carga do fio: Q. r = r p r q figura 1

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1 Uma carga Q está distribuída uniformemente ao longo de um fio reto de comprimento infinito. Determinar o vetor campo elétrico nos pontos situados sobre uma reta perpendicular ao fio. Dados do problema carga do fio: Q. Esquema do problema O vetor posição r vai de um elemento de carga d q do fio até o ponto P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor r q localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor r p localiza o ponto P (figura-a) r = r p r q figura Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cartesianas, o vetor r q só possui componente na direção i, é escrito como r q = x i e o vetor r p só possui componente na direção j, é escrito como r p = j (figura -B), então o vetor posição será r = j x i (I) Da expressão (I) o módulo do vetor posição r será r = x r = x (II) Solução O vetor campo elétrico do fio é dado por 4 0 dq r r r 4 0 d q r r (III) Da expressão da densidade linear de carga (λ) obtemos o elemento de carga d q = d q d s

2 d q = d s (IV) onde d s é um elemento de comprimento do fio, assim d s = (V) substituindo (V) em (IV) substituindo (I), (II) e (VI) em (III), temos 4 0 d q = [ x 4 0 x x i j x i j (VI) (VII) Como a densidade de carga λ é constante, a integral depende apenas de x, ela pode sair da integral, podemos escrever 4 0 x i j x O vetor posição r que vai de um elemento de carga d q até o ponto P deve varrer todo o fio de a + (figura ). 4 0 x x i j figura colocando em evidência no numerador e no denominador, temos [ [ L [ 4 0 [ L x x x x x i j x i j x i j x i j (VIII) Considerando o ângulo θ medido entre o eixo e a distância r do elemento de carga d q ao ponto P, a tangente deste ângulo será (figura )

3 tg θ = x (IX) substituindo a expressão (IX) em (VIII), temos 4 0 [ tgθ tgθ i j 4 0 tg θ tgθi j (X) figura A partir da expressão (IX) obtemos o elemento de comprimento em relação ao elemento de arco fazendo a mudança de variável x = tg θ derivada de tg θ em relação a θ re-escrevendo tg θ = senθ, temos a derivada de um quociente de funções dada pela fórmula cosθ u v ' = u' v u v ' v tgθ ' = senθ cosθ ' cos θ cos θ senθ senθ = = cos θsen θ = cos θ cos θ cos θ Observação: via de regra os livros de Cálculo Integral e Diferencial apresentam a derivada da tangente na forma tgθ ' = sec θ, onde sec θ =, mas aqui por razões de cos θ simplificações posteriores vamos deixar a derivada na forma mostrada acima. = cos θ (XI) substituindo a definição da tangente e a expressão (XI) em (X), temos [ sen θ cos θ [ senθ cosθ cos θ senθ cos θ i j cos θ senθ cosθ i j O vetor posição r que vai de um elemento de carga d q até o ponto P forma um ângulo θ com o eixo. Conforme o elemento d q se desloca da origem em direção a ± o ângulo vai aumento e tende a. Os extremos de integração para a variável θ devem variar de, o valor máximo medido no sentido horário, quando x vale até sentido anti-horário, quando x vale (figura 4) o valor máximo medido no

4 figura sen θ cos θ cos θ senθ cosθ i j 4 0 cos sen θ cos θ cos θ senθ cos θ ij 4 0 cos θ cos θ senθ cosθ i j 4 0 cos θ cos θ senθ cos θ i j 4 0 cos θ cos θ senθ cosθ i j 4 0 cos θ senθ cos θ i j 4 0 cosθ senθ cos θ i j Como é constante, a integral depende só de θ, ele pode sair da integral e sendo a integral da soma igual a soma das integrais podemos escrever 4 0 cosθ senθ cosθ i cos θ j 4

5 4 0 senθ i 0 cos θ j integração de cosθ.º método Como a função cosseno é uma função par, f x = f x, podemos integrar sobre metade do intervalo de 0 à e multiplicar a integral por 0 cosθ = sen θ 0 = sen sen0 = 0 =.º método Podemos integrar sobre todo intervalo de à cosθ = senθ = sen sen como seno é uma funcão ímpar, f x = f x, temos que sen = sen cosθ = sen sen = sen sen = = integração de sen θ.º método sen θ = cos θ = [ cos cos 5

6 como coseno é uma funcão par, f x = f x, temos que cos = cos.º método sen θ = cos cos = 0 O gráfico do seno entre e 0 possui uma área negativa abaixo do eixo-x e entre 0 e uma área positiva acima do eixo-x estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero. na direção i. Observação: a integral na direção i, que é nula, representa o cálculo matemático para a afirmação que se faz usualmente de que as componentes do campo elétrico paralelas ao eixo-x (d E P) se anulam. Apenas as componentes normais ao eixo-x (d E N) contribuem para o campo elétrico total (figura 5 abaixo). 0 i j j 0 j figura 5 6