12.º Ano de Escolaridade. (Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março) Duração da Prova: 90 minutos VERSÃO 3

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1 gabinete de avaliação educacional T E S T E I N T E R M É D I O D E M A T E M Á T I C A 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março) Duração da Prova: 90 minutos 15/Março/2007 VERSÃO 3 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação da prova. A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete itens de escolha múltipla. O Grupo II inclui quatro itens de resposta aberta, alguns subdivididos em alíneas, num total de seis. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 1

2 Formulário Comprimento de um arco de circunferência α< ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Sector circular: α < (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: Área da base Altura Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ tg + tg, " tg + Þ tg, Complexos 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 " Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 "< Prog. Geométrica:? " "< Regras de derivação Ð?@Ñ Ð?Þ@Ñ œ? @ œ 8 8" Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis Ä! Ä! Ä! Ä Ä sen œ" /" œ" ln Ð"Ñ œ" ln œ! / : œ Ð: Ñ 8 Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra seleccionar para responder a cada questão. correspondente à alternativa que Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Seja H o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam e F dois acontecimentos ( E H e F HÑ, ambos com probabilidade não nula. Sabe-se que TÐE FÑ œ TÐEÑTÐFÑ Qual é o valor da probabilidade condicionada TÐElFÑ? E TÐEÑ () TÐEÑ TÐFÑ! (D) " 2. Um saco contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Ao acaso, extraem-se simultaneamente três bolas do saco e anotam-se os respectivos números. Qual é a probabilidade de o maior desses três números ser 10? % ) () G G! $! $ $ $' (D) G G!! $ $ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 3

4 3. O Jorge tem seis moedas no bolso. Ele retira, simultaneamente e ao acaso, duas dessas seis moedas. Seja \ a quantia, em cêntimos, correspondente às duas moedas retiradas. Sabe-se que a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória \ é 3! $! %! '! (! $ ' " $ TÐ\œÑ 3 G G G G G ' ' ' ' ' Quais poderiam ser as seis moedas que o Jorge tinha inicialmente no bolso? () (D) 4. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação / " / Ó"ß Ò () Ó"ß Ò Ó ß "Ò (D) Ó ß"Ò 5. Seja + um número real maior do que ". Indique o valor de log + ˆ + È $ + () (D) $ & % & $ $ % Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 4

5 6. Seja 1 uma função de domínio Sabe-se que a recta de equação Cœ$ é assimptota do gráfico de 1 Indique o valor de Ä 1ÐÑ Ð1ÐÑÑ! () & ' (D) 7. Na figura está representada, em referencial SC, parte do gráfico de uma função 0, de domínio Ó ß"Ò, contínua em todo o seu domínio. Tal como a figura sugere, tem-se: o gráfico de 0 contém a origem do referencial; as rectas de equações Cœ! e œ" são assimptotas do gráfico de 0. Em qual das opções seguintes poderá estar representada, em referencial SC, parte " do gráfico de? 0 () (D) Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu :L, que é dado por :L œ log "! ÐÑ $ onde designa a concentração de iões L$ S, medida em 796Î.7. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: 1.1. Admita que o :L do sangue arterial humano é (,%. $ Qual é a concentração ( em 796Î.7 ) de iões L$ S, no sangue arterial humano?, Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma + "!, com, inteiro e + entre " e "!. Apresente o valor de + arredondado às unidades A concentração de iões LS $ no café é tripla da concentração de iões LS $ no leite. Qual é a diferença entre o :L do leite e o :L do café? Apresente o resultado arredondado às décimas. Sugestão: comece por designar por l a concentração de iões LS $ no leite e por exprimir, em função de l, a concentração de iões LS $ no café. 2. Considere a função 0, de domínio, definida por Ú $ Ý =/! 0ÐÑ œ Û =/ œ! Ý Ü $ ln Ð"Ñ =/! ( ln designa logaritmo de base /) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigúe se a função œ!. Justifique a sua resposta. 0 é contínua em Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 6

7 3. Seja - um número real maior do que ". Na figura está representada uma parte do gráfico da função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ / -. Tal como a figura sugere E é o ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo S F é o ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo SC Mostre que: Se o declive da recta EF é - ", então - œ / 4. Considere, num referencial o. n. SC, a curva G, que representa graficamente a função 0, de domínio Ò!ß "Ó ß definida por 0ÐÑ œ / $ a recta <, de equação C œ & 4.1. Sem recorrer à calculadora, justifique que a recta < intersecta a curva G em pelo menos um ponto Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, visualize a curva G e a recta <, na janela Ò!ß "Ó Ò!ß (Ó ( janela em que Ò!ß "Ó e C Ò!ß (Ó ). Reproduza, na sua folha de teste, o referencial, a curva G e a recta <, visualizados na calculadora. Assinale ainda os pontos S, T e U, em que: S é a origem do referencial; T é o ponto de coordenadas Ð! ß /Ñ; U é o ponto de intersecção da curva G com a recta < ; relativamente a este ponto, indique, com duas casas decimais, a sua abcissa, que deve determinar com recurso à calculadora. Desenhe o triângulo ÒST UÓ e determine a sua área. Apresente o resultado final arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. FIM Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa... 9 Cada resposta errada... 0 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL Teste Intermédio de Matemática A - Versão 3 - Página 8