Matemática Computacional I

Transcrição

1 Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática Matemática Computacional I CURSO: ENGENHARIA INFORMÁTICA Alberto Simões asimoes@ubi.pt 204/205

2 Conteúdo Funções Reais de Variável Real. O Conjunto dos Números Reais Definições e Generalidades Função Inversa Função Composta Funções Elementares Exercícios Limites de Funções Noções Topológicas Definição de Limites e Propriedades Limites Importantes Assímptotas Exercícios Continuidade Teoremas Importantes Exercícios Cálculo Diferencial Definição de Derivada Regras de Derivação Teoremas Principais Derivada de Ordem Superior Aplicação das Derivadas Exercícios Cálculo Integral Primitivas Primitivas Imediatas Primitivação por Partes Primitivação por Substituição Primitivação de Funções Racionais II

3 CONTEÚDO III 3.2 Integrais Integral de Riemann Propriedades Cálculo de Integrais Aplicação dos Integrais Integrais Impróprios Exercícios Sucessões Definição de Sucessão e Subsucessão Representação Gráfica de uma Sucessão Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas Princípio de Indução Matemática Monotonia Sucessões Limitadas Sucessões Convergente Critérios de Convergência Recta Acabada Cálculo de Limites com Indeterminações Exercícios Séries Noção de Somatório Definição de Série Numérica Séries Notáveis Série Geométrica Série de Mengoli Série de Dirichlet Propriedades Séries de Termos Não Negativos Séries Alternadas Convergência Absoluta Séries de Potências Séries de Taylor e de Mac-Laurin Exercícios Testes e Exames do Ano Anterior (TSI e EI) 02

4 Capítulo Funções Reais de Variável Real. O Conjunto dos Números Reais Denotamos por IN o conjunto dos números naturais, ou seja IN = {, 2, 3,...}. Este conjunto surge da necessidade em fazer contagens. Dada a impossibilidade em resolver a equação x + 2 = em IN surge o conjunto dos números inteiros, que, para além dos naturais, contém o 0 e os inteiros negativos. Denotamos este conjunto por Z. Temos Z = {..., 2,, 0,, 2,...}. Mas, também aqui, dada a impossibilidade em resolver equações do tipo 2x+ = 4 surge o conjunto dos números racionais denotado por Q. Este conjunto contém todos os números inteiros, bem como todas as fracções positivas ou negativas. É definido por { m } Q = n : m Z, n IN. Por fim, o conjunto dos números reais, IR, aparece pela impossibilidade de resolver algumas equações que envolvem potências no conjunto dos números racionais. Por exemplo, a equação x 4 = 3 tem como solução o número irracional 4 3 =, com dízima infinita não periódica. São ainda irracionais os chamados números transcendentes. Como exemplo de transcendentes temos o número de ouro φ = + 5 =, , o número de néper e = 2, e π = 3, Temos assim, IR = {x : x Q ou x é irracional}. Temos, IN Z Q IR.

5 2 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Os números Reais representam-se numa recta horizontal, orientada da esquerda para a direita, a que chamamos de eixo numérico. O zero representa-se a meio deste eixo, ficando os números negativos à esquerda e os positivos à direita. Os subconjuntos de IR, que também são conjuntos, podem ser discretos ou contínuos definidos por conjuntos de números ou por intervalos, respectivamente. Como exemplo de conjunto discreto temos, por exemplo, A = {, 2, 3,...}. Dados dois números a, b IR tais que a b temos os seguintes conjuntos contínuos, ]a, b[= {x IR : a < x < b}, ]a, b] = {x IR : a < x b}, [a, b] = {x IR : a x b}, [a, b[= {x IR : a x < b}, [a, + [= {x IR : a x}, ], b[= {x IR : x < b}, ], b] = {x IR : x b}, ], + [= IR. ]a, + [= {x IR : a < x}, Temos as seguintes propriedades para os números reais. Propriedades.. (Propriedades de Ordem) Para quaisquer números reais a, b, c e d, temos a) Se a < b e b < c, então a < c, b) Se a b, então a < b ou b < a, c) Se a b e b a, então a = b, d) Se a 0, então a 2 > 0, e) a < b se e só se a + c < b + c, f) Se a < b e c < d, então a+c < b+d, g) Se a < b e c > 0, então ac < bc, h) Se a < b e c < 0, então ac > bc, i) Se a > 0, então a > 0, j) Se a < 0, então a < 0, k) Se a < b, então a < a+b 2 < b, l) ab > 0 se e só se (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). No conjunto dos números reais estão definidas 4 operações. A adição, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a + b. A multiplicação, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a b ou, para simplificar, ab. A subtração, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a b.

6 .. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 3 A divisão, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a b. Apresentamos de seguida algumas das suas principais e indispensáveis propriedades assim como algumas fórmulas que nunca são demais recordar. Propriedades..2 ) Associatividade da Adição e da Multiplicação, a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c IR, a (b c) = (a b) c a, b, c IR, 2) Comutatividade da Adição e da Multiplicação, a + b = b + a a, b IR, a b = b a a, b IR, 3) Existência de Elemento Neutro para a Adição e para a Multiplicação, 4) Existência de Oposto para Adição, a + 0 = a a IR, a = a a IR, a IR, a IR : a + ( a) = 0, 5) Existência de Inverso para a Multiplicação, a IR \ {0}, b IR : a b =, 6) Distributividade da Multiplicação em Relação à Adição, a (b + c) = a b + a c a, b, c IR, 7) Considerando b 0 e d 0, a b ± c d ad ± bc =, bd 8) Considerando b 0 e d 0, a b c d = ac bd, 9) Considerando b 0, c 0 e d 0, a b c d = a b d c = ad bc.

