MATEMÁTICA FINANCEIRA. Capítulo 3 Juros Compostos. Prof. Msc. Roberto Otuzi de Oliveira. Três objetivos do capítulo

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Msc. Roberto Otuzi de Oliveira Capítulo 3 Juros Compostos Três objetivos do capítulo Entender operações com juros compostos Saber usar a equivalência de taxas Compreender as operações com equivalência de capitais 1

2 Capitalização Composta No Regime de Capitalização composta (juros compostos), os juros de um período são incorporados ao capital para cálculo do período seguinte. Diz-se, assim, que os juros são capitalizados (somados ao capital) e passam a gerar novos juros no período seguinte, resultando no que se denomina juros sobre juros. Como os juros de cada período são apurados a partir do valor inicial capitalizado, ou seja, acrescido dos juros acumulados até o período anterior, pode-se inferir que os rendimentos serão crescentes para uma mesma aplicação ou um mesmo investimento. Conceito de juros compostos Juros sempre sobre o MONTANTE ANTERIOR Preste atenção!!! Empréstimo Valor atual na data zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p. Considere juros compostos 2

3 Juros compostos Juros compostos sempre n Juros VF Fórmula 0-100,00 VF=VP 10% x $100 incidem sobre montante 1 10,00 110,00 VF=VP (1+i) 2 10% x $110 11,00 121,00 VF=VP (1+i) (1+i) n i.vf ant VF VF=VP (1+ i) n Uma constatação Juros sobre montante Montante inclui juros Juros sobre juros Características dos compostos Juros incidem sobre juros Valor futuro cresce exponencialmente Capitalização Exponencial Valor Futuro VP Tempo 3

4 Compostos superam simples? Valor Futuro Juros simples maiores que compostos VP Juros compostos maiores que simples N = 1 Tempo Fórmula dos juros compostos Para calcular o Valor Futuro: VF=VP (1+ i) n Expoente! Fórmulas dos juros compostos VF VP 1 i n VF VP 1 i i n n 1 n VF VF 1 VP VP 1 VF ln VP n ln(1 i) 4

5 Calculando Um investidor aplicou $ 4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do resgate. i = 8% a.m. VF meses VF = VP (1+i) n VF = 4000 (1+0,08) 6 VF = $ 6.347,50 Para facilitar as contas Recurso auxiliar de cálculos pode ser empregado Calculadora HP12C Juros compostos na HP 12C 5

6 Funções financeiras da HP 12C [n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal Configurando a HP 12C Ative o flag C!!! C Para ativar 6

7 Na HP 12C i = 8% a.m. VF 0 6 meses f Reg 4000 CHS PV 6 n 8 i [FV] $6.347,50 Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses i = 4% a.m. VF 5 meses VF = VP (1+i) n VF = 5000 (1+0,04) 5 VF = $ 6.083,27 [f] [Reg] 5000 [CHS] [PV] 5 [n] 4 [i] [FV] Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 550,00 feita por 4 meses a uma taxa de 20% ao ano? i = 20% a.a. VF 4 meses [f] [Reg] 550 [CHS] [PV] 4 [ENTER] 12 : [n] 20 [i] [FV] 584,46 7

8 Qual o valor presente obtido para um valor futuro igual a R$ 800,00 no ano 4 a uma taxa igual a 8% a.a.? [f] [Reg] 800 [FV] 4 [n] 8 [i] [PV] -588,02 Um investimento de R$ ,00 por 6 meses rendeu R$ ,00 de juros. Calcule a taxa a que este capital estava aplicado. Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo dessa operação. 8

9 Equivalência de Capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais. (mesmo conceito em juros simples) Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. Pagará uma entrada de $8.000,00. Pagará $14.000,00 em 30 dias. Pagará X em 60 dias. Taxa composta igual a 3% a.m. Calcule o valor de X. $30.000, $8.000,00 -$14.000,00 -X Taxa composta igual a 3% a.m. $22.000,00 $30.000, $23.339, $14.000,00 -X $14.420,00 $8.919,80 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+i) n VF = (1+0,03) 2 VF = $23.339,80 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+i) n VF = (1+0,03) 1 VF = $14.420,00 9

