étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

2 Uso da Decomposição Refinamentos de soluções e cálculo da matriz inversa. 2

3 Uso da Decomposição As decomposições LU e de Cholesky são utilizadas para: Resolver sistemas de equações lineares. Calcular o determinante de uma matriz. Refinamento da solução de sistemas. Cálculo da matriz inversa. 3

4 Uso da Decomposição Os métodos exatos deveriam fornecer, com um número finito de operações, a solução exata do sistema linear. Entretanto, devido aos erros de arredondamento obtém-se, em geral, soluções aproximadas, que devem ser refinadas por um processo numérico. Refinamento da Solução: Seja x 0 : solução aproximada de Ax = b calculada por decomposição LU com pivotação parcial Fatores L e U perdem exatidão (erros de arredondamento). Solução melhorada c 0 : vetor de correção e 4

5 Uso da Decomposição A parcela de correção c 0 é a solução do sistema Ac 0 = r 0 : e Melhor aproximação c 1 : solução de Ac 1 = r 1 obtida por LUc 1 = Pr 1. Esquematicamente Exemplo: Resolver o sistema e refinar a solução até que: 5

6 Uso da Decomposição Decomposição LU com pivotação parcial: Cálculo de x 0 : e 6

7 Uso da Decomposição Refinamento da solução: Final do refinamento: 7

8 Uso da Decomposição Cálculo da Matriz inversa: A matriz inversa satisfaz a: V = A -1 : usado para simplificar a notação. Cálculo de V pela solução dos n sistemas: v i e e i i-ésima coluna da matriz inversa e identidade, respectivamente. Como a matriz dos coeficientes é a mesma para os n sistemas deve ser feita a decomposição de A usando LL T se A for simétrica definida positiva ou LU se A for não simétrica. Os n vetores v i que compõem a inversa são calculados 8 utilizando substituições sucessivas e retroativas.

9 Uso da Decomposição Exemplo: Calcular a inversa da matriz: Como A é simétrica usar: Decomposição de Cholesky: Coluna 1: 9

10 Coluna 2: Uso da Decomposição Coluna 3: 10

11 Matriz Inversa: Uso da Decomposição 11

12 Métodos indiretos para resolução de SL Solução exata obtida através de um número infinito de operações. 12

13 Ao lado dos métodos exatos para resolver sistemas lineares, existem os métodos iterativos. Em certos casos, tais métodos são melhores do que os diretos, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos iguais a zero). Eles ainda são mais econômicos no sentido que utilizam menos memória do computador. Além disso, possuem a vantagem de se auto corrigir se um erro é cometido. Podem também, sob certas condições, serem aplicados para resolver um conjunto de equações não lineares. Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximantes da solução, cada uma das quais obtida das anteriores. Um método iterativo é estacionário se cada aproximante é obtida da anterior sempre pelo mesmo processo. 13

14 Um SL Ax = b pode ser resolvido por um processo que consiste em: Gerar, a partir de x 0, uma sequência de vetores: Este é um processo iterativo (PI ou MI) pois uma série de operações é repetida várias vezes. Seja M a matriz de iteração e c um vetor constante, tal que: MI é dito estacionário quando a matriz M for fixa (não sofre alteração durante o processo). MIE : Jacobi e Gauss-Seidel. 14

15 Condição de convergência: Teorema (Condição necessária): O MI x k+1 = Mx k + c converge com qualquer valor inicial x 0 se, e somente se, (M) < 1, sendo (M) o raio espectral (maior autovalor em módulo) da matriz de iteração M. A determinação de (M) pode requerer maior esforço computacional que a solução do sistema Ax = b. Assim os MI utilizam outros métodos para prever a convergência. Teorema (Condição suficiente): É condição suficiente para a convergência dos MI de Jacobi e Gauss-Seidel que a matriz dos coeficientes A seja diagonal estritamente dominante, ou seja, Pelos Teoremas pode-se verificar que a convergência não depende de x 0. 15

16 Critério de parada: Solução exata: o MI é repetido um número finito de vezes. Na prática o processo deve ser interrompido quando algum critérios de parada for satisfeito, por exemplo: ou = tolerância e k max = número máximo de iterações. Adotando-se a norma- : 16

17 Método de Jacobi: Decompor a matriz A, tal que: D: matriz diagonal e E e F: matrizes triangulares inferior e superior com diagonais nulas. Sistema linear Ax = b escrito na forma: Essa igualdade pode ser convertida em processo iterativo: Matriz de iteração do método de Jacobi 17

18 Forma análoga de dedução: Escrever o SL na forma: Explicitar x i na i-ésima equação. Escrevendo na forma de iteração tem-se as equações de iterações do método de Jacobi: 18

19 Na forma matricial: Uma das vantagens do MI é que a convergência independe do vetor inicial x 0. Usualmente faz-se x 0 =0 o que gera: 19

20 Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com: O processo convergirá pois a matriz dos coeficientes é diagonal estritamente dominante, isto é: Equações de iteração: e 20