7 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Propriedade..3 (Lei do Corte da Adição) Sejam a, b e c números reais. Então, a + c = b + c se e só se a = b. Propriedade..4 (Lei do Corte da Multiplicação) Sejam a, b e c números reais com c 0. Então, ca = cb se e só se a = b. Propriedade..5 (Lei do Anulamento do produto) Sejam a e b números reais. Então, Fórmulas..6 Sejam a, b, c IR. Temos, a) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, b) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, c) (a + b)(a b) = a 2 b 2, d) a + x = b x = b a, ab = 0 se e só se a = 0 ou b = 0. e) ax = b x = b a onde a 0, f) ax 2 + bx + c = 0 x = b± b 2 4ac 2a com a 0. Definição..7 (Módulo) Seja x IR. O módulo, ou valor absoluto, de x é definido por, { x se x 0 x = x se x < 0 Propriedades..8 Para quaisquer a, b IR, temos a) a = 0 se e só se a = 0, b) a 0, c) ab = a b, d) a + b a + b. Propriedades..9 Seja a 0 um real. Temos,

8 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 5 a) x =a x= a ou x=a x=±a, b) x a x a x a, c) x a x a x a, d) x = y x = y x = y, e) x = y x 2 = y 2..2 Definições e Generalidades Definição.2. (Função real de variável real) Uma Função real de variável real é uma correspondência que a cada elemento x de um subconjunto D IR associa um único valor y de um subconjunto C IR. De um modo geral representamos uma função por onde, f : D C x y = f(x) D chama-se domínio da função. É usualmente denotado por D f, C chama-se conjunto de chegada da função, x é a variável independente e toma valores em D (x D), y é a variável dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma a variável x. O número real que é imagem de x D, através da função, designa-se por imagem de x e representa-se por y = f(x). O conjunto das imagens, através da função f, dos pontos de D designa-se de contradomínio ou conjunto imagem e denota-se por C f, D f ou f(d). Observação.2.2 Não é obrigatório que o conjunto de chegada e o contradomínio sejam iguais. Ou seja, podemos dizer que f : D C mesmo que nem todos os pontos de C sejam imagens de algum x D. Definição.2.3 (Gráfico) Dada uma função f : D IR IR, chama-se gráfico da função f ao conjunto Definição.2.4 Uma função f : D IR IR diz-se G f = {( x, y) IR 2 : x D f, y = f(x) IR}.

9 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL crescente se x < y f(x) f(y), x, y D, estritamente crescente se x < y f(x) < f(y), x, y D, decrescente se x < y f(x) f(y), x, y D, estritamente decrescente se x < y f(x) > f(y), x, y D, par se f(x) = f( x), x D, ímpar se f( x) = f(x), x D. Uma função diz-se monótona se é crescente ou decrescente. Diz-se estritamente monótona se é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Observação.2.5 Uma função é par quando é simétrica em relação ao eixo dos yy. Uma função é ímpar quando é simétrica em relação à origem. Definição.2.6 (Máximo e Mínimo) Sejam f : D IR IR e c D. Diz-se que f(c) é um máximo de f se f(x) f(c), x D. A c chamamos de maximizante. Diz-se que f(c) é um mínimo de f se f(x) f(c), x D. A c chamamos de minimizante. De um modo geral, chamamos aos máximos e mínimos de extremos de f. Geometricamente temos, por exemplo, Definição.2.7 (Função limitada) Uma função f : D IR IR diz-se limitada se M IR + : f(x) < M, x D. Ou seja, uma função é limitada quando o seu contradomínio é um conjunto limitado.

10 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 7 Definição.2.8 (Zeros) Chamam-se zeros da função f aos elementos x do domínio tais que f(x) = 0. Definição.2.9 (Restrição) Sejam f : D IR IR e A D. A restrição de f a A, denotada por f A, é a função de A em IR tal que f A (x) = f(x) para cada x A. Definição.2.0 Uma função f : D IR B IR diz-se injectiva se sobrejectiva se x, y D, x y f(x) f(y), y B, x D : y = f(x), bijectiva se for injectiva e sobrejectiva, ou seja, y B, x D : y = f(x). Observação.2. Uma função é injectiva se e só se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto. não injectiva injectiva.2. Função Inversa Definição.2.2 (Função Inversa) Seja f : D IR IR uma função real de variável real. A função f : f (D) IR IR tal que f (f(x)) = f (f (x)) = x define a função inversa de f. Temos y = f(x) f (y) = x.

11 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL.2.2 Função Composta Definição.2.3 (Função Composta) Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que D f D g. Define-se a composição das funções, f com g, como sendo a função que a cada elemento x D g faz corresponder um único elemento no conjunto de chegada de f. Denotamos a composição de f com g por f g (que se lê f após g) e define-se por f g : D f g IR com D f g = {x D g : g(x) D f }. x (f g) (x) = f (g(x)), Observação.2.4 Note que a composição de funções não é comutativa, ou seja, f g g f. Exemplo.2.5 A função h(x) = ln (x 2 + ), x IR, pode ser vista como a composição da função polinomial f(x) = x 2 + com a função logarítmica g(x) = ln x, ou seja, h(x) = (g f) (x)..2.3 Funções Elementares Vamos apresentar algumas das mais importantes funções. Definição.2.6 (Função Polinomial) Uma função polinomial é definida por f : D IR IR onde a 0, a,..., a n IR e n IN 0. Exemplos.2.7 x f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0, Se n = 0, obtemos a função constante f(x) = a 0, usualmente denotada por f(x) = c com D f = IR e C f = {c}. Se n =, obtemos a função afim f(x) = a x + a 0, usualmente denotada por f(x) = ax + b com D f = IR e C f = IR para a 0. O gráfico da função afim é uma recta de equação y = ax + b, onde a indica o declive da recta. No caso de a 0, o zero da função é dado por x = b a.

