de fevereiro de 2002

Transcrição

1 de fevereiro de 2002 A Geometria de Programas Lineares - a geometria de LPs ilustrada em GTC Distribuir: Anotações da Aula 1

2 Mas, primeiro, o problema de Pigskin (de Ciência de Gerenciamento Prático) A empresa Pigskin fabrica bolas de futebol Todos os dados a seguir são para milhares de bolas Previsão de demanda para os próximos seis meses - 10, 15, 30, 25 e 10 Inventário atual de bolas de futebol: 5 Capacidade máxima de produção: 30 por mês Capacidade máxima de estoque: 10 por mês Custo de Produção por bola nos próximos seis meses - $12,50, $12,55, $12,70, $12,80, $12,85, $12,95 Custo para manter o produto em estoque ( hoding cost ): $0,60 por bola de futebol por mês Com seu colega: escreva uma LP para descrever o problema 2

3 Sobre a formulação Escolha as variáveis de decisão. - Assuma que x j = número de boas de futebol produzidas no mês j (em milhares) - Assuma que y j = número de bolas de futebol mantidas em estoque do ano j para o ano j + 1. (em milhares) - y 0 = 5 Em seguida, escreva as restrições e o objetivo. 3

4 Dados para o Problema GTC Chaves Inglesas Alicates Disponíveis Aço 1,5 1, libras Máquina de Moldar 1,0 1, hs Máquina de Montagem 0,4 0, hs Limite de Demanda Contribuição $0,40 0,30 ($ por unidade) Queremos determinar o número de chaves inglesas e alicates a serem produzidos, em função das matérias-primas disponíveis, horas de máquina e demanda. 4

5 Formulando o Problema GTC P = número de alicates fabricados (em milhares) W = número de chaves inglesas fabricadas (em milhares) Maximize Lucro = Aço: Moldagem: Montagem: 300P W P + 1,5 W 15 P + W 12 0,5 P + 0,4 W 5 Demanda de Alicate: Demanda de Chave Inglesa: Não-negatividade: P 10 W 8 P,W 0 5

6 Colocando a Região Viável em um Gráfico Iremos construir e sombrear a região viável com uma ou mais restrições por vez. 6

7 Colocando a Região Viável em um Gráfico Faça um gráfico com a restrição: 7

8 Colocando a Região Viável em um Gráfico Faça um gráfico com a restrição: 8

9 Colocando a Região Viável em um Gráfico Faça um gráfico com a restrição: O que aconteceu com a restrição: 9

10 Colocando a Região Viável em um Gráfico Faça um gráfico com a restrição: W 8, e P 10 10

11 Como encontramos uma solução ótima? Maximize z = 400W + 300P Há uma solução viável com z = 1200? 11

12 Como encontramos uma solução ótima? Maximize z = 400W + 300P Há uma solução viável com z = 2400? Há uma solução viável com z = 3600? 12

13 Como encontramos uma solução ótima? Maximize z = 400W + 300P Você consegue ver qual será a solução ótima? 13

14 Como encontramos uma solução ótima? Maximize z = 400W + 300P O que caracteriza a solução ótima? Qual é o vetor de solução ótima? W =? P =? Qual é seu valor de solução? z=? 14

15 Estrutura da Solução Ótima Restrição Agrupada Maximize z = 400W + 300P 1,5W + P 15 0,4W + 0,5P 5 mais outras restrições Diz-se que uma restrição é agrupada se ela se mantém com igualdade na solução ótima. As outras restrições são não-agrupadas 15

16 Como encontramos uma solução ótima? As soluções ótimas ocorrem em pontos extremos. Em duas dimensões, essa é a interseção de 2 linhas. Maximize z = 400W + 300P 1,5W + P = 15 0,4W + 0,5P = 5 Solução: 0,7W = 5, W = 50/7 P = 15 75/7 = 30/7 z = /7 = /7 16