10 Uma loja anuncia um produto a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros compostos, iguais a 4%, calcule o valor de X. Resolução $500,00 i = 4% a.m. (JC) X -X Descapitalizando X 1 VF = VP (1+i) n VP = VF / (1+i) n VP = X / (1+0,04) 1 VP = 0,9615.X Descapitalizando X 2 VF = VP (1+i) n VP = VF / (1+i) n VP = X / (1+0,04) 2 VP = 0,9246.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10 Taxa efetiva Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. s: 2% ao mês, capitalizados mensalmente; 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 12% ao ano, capitalizados anualmente. 10

11 Taxa nominal Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. s: 24% ao ano, capitalizados mensalmente; 12% ao trimestre, capitalizados mensalmente. Taxa nominal Taxas de juros apresentadas em uma unidade, porém capitalizadas em outra No Brasil, caderneta de poupança 6% a. a., capitalizada mensalmente 0,5% a. m. Nominal Equivalência de taxas Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. ieq = {[(1+ic) (Q/T) ]-1}x100 Onde: i eq = taxa equivalente i c = taxa conhecida Q = Quanto eu Quero (em dias) T = Quanto eu Tenho (em dias) 11

12 Para obter a taxa efetiva anual, é preciso aplicar o conceito de equivalência de taxas no mecanismo de juros compostos. i = 0,5% a. m. = % a.a.? ieq = {[(1+ic) (Q/T) ]-1}x100 i = 6,17% a.a. Efetiva Não se faz conta com Taxa Nominal. Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva. Calcular a taxa de juro mensal, equivalente a uma taxa de 79,5856% ao ano. Aplicando a equação obtemos: ieq = {[(1+ic) (Q/T) ]-1}x100 ieq = {[(1+0,795856) (30/360) ]-1}x100 ieq = 5% a.m. Outra forma Usar a HP12C 12

13 Calculando a equivalência de taxas na HP 12C i = 5% a.m. = % a. a.? i = 79,59% a.a ,00 Suponha VP = 100 VF? 179,59 [f] [Reg] 100 [CHS] [PV] 12 [n] 5 [i] [FV] 179,59 Calculando a equivalência de taxas na HP 12C. i = 80% a. a. = % a. m.? i = 5,02% a. m , ,00 [f] [Reg] 100 [CHS] [PV] 180 [FV] 12 [n] [i] 5,02 Cálculo dos juros compostos para períodos não inteiros As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir: 1 ano exato = 365 dias; 1 ano = 360 dias; 1 semestre = 180 dias; 1 trimestre = 90 dias; 1 mês comercial = 30 dias; 1 mês exato = 28 ou 31 dias; 1 quinzena = 15 dias. 13

14 Cálculo dos juros compostos para períodos não inteiros Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo: n = Q (Quero), sempre considerando o prazo em dias. T (Tenho) Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV): FV = PV (1 + i ) Q/T Determinar o montante de uma aplicação de R$ ,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos VF? PV = R$ ,00 i =25% ao ano n = 92 dias FV = (1 + 0,25) 92/360 FV = R$ ,22 Exercícios 1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de $ ,00 a taxa de juros compostos de 3,75% ao mês? R: $ ,39 2) Um agiota empresta $ ,00 hoje para receber $ ,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas de juros compostos deste empréstimo. R: 151,817% a.a. 3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros compostos cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $ ,00 será resgatado por $ ,23. R: 5 trimestres. 14

15 Exercícios 4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de juros compostos de 51,107% ao ano, para ter $ ,00 no final de 19 meses? R: $ ,96. 5) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês capitalizada anualmente. R: 26,82% ao ano 6) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano capitalizada mensalmente. R: 4% ao mês 7) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia capitalizada anualmente. R: 101,22% 8) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano. R: 28,99% Exercícios 9) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês. R: 122,23% 10) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre. R: 3,73% 11) A loja Leve Tudo financia a venda de uma máquina no valor de R$ ,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ ,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? R: 3,9% 12) Em que prazo um empréstimo de R$ ,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ ,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês? R: 19 meses Exercícios 13) Gustavo deseja financiar um novo microcomputador, no valor de R$ 2.000,00, pagando uma entrada de R$ 500,00, uma prestação com vencimento em 60 dias no valor de R$ 1.000,00 e outra prestação com vencimento em 120 dias. Sabendo que a loja costuma cobrar uma taxa de juros igual a 2%a.m. no regime dos juros compostos, qual o valor do terceiro pagamento? R: R$ 583,25 14) Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? R: R$ ,75 15