12 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 9 Se n = 2, obtemos a função quadrática f(x) = a 2 x 2 +a x+a 0, usualmente ( de- ) b, c b2. 2a 4a notada por f(x) = ax 2 +bx+c e chamada de parábola com vértice ] Temos D f = IR. Quando a < 0 temos C f =, c b2 4a C f = [ c b2 4a, + [. Quando b 2 4ac < 0 a função não tem zeros. Se b 2 4ac = 0 a função tem apenas o zero x = b 2a. Para b 2 4ac > 0 a função tem os dois zeros x = b+ b 2 4ac 2a Definição.2.8 (Função Racional) Uma função racional é definida por f : D IR IR x f(x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0, ]. Para a > 0 temos e x 2 = b b 2 4ac 2a. com a 0, a,..., a n, b 0, b,..., b m IR, n, m IN 0 e onde o numerador e o denominador não são divisíveis entre si. Uma função racional para estar bem definida tem de ter o denominador diferente de 0. Assim D f = { x IR : b m x m + b m x m b x + b 0 0 }. Os zeros da função racional são dados pelos zeros do numerador. Definição.2.9 (Função exponencial) Definimos a função exponencial por A função exponencial não tem zeros. f : IR ]0, + [ x f(x) = e x. Observação.2.20 Considerando a um número real positivo, definimos a função exponencial de base a por f : IR ]0, + [ Proposição.2.2 Sejam a, b ]0, + [ e x, y IR. Temos, x f(x) = a x.

13 0 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL a 0 =, a x+y = a x a y, a x = a x, a x y = ax a y, (a x ) y = a xy, a x b x = (ab) x, É sempre positiva, Se x > y e a >, então a x > a y, Se x > y e 0 < a <, então a x < a y, É estritamente crescente se a >, estritamente decrescente se 0 < a < e constantemente igual a se a =, É injetiva em todo o seu domínio se a. Definição.2.22 (Função Logarítmica de base a) Seja a um número real positivo diferente de, definimos a função logarítmica de base a por f : ]0, + [ IR x f(x) = log a x. Esta função tem o único zero x =. Quando a = e temos a notação f(x) = log a x ln x. Proposição.2.23 Sejam a, b IR + \ {}, x, y IR + e n IN. Temos, log a a =, log a = 0, log a (xy) = log a (x) + log a (y), log a ( ) = log y a(y), log a ( x y ) = log a(x) log a (y), log a (x n ) = n log a (x), log a x = log b x log a b, Se x > y e a >, então log a (x) > log a (y), Se x > y e 0 < a <, então log a (x) < log a (y), É estritamente crescente se a > e estritamente decrescente se 0 < a <, É uma função injetiva.

14 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES Definição.2.24 (Função Seno) Definimos a função seno por É uma função ímpar. Os zeros são x = kπ, k Z. f : IR [, ] x f(x) = sen x. Definição.2.25 (Função Cosseno) Definimos a função cosseno por É uma função par. Os zeros são x = π + kπ, k Z. 2 f : IR [, ] x f(x) = cos x. Definição.2.26 (Função Tangente) Definimos a função tangente por { π } f : IR\ 2 + kπ : k Z É uma função ímpar. Os zeros são x = kπ, k Z. IR x f(x) = sen x cos x = tg x. Definição.2.27 (Função Cotangente) Definimos a função cotangente por É uma função ímpar. Os zeros são x = π + kπ, k Z. 2 f : IR\ {kπ : k Z} IR x f(x) = cos x sen x = cotg x. Apresentamos agora uma série de resultados e fórmulas muito úteis quando estamos a trabalhar com funções trigonométricas.

15 2 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Tabela.2.28 (Valores Principais) π π π π 3π Radianos 0 π 2π Graus sen 0 2 cos 2 tg 0 cotg Tabela.2.29 (Reduções ao Primeiro Quadrante) π x 3π 2 2 sen sen x cos x sen x cos x ±sen x cos cos x sen x cos x ±sen x cos x tg x tg x cotg x ±tg x cotg x ±tg x cotg cotg x tg x ±cotg x tg x ±cotg x Fórmulas.2.30 (Fórmulas Trigonométricas) sen 2 x + cos 2 x =, + tg 2 x = cos 2 x = sec2 x, + cotg 2 x = sen 2 x = cosec2 x, sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x, cos(x ± y) = cos x cos y sen x sen y, tg(x ± y) = tg x±tg y tg x tg y, sen(2x) = 2 sen x cos x, cos(2x) = cos 2 x sen 2 x = 2 cos 2 x = 2 sen 2 x, sen x ± sen y = 2 sen x±y 2 cos x y 2, cos x cos y = 2 sen x+y 2 sen x y 2, tg x ± tg y = sen(x±y) cos x cos y, cos x + cos y = 2 cos x+y 2 cos x y 2.

16 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 3 Fórmulas.2.3 (Resolução de Equações Trigonométricas) sen x = sen α x = ( ) n α + nπ, n Z, cos x = cos α x = ±α + 2nπ, n Z, tg x = tg α x = α + nπ, n Z, cotg x = cotg α x = α + nπ, n Z. Apresentamos agora as funções trigonométricas inversas. Definição.2.32 (Função arco-seno) Definimos a função arco-seno como sendo a inversa da função seno restringida ao intervalo [ π, ] π 2 2. Temos assim, [ f : [, ] π 2, π ] 2 x f(x) = arcsen x. É uma função ímpar. O zeros é x = 0. Por definição temos arcsen x = y x = sen y e y [ π 2, π 2 ]. Definição.2.33 (Função arco-cosseno) Definimos a função arco-cosseno como sendo a inversa da função cosseno restringida ao intervalo [0, π]. Temos assim, f : [, ] [0, π] x f(x) = arccos x. É uma função que não é par nem ímpar. O zeros é x =. Por definição temos arccos x = y x = cos y e y [0, π]. Definição.2.34 (Função arco-tangente) Definimos a função arco-tangente como sendo a inversa da função tangente restringida ao intervalo ] π, [ π 2 2. Temos assim, ] f : IR π 2, π [ 2 x f(x) = arctg x. É uma função ímpar. O zeros é x = 0. Por definição temos arctg x = y x = tg y e y ] π 2, π 2 [.