21 Vetor inicial: Coordenadas do vetor da primeira iteração: 21

22 Critério de parada: 22

23 Resultados: Vetor solução: 23

24 Exemplo: Resolver o SL pelo método de Jacobi com: Matriz diagonal estritamente dominante: Equações de iteração: e 24

28 Método de Gauss-Seidel: Decompor a matriz A, tal que: D: matriz diagonal e E e F: matrizes triangulares inferior e superior com diagonais nulas. Sistema linear Ax = b escrito na forma: Na forma de iteração: Matriz de iteração do método Gauss-Seidel 28

29 Forma análoga de dedução: Escrever o SL na forma: Explicitar x i na i-ésima equação. Equações de iterações do método de Gauss-Seidel: Mesmo vetor inicial de Jacobi: 29

38 Análise de Convergência: Seja o erro k na k-ésima iteração: x: solução exata e x k : solução aproximada. Sendo i um autovalor da Matriz de iteração M e v i o seu correspondente auto vetor: se, e somente se, Taxa de convergência controlada por 38

39 Comparação dos Métodos Iterativos: Seja Ax=b Matriz A não é diagonalmente dominante. Matrizes de iteração dos dois métodos: A solução não converge para o método de Jacobi e converge pelo 39 método de Gauss- Seidel.

40 Seja Ax=b Matriz A não é diagonalmente dominante. Matrizes de iteração dos dois métodos: A solução converge para o método de Jacobi e não converge pelo método de Gauss- Seidel. Quanto menor o raio espectral mais rápda é a convergência. 40

41 Análise de Erro na Resolução de SL 41

42 Análise e Erro na Solução de SL É importante verificar como pequenas variações nos elementos da matriz dos coeficientes ou no vetor dos termos independentes influencia a solução do SL. Malcondicionamento: Seja o SL Ax=b e solução exata: Seja Vetor: A solução exata de é Uma pequena modificação no vetor de temos independentes causou uma grande modificação no vetor solução. 42

43 Análise e Erro na Solução de SL Considere agora a matriz: A solução exata de é Uma pequena modificação na matriz de coeficiente causou uma grande modificação no vetor solução. Esse problemas são causados porque A é quase singular: Sistemas desse tipo são chamados mal condicionados. 43

44 Análise e Erro na Solução de SL Três planos definidos por um sistema linear. Dois planos são quase coincidentes. Pequenas variações em qualquer dos três planos causa um grande deslocamento no ponto de interseção, que é a solução do SL. 44

45 Análise e Erro na Solução de SL Problemas de malcondicionamento: (sensibilidade à pequenas mudanças no sistema). A Solução exata de Ax = b é x = [1 1] T. Resíduo para Apesar de Quando a solução for quase exata o resíduo é pequeno, porém a recíproca não é verdadeira. Logo o resíduo não é bom indicador de exatidão de x para SL malcondicionado. Grande problema: instabilidade da solução. A e/ou b podem ser medidas experimentais. 45

46 Análise e Erro na Solução de SL Número de Condição: O Malcondicionamento é devido a quase singularidade da matriz de coeficientes. Porém, medir a singularidade de A por det(a) não constitui uma boa prática. det(a) 0 pode não indicar necessariamente a ocorrência de um malcondicionamento. Número de condição da matriz é definido como = uma norma matricial qualquer. O valor de k(a) depende da norma utilizada. 46

47 Análise e Erro na Solução de SL Por exemplo: Desde que: Um sistema Ax = b é malcondicionado se k(a) >> 0. max é o maior autovalor de A em modulo max e o maior valor singular de A, ou seja, raiz quadrada do maior autovalor em modulo da matriz A T A). 47

48 Análise e Erro na Solução de SL Calcular k 2 (A) e k 2 (B) para: Pela definição de k 2 (A) A: sistema linear malcondicionado. B: sistema bemcondicionado. 48

49 Análise e Erro na Solução de SL Sensibilidade da Solução: Seja o SL Ax = b e uma perturbação b em b. A Modificação x na solução x = A -1 b satisfaz Pelas propriedades das normas consistentes tem-se: Combinando: e Essa solução fornece o limite superior ao erro relativo na solução x devido a perturbação. Quanto mais malcondicionando um SL maior será o erro relativo na solução. 49

50 Análise e Erro na Solução de SL Exemplo: Seja Ax = b com: Sejam: O limite superior ao erro em termos da norma-2 é: Com b, x variou de [1 1] T para [100-99] T significando: 50

51 Análise e Erro na Solução de SL Considerando que, na realidade o erro relativo cometido foi: Está dentro do limite previsto. 51

52 Análise e Erro na Solução de SL Perturbação em A: Seja: Tomando as normas consistentes tem-se: Maior malcondicionamento de Ax = b, maior a influência de A em A na solução x. 52

53 Análise e Erro na Solução de SL Exemplo: Seja Ax = b com: Sejam: Erro relativo em termos da norma-2 é: Com A, x variou de [1 1] T para [2 1/99] T. Assim a variação na solução foi: 53

54 Análise e Erro na Solução de SL Erro real relativo: Está dentro do limite previsto. 54

55 Referencias Bibliográficas 1. Aderito Luis Martins Araujo, Analise Numerica Engenharias Mecânica e de Materiais. 2. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos. 55