Ondas e Óptica 2008 Universidade de Coimbra Notas Soltas

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1 Ondas e Óptica 008 Universidade de Coimbra Notas Soltas 1 grupos de ondas Vamos fazer esta discussão a uma dimensão por ser mais simples e isso não representar perda de generalidade da argumentação utilizada. Uma onda sinusoidal, ψ = A exp{i(x ωt)}, estende-se igual por todo o espaço, sem princípio nem fim. Não descreve pois muito bem a realidade! Porém, a soma de ondas sinusoidais é uma onda que já não é sinusoidal e, dependendo das ondas que entram na soma, pode ter princípio e fim. Mais, em geral a soma das ondas sinusoidais pode mesmo representar uma forma qualquer. Se forem satisfeitas as condições de Dirichlet (o que assumimos a priori) qualquer onda pode ser descrita por uma soma de ondas sinusoidais. Eis em essência o teorema de Fourier. A discussão de alguns casos ajuda a compreender estes conceitos. 1.1 soma de duas ondas sinusoidais O grupo de ondas mais pequeno e mais simples em que podemos pensar é constituído por apenas duas ondas de igual amplitude. Sendo ψ 1 = A cos( 1 x ω 1 t) e ψ = A cos( x ω t), então a onda resultante da sua soma é ψ = ψ 1 + ψ, ψ(x,t) = [ A cos ( x ω )] t cos(x ωt) sendo = 1 e a a média de (o mesmo para ω). ψ já não é sinusoidal (ver fig.1). Tem um perfil com partes em que a amplitude está suprimida. A velocidade com que avançam os máximos desse perfil, v g = ω, é diferente da velocidade média das ondas que entram na soma. A onda ψ(x,t) estende-se também a todo o espaço (e tempo), não sendo por isso muito realista. Contudo, pressente-se por este exemplo que somando mais ondas poderemos em princípio suprimir a amplitude da onda resultante em todo o espaço-tempo, excepto numa certa região, o que se traduzirá numa onda localizada. 1. soma de N ondas sinusoidais A generalização do caso anterior consiste na soma de N ondas sinusoidais de igual amplitude, com e ω compreendidos num certo intervalo e ω, respectivamente. Ou 1

2 x Figura 1: A soma de duas ondas sinusoidais é uma onda modulada. A modulação propagase com velocidade ω/. seja, N 1 ψ = A e i( 0 nδ)x (ω o+nδω)t n=0 onde δ = /N e δω = ω/n. O espectro das ondas que formam a soma está representado na fig.. Da eq. 1 vem (1) ψ = Ae i( 0x ω 0 t) N 1 e in(xδ tδω) n=0 Este somatório pode ser simplificado pois 1 N 1 n=0 e inα = einα 1 e iα 1 = einα/ e inα/ e inα/ e iα/ e iα/ e iα/ = einα/ sin(nα/) e iα/ sin(α/) = e i(n 1)α/sin(Nα/) sin(α/) Por conseguinte, ( ) ψ = Ae i( 0x ω 0 sin [(xδ tδω)n/] t) e i(xδ tδω)(n 1)/ sin [(xδ tδω)/] ( ) = Ae i[( 0+ N 1 δ)x (ω 0+ N 1 δω)t] sin [(xδ tδω)n/] sin [(xδ tδω)/] () (3) Ora, 0 + N 1δ = e ω 0+ N 1 δω = ω são os valores médios de e ω, respectivamente. Assim, i(x ωt) sin [(xδ tδω)n/] ψ = Ae (4) sin [(xδ tδω)/] A forma desta onda está representada na fig.3 para um certo instante, t, em função de x. É evidente que neste caso a soma origina um grupo de ondas localizado (dependendo do 1 Note-se que ( e iα 1 ) ( 1 + e iα + e iα + e i3α + + e i(n 1)α) = e inα 1

3 valor de N), sendo bem visível um máximo pronunciado, cuja velocidade de propagação, ou velocidade de grupo, é v g = δω. Esta velocidade é distinta da velocidade média das δ ondas que fazem a soma. A velocidade que representa o grupo de ondas, evidenciado pelo máximo principal, é claramente v g, daí a importância desta velocidade. O intervalo ω costuma ser designado por largura de banda, e analogamente para. Quanto mais localizado for o grupo ou pacote de ondas, maior é a largura de banda que é necessária para o construir. A 0 δ Figura : Espectro das ondas sinusoidais em função do número de onda. Trata-se de N ondas com igual amplitude, espaçadas entre si de δ, no intervalo entre 0 e 0 +. O espectro em frequência é semelhante. v g x Figura 3: A onda resultante da soma das N ondas sinusoidais só tem amplitude significativa numa certa região do espaço-tempo. O grupo de ondas propaga-se com velocidade δω δ. 3