17 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Definição.2.35 (Função arco-cotangente) Definimos a função arco-cotangente como sendo a inversa da função cotangente restringida ao intervalo ]0, π[. Temos assim, f : IR ]0, π[ x f(x) = arccotg x. É uma função que não é par nem ímpar. Não tem zeros. Por definição temos arccotg x = y x = cotg y e y ]0, π[. Temos agora duas funções hiperbólicas. Definição.2.36 (Função Seno Hiperbólico) Definimos a função seno hiperbólico por É uma função ímpar. O zero é x = 0. f : IR IR x f(x) = senh x = ex e x. 2 Definição.2.37 (Função Cosseno Hiperbólico) Definimos a função cosseno hiperbólico por É uma função par. Não tem zeros. f : IR [, + [ x f(x) = cosh x = ex + e x. 2 Fórmulas.2.38 cosh 2 x senh 2 x =, tgh 2 x = cosh 2 x, senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x, cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y..3 Exercícios. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões.

18 .3. EXERCÍCIOS 5 (a) arcsen(3/2) (b) arccos( 3 2 ) (c) π 3 arctg( 3 3 ) (d) sen(arccos( /2)) (e) cos(arcsen( 2 2 )) (f) tg(arcsen( /2)) (g) sen(arctg) (h) cos(arctg( 3)) (i) arccos(cos( π 4 )) (j) cos(arcsen( 4 5 )) (k) sen(arccos( 5 3 )) (l) tg(arcsen( 3 4 )) (m) cotg(arcsen( 2 3 )) (n) sen(2arcsen( 4 5 )) (o) tg(2 arccos( 3 5 )) (p) sen(arcsen( 3 4 ) + arccos( 4 )) (q) cos(arccos( 4 ) + arcsen( 3 4 )) 2. Simplifique as seguintes expressões. (a) sen(arccos x + π) (b) cos 2 ( arccos x 2 ) (c) cos(arcsen x) 3. Resolva as seguintes equações e inequações (a) arcsen(3x 2) = 0 2 (b) e +2cosx = (c) arcsen( 3 2 ) = x (d) cos(arctg x) = 2 2 (e) e cos(2x) > (f) cos x 2 > 0 5+log /2 x 4. Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções (a) f(x) = cosx (b) f(x) = cos(2x + π/3) + (c) f(x) = arccos( x 2) (d) f(x) = sen(π/3) + 3tg(x/2) (e) f(x) = 3 arcsen(2x ) (f) f(x) = arccos( + 2x) 2 (g) f(x) = cos( π 3 ) + 2arcsen( 2+x ) (h) f(x) = ln(π/2 arcsen( x 2 )) (i) f(x) = 2 /senx 5. Considere a função dada por f(x) = + arcsen( + 3x). (a) Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f. (b) Calcule f(0) e f( /6). (c) Determine as soluções da equação f(x) = + π/3. (d) Caracterize a função inversa de f. 6. A partir de gráficos conhecidos esboce graficamente as seguintes funções.

19 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL (a) f(x) = ln x (b) f(x) = x + (c) f(x) = ln 2 x (d) f(x) = sen x (e) f(x) = log (x + 3) 2 (f) f(x) = tg x π (g) f(x) = 5cos x (h) f(x) = 0e x 5 (i) f(x) = cos 2x 7. Represente graficamente as funções, assinalando os zeros e o vértice das parábolas. (a) f(x) = x 2 + 2x + (b) f(x) = x 2 5x + 6 (c) f(x) = x 2 + 7x 2 8. Indique quais das seguintes funções são pares ou ímpares. (a) f(x) = x (b) f(x) = x (c) f(x) = x + 4 (d) f(x) = x3 x x 2 + (e) f(x) = x 2 (f) f(x) = cos 2x 9. Diga, justificando, quais das seguintes funções são limitadas. (a) f(x) = cotg x, x ]0, π[ (c) f(x) = x 2, x ]0, 0[ (b) f(x) = x, x IR + (d) f(x) = 2 cos x 7 0. Caracterize f g, sendo (a) f(x) = e 2x+ e g(x) = x+3 (b) f(x) = x+ x 2 e g(x) = 2x 4 { x x < 0 x 2 x 0. Considere a função f(x) = sen 3x. (a) Determine D f e D f. (b) Determine os seus zeros. 2. Considere a função f(x) = + arcsen(3x + ). (a) Recorde o que já foi analisado no exercício 5. (b) Determine os zeros de f. (c) Sabendo que a função é crescente, calcule o maximizante e o minimizante de f. (d) Veja que defacto f é crescente.

