulo contendo todas as soluções x é denotado por N(A). Verifique que os vetores solução formam um subespaço. Suponha que x e y estão no espaço nulo (isso significa Ax = 0 e Ay = 0). As regras de multiplicação de matriz fornecem A(x + y) = As regras também fornecem A (cx) = c0. Os lados direitos ainda são zero. Portanto, x + y e cx também estão no espaço nulo N (A). Uma vez que podemos somar e multiplicar sem deixar o espaço nulo, ele é um subespaço. Repetindo: Os vetores solução x possuem n componentes. Eles são vetores em R n, de modo que o espaço nulo é um subespaço de R n. O espaço coluna C (A) é um subespaço de R m. Se o lado direito b não é zero, as soluções de Ax = b não formam um subespaço. O vetor x = 0 é apenas uma solução se b = 0. Quando o conjunto de soluções não inclui x = 0, ele não pode ser um subespaço. A Seção 3.4 mostrará como as soluções para Ax = b (se houver quaisquer soluções) são desviadas da origem por uma solução especial. Exemplo 1 A equação x+2y+3z = 0 vem da matriz A 1 por 3 = [1 2 3]. Esta equação produz um plano através da origem. O plano é um subespaço de R 3. Ele é o espaço nulo de A. As soluções para x+2y+3z = 6 também formam um plano, mas não um subespaço. Exemplo 2 Descreva o espaço nulo de. Solução Aplique eliminação às equações lineares Ax = 0: Na verdade, há somente uma equação. A segunda equação é a primeira multiplicada por 3. No gráfico das linhas, a linha x 1 + 2x 2 = 0 é a mesma que a linha 3x 1 + 6x 2 = 0. Aquela linha é o espaço nulo N (A). Para descrever esta linha de soluções, a maneira eficiente é adicionar um ponto a ela (uma solução especial). Então, todos os pontos na linha são múltiplos desse. Escolhemos que a segunda componente seja x 2 = 1 (uma escolha especial).

2 12 Capítulo 3 Espaços e Subespaços de Vetor A partir da equação x 1 + 2x 2 = 0, o primeiro componente deve ser x 1 = -2. Então, a solução especial produz o espaço nulo total: O espaço nulo N(A) contém todos os múltiplos de s =. Esta é a melhor maneira de descrever o espaço nulo, computando-se soluções especiais para Ax = 0. O espaço nulo consiste em todas as combinações dessas soluções especiais. Este exemplo tem uma solução especial e o espaço nulo é uma linha. Para o plano no Exemplo 1 há duas soluções especiais: tem as soluções especiais e. Esses vetores s 1 e s 2 ficam no plano x+2y+3z = 0, que é o espaço nulo de A = [1 2 3]. Todos os vetores no plano são combinações de s 1 e s 2. Observe o que é especial sobre s 1 e s 2 neste exemplo. Eles possuem uns e zeros nos últimos dois componentes. Esses componentes são livres e nós os escolhemos em especial. Então, os primeiros componentes 2 e 3 são determinados pela equação Ax = 0. A primeira coluna de A = [1 2 3] contém o pivô, de modo que o primeiro componente de x não é livre. Nós somente fazemos uma escolha especial (um ou zero) das componentes livres que correspondem às colunas sem pivôs. Esta descrição de soluções especiais será completada após mais um exemplo. Exemplo 3 Descreva os espaços nulos dessas três matrizes: e e Solução A equação Ax = 0 tem somente a solução zero x = 0. O espaço nulo é Z, contendo somente o ponto único x = 0 em R 2. Para visualizar, usamos eliminação: resulta em e. A matriz quadrada A é inversível. Não há soluções especiais. O único vetor em seu espaço nulo é x = 0. A matriz retangular B tem o mesmo espaço nulo Z. As primeiras duas equações em Bx = 0 novamente exigem x = 0. As duas últimas equações também forçariam x = 0. Quando adicionamos mais equações, o espaço nulo certamente não pode se tornar maior. Quando acrescentamos linhas extra à matriz, estamos impondo mais condições nos vetores x no espaço nulo. A matriz retangular C é diferente. Ela tem colunas extra em vez de linhas extra. O vetor solução x tem quatro componentes.