4 1.3 soma de um número infinito de ondas sinusoidais A discussão anterior pode ser estendida à soma de um número infinito de ondas sinusoidais, com ω e quaisquer, tiradas de um certo intervalo, ψ(x,t) = o+ 0 d A()e i(x ωt) (5) O cálculo deste integral requer porém saber como varia ω com. A função A() é a transformada de Fourier de ψ(x,t). O caso mais interessante é aquele em que A() é uma função que tende para zero fora de uma certa banda 0 ± (ver fig.4). Nesse caso, o integral pode ser estendido até ao infinito. No caso em que A() é uma gausssiana, (ver fig.4) A() = A 0 e ( 0) s o integral pode ser calculado analiticamente. O caso geral não pode supor nenhuma relação particular entre ω e. Vamos por isso expandir ω() em série de Taylor em torno de 0, ω ω 0 + dω d ( 0) + d ω ( 0 ) + = ω d 0 + ω ( 0 ) + ω ( 0) + (6) Na aproximação de primeira ordem (i.e. truncando a série na 1 a ordem), tem-se então ψ(x,t) = A 0 d e ( 0) s e i[x (ω 0+ω ( 0 ))t] onde propositadamente se multiplicou e dividiu por e i 0x. Ou seja, O integral anterior é do tipo ψ(x,t) = A 0 e i( 0x ω 0 t) e i( 0x 0 x) d e ( 0) s e i( 0)(x ω t) dz e bz +az e pode ser convertido num integral de Poisson, pois dz e bz +az = e a /4b dz e b(z a b) = e a /4b dv e bv = e a /4b π b O integral de Poisson é π Υ = dv e bv = b Com efeito, o quadrado do integral pode ser facilmente calculado em coordenadas polares, π [ ] Υ = dudv e b(u +v ) = dϕd e b 1 = π e b = π b b sendo pois Υ = π b (7) (8)

5 A() σ 0 Figura 4: Espectro de potência no número de onda, A(). Caso em que a distribuição de números de onda é gaussiana. (A() é a transformada de Fourier). Fazendo a = i(x ω t) e b = 1/σ conclui-se então que ψ(x,t) = A 0 e i( 0x ω 0 t) πσ e σ (x ω t) Esta solução está representada na fig.5. Neste caso o grupo de ondas está muito bem definido, existe apenas numa região finita do espaço e propaga-se com a velocidade de grupo v g = ω dω. d O perfil da onda ψ(x,t) tem também a forma de uma gaussiana, cuja largura, σ x, varia inversamente com a largura de A(), i.e. 1 σ x = σ, ou seja, σ x σ = 1 (9) Se a largura em for grande, i.e. se for larga a distribuição dos comprimentos de onda (λ = π) das ondas que entram na soma, então o grupo de ondas está muito bem localizado. Se ao invés, a largura de banda em for muito pequena então o impulso constituído pelo grupo de ondas estende-se por uma vasta região do espaço. Esta conclusão é de extrema relevância, sendo porventura a mais relevante de todo este texto. As conclusões também se aplicam ao espectro das frequências. Se o integral for nas frequências, dωa(ω)e i(x ωt), os argumentos anteriores levam-nos evidentemente à conclusão de que σ ω σ t = 1. Isto é, se pretendermos ter impulsos muito curtos, então teremos que utilizar uma elevada largura de banda. É por isso que, por exemplo, uma transmissão digital de alto débito (muitos bits/s) requer a ocupação de uma elevada largura de banda. As conclusões anteriores são também a essência do princípio de incerteza de Heisenberg, pedra basilar da mecânica quântica. Os sistemas quânticos são descritos por funções de onda. A quantidade de movimento é p = h e a energia E = hω. Por consequência, (eq.9), σ x σ p = h (10) σ E σ t = h (11) 5

6 Estas são as formas por que são habitualmente conhecidas as relações de incerteza de Heisenberg. Como se vê, neste caso como nos anteriormente considerados, a velocidade média das ondas sinusoidais que descrevem o pacote de ondas (ou impulso), v = ω 0 0, é diferente da velocidade deste último, cuja velocidade é a velocidade de grupo, v = dω. Esta é de facto d a velocidade que tem mais significado, pois é ela que mede a que velocidade se propaga a perturbação, bem como todas as grandezas dinâmicas que lhe estão associadas (energia, quantidade de movimento, etc...). Se na argumentação anterior tivessemos truncado a série de Taylor na segunda ordem (na eq. 6), que implicações é que isso teria nas conclusões finais? Nesse caso, teriamos introduzido no integral da eq.7 o termo adicional, e iω ( 0 ) Este termo pode porém ser incorporado na gaussiana, ficando esta com uma largura efectiva, σ, 1 1 = 1 + iω t = 1 ( 1 + ω σ σ σ σ σ t ) e iϕ(t) onde ϕ = atan ω tσ. Ou seja, obtém-se ainda a mesma função ψ(x,t) (com um desvio de fase e iϕ(t) ), mas a extensão do impulso fica agora σ x = 1 σ = 1 σ 1 + ω σ t (1) Isto é, com aquele termo adicional, ω, a largura do impulso vai crescendo com tempo. Por conseguinte, em geral uma perturbação que se propague através de um meio com velocidade v g = dω, vai-se dispersando à medida que se propaga e o tempo vai passando. d Se isso se verificar, então o meio através do qual a perturbação se está a propagar é um meio dispersivo. A velocidade de cada onda sinusoidal é v = ω. Ou seja, ω = v, sendo pois as derivadas, ω e ω dadas por v g ω = dω d = v + dv d = v λdv dλ = d ω d = dv d + v d d dv d (13) (14) Por conseguinte, o meio no qual a onda se propaga é dispersivo se dv 0. Ou seja, um d meio é dispersivo se a velocidade das ondas sinusoidais depender do comprimento de onda (λ = π/). Nesse caso, de facto, as ondas que compõem o impulso atrasar-se-ão umas em relação às outras e o conjunto vais-se por isso desagregando; a onda dispersa-se. 6

7 v g x Figura 5: A onda correspondente à soma de um número infinito de ondas sinusoidais, com o espectro gaussiano da fig.4. A onda resultante tem uma extensão limitada, a qual varia inversamente com a largura da distribuição de A(). Esta onda propaga-se com velocidade v g = dω d. Exemplo: O índice de refracção de um vidro varia com o comprimento de onda da forma n(λ) A + B/λ, com A e B constantes. Qual é a velocidade de grupo de uma onda electromagnética? jpintodacunha, abril 008 7