20 .3. EXERCÍCIOS 7 3. Seja f : IR + IR definida por Mostre que f(x) = 20+log 3x 4. f(x) = 2 + log 3 (27 4 x). 4. Considere a função real de variável real f definida por, (a) Indique D f. ( (b) Prove que f(x) = log 4x 4 ) 2 x+2. (c) Determine os zeros de f. (d) Caracterize f. f(x) = log 2 (x ) log 2 (x + 2) Considere as funções x f(x) = e x (x + ) e g(x) = sen x ex + e x. Determine D f e D g. 6. Considere a função definida por f(x) = { arcsen x x 0 arctg x 0 < x. (a) Calcule f( ), f(0) e f(). (b) Esboce o gráfico de f. 7. Considere a função dada por f(x) = 2 sen(2x) cotg x. (a) Determine o domínio e os zeros de f. (b) Mostre que a função é par. (c) Resolva a equação f(x) = 2 sen x. 8. Considere as funções dadas por f(x) = cos x e g(x) = x 2. (a) Determine o domínio de g f. (b) Mostre que (g f)(x) = sen 2 x, para todo o x pertencente ao domínio de g f. (c) Calcule (g f)( 2π 3 ).

21 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 9. Durante uma promoção, o preço de venda de um portátil é dado por p(x) = 455x + 50 x em que p e x representam, respectivamente, o preço em euros e as unidades do produto. (a) Calcule p() e interprete o valor obtido no contexto do problema. (b) Se forem vendidos muitos portáteis, o que sucede ao preço de cada um? Justifique. 20. Dada a função g(x) = 3 arcsen(2x ), (a) Calcule g(0) e g( 3 ). (b) Determine o domínio e o contradomínio de g. (c) Caracterize a função inversa de g. (d) Calcule os zeros de g. 2. Calcule o domínio e o contradomínio das funções seguintes. ( ) x (a) f(x) = π + arccos 2 (d) f(x) = arctg(2x x 2 ) 2 (b) f(x) = arcsen(x 2 ) (e) f(x) = 3 + arcsen ( ) 3x (c) f(x) = arctg ( 2 ) (f) f(x) = arccos ( ) 2 x+5 x 22. Caracterize a aplicação inversa de cada uma das seguintes funções. (a) f(x) = arcsen(3x 2) 2 (b) f(x) = arctg x (c) f(x) = + cos(2x) (d) f(x) = (4x 36) 2.4 Limites de Funções.4. Noções Topológicas Definição.4. (Vizinhança) Sejam a IR, ε > 0. Chama-se vizinhança ε de a ao conjunto V ε (a) = ]a ε; a + ε[. Definição.4.2 (Pontos Interiores e Exteriores) Sejam A um subconjunto de IR e a IR. Diz-se que a é um ponto interior a A se existir uma vizinhança de a contida em A. Ou seja, ε > 0 : V ε (a) = ]a ε; a + ε[ A.

22 .4. LIMITES DE FUNÇÕES 9 Ao conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por int(a). Diz-se que a é um ponto exterior a A se existir uma vizinhança de a contida em IR \ A (complementar de A), isto é, ε > 0 : V ε (a) = ]a ε; a + ε[ A C = IR \ A. Ao conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(a). Definição.4.3 (Pontos Fronteiros) Diz-se que a é um ponto fronteiro a A se toda a vizinhança de a interseta A e IR\A. Ou seja, ε > 0, V ε (a) A V ε (a) A C. Ao conjunto dos pontos fronteiros chama-se fronteira de A e representa-se por fr(a). Observação.4.4 Consideremos um conjunto A IR qualquer. Temos, int(a) ext(a) = int(a) fr(a) = fr(a) ext(a) = int(a) ext(a) fr(a) = IR. Definição.4.5 (Aderência ou Fecho) Ao conjunto A = A fr(a) = int(a) fr(a) chama-se fecho ou aderência de A. Diz-se que a é um ponto aderente a A se a A. Ou seja, ε > 0, V ε (a) A. Definição.4.6 (Ponto de Acumulação e Derivado) Sejam a IR e A IR. Diz-se que a é ponto de acumulação de A se toda a vizinhança de A interseta A \ {a}, ou seja, se em qualquer vizinhança de a existe pelo menos um elemento de A diferente de a. Isto é, ε > 0, V ε (a) A \ {a}. O Derivado de A é o conjunto de todos os pontos de acumulação e representa-se por A.

23 20 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Definição.4.7 (Ponto Isolado) Diz-se que a é um ponto isolado de A se a A e existe uma vizinhança de a que não interseta A \ {a}. Ou seja, Propriedades.4.8. A = A A. ε > 0, : V ε (a) A = {a}. 2. Todo o ponto interior de A pertence a A. 3. Nenhum ponto exterior a A pertence a A (pois pertence ao complementar de A, IR \ A). 4. Todo o ponto de A é aderente a A. 5. Um ponto fronteiro a A pode ou não pertencer a A e o mesmo sucede com um ponto aderente e um ponto de acumulação de A. 6. Se a int(a), então a é ponto de acumulação de A. 7. Um ponto isolado de A pertence a A e a A mas não pertence a A. Definição.4.9 (Conjuntos Abertos e Fechados) Seja A IR, diz-se que A é aberto se A = int(a). Diz-se que A é fechado se A = A. Observação.4.0. A é fechado se e só se fr(a) A. 2. A é fechado se e só se IR \ A é aberto. Definição.4. (Majorantes e Minorantes) Sejam a, b IR e A um subconjunto de IR. Diz-se que a é majorante de A se a x, x A. Diz-se que b é minorante de A se b x, x A. Representamos o conjunto dos majorantes de A por M(A) e o conjunto dos minorantes por m(a). Definição.4.2 (Conjunto Limitado) Seja A um subconjunto de IR. Diz-se que A é majorado se admitir majorantes. Diz-se que A é minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado diz-se limitado.