3 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 13 A eliminação produzirá pivôs nas primeiras duas colunas, mas as duas últimas colunas não pivôs são livres : se transforma em colunas pivô colunas livres Para as variáveis livres x 3 e x 4 fazemos as escolhas especiais de uns e zeros. Então as variáveis de pivô x 1 e x 2 são determinadas pela equação Ux = 0. Chegamos a duas soluções especiais nos espaços nulos de C (e também o espaço nulo de U). As soluções especiais são: e variáveis pivô variáveis livres Um comentário a mais para antecipar o que virá. A eliminação não vai parar na triangular superior U!. Vamos continuar a simplificar esta matriz, de duas maneiras: 1. Produzir zeros acima dos pivôs por eliminação para cima. 2. Produzir uns nos pivôs por divisão da linha inteira por seu pivô. Esses passos não alteram o vetor zero no lado direito da equação. O espaço nulo permanece o mesmo. Esse espaço nulo se tornará fácil de ver quando atingirmos a forma escalonada reduzida por linhas R: se torna colunas pivô contêm I Subtrai a linha 2 de U da linha 1 e então multipliquei a linha 2 por. As duas equações originais foram simplificadas para x x3 = 0 e x 2 + 2x 4 = 0. Essas são as equaçõesrx = 0 com a matriz identidade na coluna de pivôs. As soluções especiais ainda são as mesmas s 1 e s 2. Elas são mais fáceis de serem encontradas a partir do sistema reduzido Rx = 0. Antes de passarmos às matrizes A m por n e seus espaços nulos N (A) e às soluções especiais no espaço nulo, vamos repetir um comentário. Para muitas matrizes, a única solução para Ax = 0 é x = 0. Seus espaços nulos contêm somente aquele vetor único x = 0. A única combinação das colunas que produz b = 0 é então a combinação zero ou combinação trivial. A solução é trivial (apenas x = 0) mas a idéia não é trivial.

4 14 Capítulo 3 Espaços e Subespaços de Vetor Este caso de um espaço nulo Z zero é da maior importância. Ele diz que as colunas de A são independentes. Nenhuma combinação de colunas resulta no vetor zero, exceto a combinação zero. Todas as colunas possuem pivôs e nenhuma coluna é livre. Você verá essa idéia de independência novamente... Resolvendo Ax = 0 por Eliminação Isso é importante. Resolvemos m equações em n incógnitas e os lados direitos são todos zero. Os lados esquerdos são simplificados por operações- linha, após o que lemos a solução (ou soluções). Lembre-se dos dois estágios para resolução de Ax = 0: 1. Eliminação direta em A para produzir uma triangular U (ou sua forma reduzida R). 2. Retro-Substituição em Ux = 0 ou Rx = 0 para encontrar x. Observaremos uma diferença na retro-substituição, quando A e U possuem menos que n pivôs. Estamos permitindo todas as matrizes neste capítulo, não só as agradáveis (que são matrizes quadradas com inversas). Os pivôs ainda são diferentes de zero. As colunas abaixo dos pivôs ainda são zero. Mas poderia acontecer de a coluna não ter pivô. Nesse caso, não interrompa o cálculo. Passe para a coluna seguinte. O primeiro exemplo é uma matriz 3 por 4: Certamente a 11 = 1 é o primeiro pivô. Elimine o 2 e o 3 abaixo daquele pivô: (subtrair 2 x linha 1) (subtrair 3 x linha 1) A segunda coluna tem um zero na posição do pivô. Buscamos uma matriz diferente de zero abaixo do zero, pronta para fazer uma troca de linha. A entrada abaixo daquela posição também é zero. A eliminação não pode fazer nada com a segunda coluna. Isso sinaliza dificuldades, que esperamos de qualquer forma para uma matriz retangular. Não há razão para desistir, e prosseguimos para a terceira coluna. O segundo pivô é 4 (mas está na terceira coluna). Subtraindo-se a linha 2 da linha 3, estaremos eliminando aquela coluna abaixo do pivô. Chegamos a: (somente dois pivôs) (a última equação se torna 0 =0)