17 Encontrando uma solução ótima em duas dimensões: Resumo A solução ótima (se houver uma) ocorre em um corner point da região viável. Em duas dimensões com todas as restrições de desigualdade, um corner point é uma solução na qual duas (ou mais) restrições são agrupadas. Há sempre uma solução ótima que é uma solução de corner point (se houver uma região viável). Mais de uma solução pode ser ótima em algumas situações. 17

18 Prévia sobre o Algoritmo Simplex Em dimensões n, não é possível avaliar o valor de solução de cada ponto extremo de forma eficiente (existem muitos). O método simplex encontra a melhor solução por meio de uma técnica de busca de vizinhança. Dois corner points viáveis são considerados adjacentes se tiverem uma restrição agrupada em comum. 18

19 Prévia sobre o Algoritmo Simplex Maximize z = 400W + 300P Comece em qualquer ponto extremo viável. Vá para um ponto extremo adjacente com melhor valor objetivo. Continue até que nenhum ponto extremo adjacente tenha melhor valor objetivo. 19

20 Prévia da Análise de Sensibilidade Suponha que a demanda de alicate seja reduzida a 10 - D. Qual é o impacto sobre o valor da solução ótima? O preço-sombra de uma restrição é o aumento unitário no valor objetivo ótimo por aumento unitário no RHS da restrição.suponha que a demanda de alicate seja reduzida a 10 - D. Fazer uma pequena mudança no RHS de uma restrição nãoagrupada não tem impacto. O preço-sombra da restrição é 0. 20

21 Prévia da Análise de Sensibilidade Suponha que haja um pouco mais de aço disponível? 1,5W + P 15 + D Qual é o impacto sobre o valor de solução ótima? 21

22 Mudando uma Restrição O aço aumenta para O que acontece com a solução ótima? O que acontece com o valor da solução ótima? 22

23 Mudando uma Restrição O aço aumenta para O que acontece com a solução ótima? O que acontece com o valor da solução ótima? 23

24 Encontrando a Nova Solução Ótima Maximize z = 400W + 300P Restrições 1,5W + P = 15 + D Agrupadas: 0,4W + 0,5P = 5 Solução: W = 50/7 + (10/7)D P = 30/7 8/7D z = /7 + (1.600/7)D Conclusão: Se a quantidade de aço aumenta em D unidades (para D suficientemente pequeno), então o valor objetivo ótimo aumenta em (1.600/7)D. O preço-sombra de uma restrição é o aumento unitário no valor objetivo ótimo por aumento unitário no RHS da restrição. Assim, o preço-sombra do aço é 1.600/7 = 228 4/7. 24

25 Algumas Perguntas sobre Preços-Sombras Suponha que a quantidade de aço tenha diminuído em D unidades. Qual é o impacto sobre o valor objetivo ótimo? Quão grande pode ser o aumento da disponibilidade de aço de forma que o preço-sombra permaneça em 228/7? Suponha que o aço se torne disponível a $1.200 por tonelada. Você compraria o aço? Suponha que você pudesse comprar uma tonelada de aço por $450. Você compraria o aço? (Assuma aqui que esse é o valor de mercado correto para o aço.) 25

26 Mudando uma Restrição O aço aumenta para 15 + D O que acontece com a solução ótima? Lembre-se de que W < 8. A estrutura da solução ótima muda quando D = 0,6, e W aumenta para 8 26

27 Mudando um Coeficiente de Custo O objetivo é: Maximizar z = 400W + 300P O que acontece com a solução ótima se 300P é substituído por (300+d)P? Quão grande pode ser d para que sua resposta permaneça correta? 0,4W + 0,5P = 5 27

28 Resumo: Geometria 2-D ajuda a orientar a intuição A Geometria da Região Viável - Colocando as restrições e gráficos Encontrando uma solução ótima - Método gráfico - Buscando todos os pontos extremos - Método Simplex Análise de Sensibilidade - Mudando o RHS - Mudando os Coeficientes de Custo 28