24 .4. LIMITES DE FUNÇÕES 2 Definição.4.3 (Supremo e Máximo) Seja A um subconjunto majorado de IR. Diz-se que β é o supremo de A se β for o menor dos majorantes de A, representando-se por sup(a). Se β, o supremo de A, pertencer a A, diz-se que β é o máximo de A e representa-se por max(a). Definição.4.4 (Ínfimo e Mínimo) Seja A um subconjunto minorado de IR. Diz-se que α é o ínfimo de A se α for o maior dos minorantes de A, representando-se por inf(a). Se α, o ínfimo de A, pertencer a A, diz-se que α é o mínimo de A e representa-se por min(a). Teorema.4.5 Em IR todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto minorado tem ínfimo. Nota.4.6 Um conjunto majorado pode não ter máximo e um conjunto minorado pode não ter mínimo. Exercício.4.7 Sejam { 2 A = n, } n IN, B = ] 3, 0] {4} e C = [ 2, 3[. Determine o conjunto dos pontos interiores, exteriores e fronteiros de A, B e C. Exercício.4.8 Determine o derivado, o fecho e verifique se são abertos ou fechados os seguintes conjuntos de números reais. A = {x IR : x 5 > }, B = {x IR : (x ) 2 + x < 7}, C = {x IR : x = cos(nπ) n IN}. Exercício.4.9 Determine o conjunto dos majorantes, minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo dos seguintes conjuntos, D = {x IR : 2x > x + 3 }, E = {x IR : 2x + > x + 2 }, F = {x IR : x = ( )n n+4 n IN} [2, 3]. Apresente as restantes noções topológicas para o conjunto F.

25 22 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL.4.2 Definição de Limites e Propriedades Vamos nesta secção considerar funções do tipo f : D IR IR, ou seja, funções reais de variável real com domínio D IR. Definição.4.20 (Limite) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, ou quando x tende para a quando Se existir, escrevemos ε > 0 δ > 0 : x D f 0 < x a < δ f(x) b < ε. limf(x) = b. x a Observação.4.2 Geometricamente, quando existe limite, a definição diz-nos que numa qualquer vizinhança próxima de x = a vai existir sempre uma vizinhança de y = b que contém a imagem de f(x). lim f(x) = b x a lim f(x) não existe x a Definição.4.22 (Limite no infinito) Diz-se que um numero real b é o limite de uma função f quando x tende para +, e escreve-se lim x + f(x) = b se ε > 0 δ > 0 : x D f x > δ f(x) b < ε. Diz-se que um numero real b é o limite de uma função f quando x tende para, e escreve-se lim x f(x) = b se ε > 0 δ > 0 : x D f x < δ f(x) b < ε.

26 .4. LIMITES DE FUNÇÕES 23 Quando o ponto x = a, onde se pretende calcular o limite, é, por exemplo, uma extremidade do conjunto D f temos de saber por que valores de x D f nos vamos aproximar de x = a, se por valores x > a ou x < a. Assim temos a definição de limites laterais. Definição.4.23 (Limites Laterais) Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, um ponto de acumulação do domínio da função, ou quando x tende para a, por valores à direita de a quando Se existir, escrevemos ε > 0 δ > 0 : x D f x < a + δ f(x) b < ε. lim x a +f(x) = b. Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a (ponto de acumulação) ou quando x tende para a, por valores à esquerda de a quando ε > 0 δ > 0 : x D f a δ < x f(x) b < ε. Se existir, escrevemos lim x a f(x) = b. Observação.4.24 Quando lim x a +f(x) = lim f(x) = b, ou seja, quando os limites laterais existem e são iguais, podemos afirmar que x a limf(x) = b. x a Apresentamos agora algumas propriedades. Proposição.4.25 O limite de uma função, quando existe, é único. Proposição.4.26 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real e x = a um ponto de acumulação de D f D g {, + }. Suponhamos que existem os limites de f e g quando x tende para a e se tem limf(x) = b e lim g(x) = c x a x a com b, c IR.

27 24 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Então, existem os limites de f + g, f g, fg quando x tende para a e temos lim [f(x) + g(x)] = b + c, lim x a [f(x) g(x)] = b c, lim x a [f(x)g(x)] = bc, x a e se c 0, então também existe o limite de f/g quando x tende para a e temos f(x) lim x a g(x) = b c. Se f(x) > 0 para todo x D f, então existe o limite de f g quando x tende para a e temos lim x a f(x)g(x) = b c. Proposição.4.27 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real. Se lim x a f(x) = 0 e g é uma função limitada numa vizinhança de a, então limf(x)g(x) = 0. x a Proposição.4.28 Seja a IR {, + } e f, g e h funções reais de uma variável real cujos domínios contém uma vizinhança de a e tais que nessa vizinhança se tenha f(x) g(x) h(x). Se existirem os limites de f e h quando x tende para a e lim x a f(x) = limh(x) = b, x a então também existe o limite de g quando x tende para a e temos limg(x) = b. x a Proposição.4.29 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real, a IR um ponto de acumulação de D f e b um ponto de acumulação de D g. Se então lim x a f(x) = b e limg(x) = g(b), lim x a x b (g f)(x) = limg(f(x)) = g(b). x a Com as devidas adaptações podemos considerar as propriedades anteriores considerando limites para o infinito. Para o efeito, é necessário ter em conta as convenções apresentadas na Secção 4.9 e os casos particulares e as indeterminações apresentadas na Secção 4.0.