5 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 15 A quarta coluna também tem um zero na posição do pivô mas nada pode ser feito. Não há linha abaixo dela para trocar, e a eliminação direta está completa. A matriz tem três linhas, quatro colunas e somente dois pivôs. A Ax = 0 parecia envolver três equações diferentes, mas a terceira equação é a soma das duas primeiras. Ela é automaticamente satisfeita (0 = 0) quando as primeiras duas equações são satisfeitas. A eliminação revela a verdade interna sobre um sistema de equações. Agora chegamos à retro-substituição (backward) para encontrar todas as soluções para Ux = 0. Com quatro incógnitas e somente dois pivôs, há muitas soluções. A questão é como registrar todas elas. Um bom método é separar as variáveis pivô das variáveis livres. P As variáveis pivô são x 1 e x 3 uma vez que as colunas 1 e 3 contêm pivôs. F As variáveis livres são x 2 e x 4 pois as colunas 2 e 4 não possuem pivôs. As variáveis livres x 2 e x 4 podem receber quaisquer valores. Então a retro-substituição encontra as variáveis pivô x 1 e x 4. (No Capítulo 2 nenhuma variável era livre). Quando A é inversível, todas as variáveis são pivô). As escolhas mais simples para as variáveis livres são uns e zeros. Essas escolhas resultam em soluções especiais. Soluções Especiais - Conjunto x 2 = 1 e x 4 = 0. Por retro-substituição x 3 = 0 e x 1 = Conjunto x 2 = 0 e x 4 = 1. Por retro-substituição x 3 = -1 e x 1 = -1. Essas soluções especiais resolvem Ux = 0 e portanto Ax = 0. Elas estão no espaço nulo. E o melhor de tudo: toda solução é uma combinação das soluções especiais. Solução Completa x = = especial especial completa Observe novamente essa resposta. Ela é o objetivo principal desta seção. O vetor s 1 = (-1, 1,0,0) é a solução especial quando x 2 = 1 e x 4 = 0. A segunda solução especial tem x 2 = 0 e x 4 = 1. Todas as soluções são combinações lineares de s 1 e s 2. As soluções especiais estão no espaço nulo N (A) e suas combinações preenchem todo esse espaço. O código nulbasis do MATLAB calcula essas soluções especiais. Elas vão para as colunas de uma matriz de espaço nulo N. A solução completa para Ax = 0 é a combinação dessas colunas. Uma vez que temos as soluções especiais, teremos todo o espaço nulo. Existe uma solução especial para cada variável livre. Se não houver variáveis livres o que significa existência de n pivôs então a única solução para Ux = 0 e Ax = 0 será a solução trivial x = 0.

6 16 Capítulo 3 Espaços e Subespaços de Vetor Todas as variáveis são variáveis pivô. Nesse caso os espaços nulos de A e U contêm somente o vetor zero. Sem variáveis livres, e pivôs em todas as colunas, o resultado do nulbasis será uma matriz vazia. Exemplo 4 encontre o espaço nulo de A segunda coluna de U não tem pivô. Assim, x 2 é livre. A solução especial tem x 2 = 1. A retro-substituição em 9x 3 = 0 resulta em x 3 =0. Então x 1 + 5x 2 = 0, ou x 1 = -5. As soluções para Ux = 0 são múltiplos de uma solução especial: O espaço nulo de U é uma linha em R 3. Ele contém múltiplos da solução especial. Uma variável é livre, e N = nulbasis (U) tem uma coluna. Em um minuto continuaremos a eliminação em U, para obtermos zeros acima dos pivôs e uns nos pivôs. O 7 é eliminado e o pivô muda de 9 para 1. O resultado final dessa eliminação será R: reduz para Com isso, fica ainda mais claro que a solução especial é s = (-5, 1, 0). Matrizes Escalonadas A eliminação direta vai de A até U. O processo se inicia com uma matriz A m por n. Ela atua por operações de linha, incluindo troca de linhas, e prossegue para a próxima coluna quando não houver pivôs na coluna atual. A escada m por n U é uma matriz escalonada. Eis uma matriz escalonada 4 por 7 com três pivôs destacados em negrito: Três variáveis pivô x 1, x 2, x 6 Quatro variáveis livres x 3, x 4, x 5, x 7 Quatro soluções especiais em N (U) Pergunta Qual é o espaço coluna e o espaço nulo para essa matriz? Resposta As colunas possuem quatro componentes de modo que ficam em R 4. (Não em R 3!). O quarto componente de cada coluna é zero. Cada combinação das colunas cada vetor no espaço coluna tem um quarto componente zero. O espaço coluna C (U) consiste em todos os vetores da forma (b 1, b 2, b 3, 0). Para esses vetores, podemos resolver Ux = 0 por retro-substituição (backward). Esses vetores b são todos combinações possíveis das sete colunas. O espaço nulo N (U) é um subespaço de R 7. As soluções para Ux = 0 são todas as combinações das quatro soluções especiais uma para cada variável livre:

7 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = As colunas 3, 4, 5 e 7 não possuem pivôs. Assim, as variáveis livres são x 3, x 4, x 5, x Defina uma variável livre para 1 e as demais variáveis livres para zero. 3. Resolva Ux = 0 para as variáveis x 1, x 2, x O resultado será uma das quatro soluções especiais na matriz N de espaço nulo. As linhas diferentes de zero de uma matriz escalonada vêm primeiro. Os pivôs são as primeiras entradas diferentes de zero nessas linhas, e vão descendo em padrão escalonado. As operações normais de linha (no Código de Ensino plu) produzem uma coluna de zeros abaixo de cada pivô. A contagem dos pivôs leva a um teorema extremamente importante. Suponha que A tenha mais colunas que linhas. Com n > m haverá pelo menos uma variável livre. O sistema Ax = 0 tem pelo menos uma solução especial. Essa solução não é zero! 3B Se Ax = 0 tem mais incógnitasque equações (A tem mais colunas que linhas), então a equação terá soluções diferentes de zero. Em outras palavras, uma matriz gorda e baixa (n > m) sempre tem vetores diferentes de zero em seu espaço nulo. Deve haver pelo menos n m variáveis livres, uma vez que o número de pivôs não pode exceder m. (A matriz só tem m linhas, e uma linha nunca tem dois pivôs). É claro que uma linha poderá não ter pivôs o que significa uma variável livre extra. Mas aqui está a questão: Quando há uma variável livre, ela pode ser definida como 1. Então a equação Ax = 0 tem uma solução diferente de zero. Repetindo: Há no máximo m pivôs. Com n < m, o sistema Ax = 0 tem uma variável livre e uma solução diferente de zero. Na verdade, há uma infinidade de soluções, uma vez que qualquer múltiplo cx também é uma solução. O espaço nulo contém pelo menos uma linha de soluções. Com duas variáveis livres, há duas soluções especiais e o espaço nulo é até maior. O espaço nulo é um subespaço. Sua dimensão é o número de variáveis livres. Essa idéia central a dimensão de um subespaço é definida e explicada neste capítulo. A Matriz Escalonada Reduzida R A partir da matriz U escalonada podemos prosseguir mais um passo. Continuemos a partir de Podemos dividir a segunda linha por 4. Então ambos os pivôs serão iguais a 1. Podemos subtrair 2 vezes essa nova linha [ ] da linha acima. Isso produz um zero acima e abaixo do segundo pivô. A matriz escalonada reduzida será

8 18 Capítulo 3 Espaços e Subespaços de Vetor R tem 1 como pivôs e zero nos demais locais nas colunas de pivô. Os zeros acima dos pivôs resultam da eliminação para cima. Se A é inversível, sua forma escalonada reduzida é a matriz identidade R = 1. Isso é o máximo em redução por linhas. Os zeros em R facilitam o encontro de soluções especiais (o mesmo que antes): 1. Conjunto x 2 = 1 e x 4 = 0. Resolva Rx = 0. Então x 1 = -1 e x 3 = Conjunto x 2 = 0 e x 4 = 1. Resolva Rx = 0. Então x 1 = -1 e x 3 = -1. Os números 1 e 0 estão na coluna 2 de R (com sinais +). Os números 1 e 1 estão na coluna 4 (com sinais +). Revertendo-se os sinais poderemos obter as soluções especiais da matriz R. A solução geral para Ax = 0 ou Ux = 0 ou Rx = 0 será a combinação dessas duas soluções especiais: O espaço nulo N (A) = N (U) = N (R) contém (solução completa de Ax = 0). A próxima seção do livro prossegue firmemente de U para R. O comando [R, pivcol] = rref(a) do MATLAB produz R e também uma lista das colunas de pivô. REVISÃO DAS IDÉIAS PRINCIPAIS 1. O espaço nulo N (A) contém todas as soluções de AX = A eliminação produz uma matriz escalonada U, ou uma linha reduzida R, com colunas pivô e colunas livres. 3. Cada coluna livre leva a uma solução especial para Ax = 0. A variável livre é igual a 1 e as demais variáveis livres são iguais a zero. 4. A solução completa de Ax = 0 é uma combinação das soluções especiais. 5. Se n > m então A tem pelo menos uma coluna sem pivôs, dando uma solução especial. Assim, há vetores x diferentes de zero no espaço nulo dessa A.