28 .4. LIMITES DE FUNÇÕES Limites Importantes No cálculo de limites, é usual usarem-se resultados sobre limites já conhecidos. São os chamados limites notáveis que passamos a apresentar. Nota.4.30 Temos os seguintes limites notáveis, ( sen x lim =, lim x 0 x x + ln(x + ) lim x 0 x ln x lim x + x arctg x lim x 0 x tg x =, lim x 0 x = 0, lim =. x + e x + x) x = e, lim x 0 e x =, lim x 0 x = + (p IR), x lim p cos x x 2 = 2, arcsen x x 0 x =, =, Temos agora, para recordar, uma proposição que também será de grande utilidade para o cálculo de limites de funções reais de variável real. Observação.4.3 Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação de D f ou a = ±, tais que lim x a f(x) = c com c IR+. Então, [ ] lim [ln (f(x))] = ln lim f(x) = ln c. x a x a Importante.4.32 (Indeterminações) Para recordar tudo o que já sabe sobre o cálculo de limites com indeterminações veja as regras da Secção 4.0 considerando funções no lugar de sucessões..4.4 Assímptotas Apresentamos agora um conceito importante quando queremos representar geometricamente uma função. Definição.4.33 (Assímptota Vertical) Diz-se que a recta de equação x = a é uma assímptota vertical da função f se algum dos limites existir. lim x a +f(x) = ±, lim x a f(x) = ± ou limf(x) = ± x a

29 26 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Definição.4.34 (Assímptota Oblíqua) Diz-se que a recta de equação y = mx + b é uma assímptota oblíqua da função f se existem e são finitos os limites m = f(x) lim x ± x e b = lim [f(x) mx]. x ± Observação.4.35 (Assímptota Horizontal) Quando m = 0 temos y = b que é a equação de uma Assímptota Horizontal..5 Exercícios. Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado de cada um dos conjuntos seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados. (a) A =]0, 2] [3, 5[ {6, 7} (b) B = {x IR : x 2 < } (c) C = {x IR : x 2 x 6 > 0} (d) D = {x IR : 2x 2 3x > 5} (e) E = {x IR : x 3 > x} (f) F = {x IR : x 2 (x ) 0} (g) G = {x IR : 0 x 2 < 3} (h) H = { x IR : x > } x x+3 x 2 (i) I = {x IR : x + 2} (j) J = {x IR : x 2 } (k) K = {x IR : x + 2 x 3 } (l) L = { x IR : } 2x > 2 2x 3 2. Determine os seguintes limites. (a) lim x 2 3 x x 2 3 (b) lim x 0 5x x 7 x 2 (c) lim x x x 2 9 (d) lim x 3 x 3 x 2 + 2x 3 (e) lim x x x 2 2x (f) lim x 0 3x 3 + x 2 + x 2 4 x (g) lim x 0 x (h) lim x 0 + x x x 3. Determine os seguintes limites. e x (a) lim x 0 x (b) lim x 4 e x 4 6 x 2 (c) lim x 0 e 7x x (d) lim x 0 e x+4 e 4 x

30 .5. EXERCÍCIOS 27 x 3 (e) lim x 0 e x3 (f) lim x 0 ln( + 3x) x ln( + x 2 ) (g) lim x 0 x ln x (h) lim x 0 x 4. Determine, caso existam, os seguintes limites. (a) (b) (c) (d) x 2 + 3x lim x + 2x 2 lim x + lim x + x 3 + x x 3 + x 4 lim x 2x4 + 3x 2 + (e) (f) (g) (h) lim (x a)(x b) x x + ) e x ( lim x x + lim x ln x + lim x + ( + ) x x 2 x ln(x 2 + ) 5. Calcule os limites laterais das seguintes funções no ponto x 0 indicado. O que pode concluir sobre a existência de lim f(x)? x x0 { x (a) f(x) = 2 se x (x ) 2 se x >, x 0 = { 2 x 2 se x 2 (b) f(x) = 2 se x > 2, x 0 = 2 (c) f(x) = (d) f(x) = { 3x a (e) f(x) = etg x e tg x +, se x 0 x x a se x > 0, x 0 = 0 +x { 8 x se x < 5 (x ) 2 se x 5, x 0 = 5 x 0 = π/2. 6. Escreva as equações das assímptotas das seguintes funções. (a) f(x) = 2x (b) f(x) = 2x 6 2x (x ) 2 (c) f(x) = 2x2 x 2 (d) f(x) = 2x + + x 2 (e) f(x) = 3x2 2x+2 x+2 (f) f(x) = 2e x (g) f(x) = e x sen x (h) f(x) = ln 2+x 2 x 7. Considere a função real de variável real definida por g(x) = e x + ln x.

31 28 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL (a) Determine o domínio de g e calcule lim x 0 +g(x) e lim g(x). x + (b) Que pode concluir acerca da existência de assímptotas do gráfico de g. (c) Mostre que a função tem pelo menos um zero no intervalo ]0., [. 8. Determine, caso existam, os seguintes limites. x 3 27 (a) lim x 3 3 x 2 4 x (b) lim x 0 x (c) lim x + x sen x (d) lim x 0 x sen x (e) lim para a = ; 0; + ; x x sen x (f) lim x 0 cos x (g) lim x 0 +xx ( (h) e ) x+ x a x lim x + x + 5 tg x (i) lim x π 4 cos (2x) x 4 (j) lim com a IR x a x 3 (k) lim x + (x x 2 + x 2 ) (l) lim x 0 x e x 3 x (m) lim x 3 x 3 (n) lim x ( cos x (o) lim x 0 e x tg x cos(2x) sen x 2 (p) lim x 0 x sen(3x) (q) ) x lim x + (x3 3x 2 + 2) (r) lim x 0 e 3x 5x ln(2x + ) (s) lim x 0 3x arcsen(5x) (t) lim x 0 x (u) lim x 0 log(5 + x 2 ) log 5 x 2 9. Considere a função f definida por f(x) = x 2 se x > 2 x 3 4x 3 se x = 2 k x se x < 2 4. (a) Calcule lim f(x). x + (b) Determine k de modo que exista lim x 2 f(x).

32 .6. CONTINUIDADE 29.6 Continuidade A continuidade é uma das mais importantes propriedades no estudo de funções. Definição.6. (Continuidade num ponto) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de D f. Diz-se que a função f é contínua no ponto x = a, se ε > 0 δ > 0 : x D f x a < δ f(x) f(a) < ε. Dizemos que f é contínua no ponto de acumulação x = a, se e só se. a D f D f, 2. Existe lim x a f(x), 3. lim x a f(x) = f(a). Os pontos onde a função não é contínua dizem-se pontos de descontinuidade. Observação.6.2 Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentido considerar pontos do domínio quando estamos a estudar a continuidade de uma função. Se a é um ponto isolado de D f, então a função f é contínua em a. Definição.6.3 (Continuidade à esquerda) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que a função f é contínua à esquerda de a, se lim x a f(x) = f(a). Definição.6.4 (Continuidade à direita) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que a função f é contínua à direita de a, se lim x a +f(x) = f(a). Observação.6.5 Se f for contínua à esquerda e à direita do ponto a então f é contínua em a. Proposição.6.6 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real contínuas em x = a. Então, as funções f + g, f g, fg também são contínuas em x = a e se g(a) 0 a função f/g também é contínua em x = a.

33 30 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Proposição.6.7 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real. Se f é contínua em x = a e g é contínua em f(a) D g, então, g f é contínua em a. Definição.6.8 (Continuidade num Conjunto) Uma função f diz-se contínua no conjunto A D f pontos de A. se for contínua em todos os Apresentamos agora um resultado que será muito útil quando estamos a estudar a continuidade de funções no seu domínio. Proposição.6.9 As funções elementares apresentadas na Secção.2.3 são contínuas em todo o seu domínio..6. Teoremas Importantes Teorema.6.0 (Teorema do Valor Intermédio ou Teorema de Bolzano) Sejam f uma função contínua no seu domínio D f e a e b números reais pertencentes a um intervalo I D f tais que f(a) f(b). Então, para todo k entre f(a) e f(b), existe um c entre a e b tal que k = f(c).(veja Figura ) O Corolário seguinte é um caso particular do resultado anterior e permite-nos de forma fácil localizar zeros de uma função. Corolário.6. Sejam f uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a) f(b) < 0 então a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo ]a, b[.(veja Figura 2) Figura Figura 2

34 .7. EXERCÍCIOS 3 Teorema.6.2 (Teorema de Weierstrass) Seja f uma função contínua no seu domínio D f e [a, b] D f um conjunto fechado e limitado. Se f é contínua em [a, b], então a função f admite um máximo e um mínimo nesse conjunto..7 Exercícios. Considere a função real de variável real definida por { sen x se x 0 x f(x) = se x = 0. (a) Estude a continuidade de f. (b) f é contínua à esquerda de 0? E à direita de 0? Justifique. 2. Seja f(x) = Determine k de modo que, x x se x > e k se x = e x+k2 e k2 x se x <. (a) f seja contínua à esquerda mas não à direita de x =. (b) f seja contínua em IR. 3. Estude, quanto à continuidade, as seguintes funções. 2e x se x < 0 (a) f(x) = se x [0, 2] sen x se x > 2 { x (b) f(x) = 2 sen + 2x se x 0 x x se x = 0

35 32 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL { se x < 0 (c) f(x) = x 0 se x = 0 { x se x 0 (d) f(x) = sen x se x = 0 { e tg x se x (e) f(x) = π e tg x + 2 se x = π 2 (f) f(x) = x+ x 3 +x 4. Considere a função real de variável real definida por { 2sen(x 4π/3) se x > π g(x) = x π/3 3 6x/π se x π 3 (a) Prove que lim g(x) = 2. x π/3 (b) Considere o intervalo [, 5π/6]. Mostre que 5/π pertence ao contradomínio de g. 5. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = x ln ( 5 x). (a) Determine o domínio de f. (b) estude a existência de assímptotas oblíquas ao gráfico de f. 6. Mostre que, (a) a função f(x) = sen 3 x+cos 3 x se anula, pelo menos uma vez, no intervalo [π, 2π]. (b) a equação x 5 + x 3 = 0 tem, pelo menos, uma solução real. 7. Considere a função f definida por x 2 sen x se x < 0 f(x) = k 2 se x = 0 (x + ) x se x > 0. (a) Estude a continuidade de f no ponto x = 0. (b) Determine k de modo que f seja contínua à direita do ponto x = 0. (c) Prove que, em [ ] π, π 2, f tem pelo menos um zero. (d) Averigue se existem assímptotas do gráfico de f.

36 .7. EXERCÍCIOS Seja Determine a e b de modo que ax + b se x f(x) = 2x se < x < 2 bx 2 a se x 2. (a) f seja contínua em IR. (b) f seja contínua em IR\ { }. 9. Determine, se possível, a constante k que torna as seguintes funções contínuas. { k + x ln x se x (a) f(x) = (b) f(x) = (c) f(x) = (d) f(x) = { e x e x 2( x) se x < k 2 +/e se x k e +k se x < k { e x e x se x x k se x = { se x [ π/6, π/6]\{0} k se x = 0 e 2x sen(3x)

37 Capítulo 2 Cálculo Diferencial 2. Definição de Derivada Definição 2.. (Derivada) Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação do D f. Chama-se derivada de f no ponto a ao limite, se existir, f(x) f(a) lim x a x a ou f(a + h) f(a) lim. (2..) h 0 h Denota-se a derivada de f no ponto a por f (a) ou df (a). Se f tem derivada finita dx no ponto a, diz-se que f é diferenciável em a. Note que o segundo limite em (2..) poderá ser mais prático e de mais fácil resolução. Exercícios 2..2 ) Considere a função f(x) = x2. Prove, por definição, que f (0) =. x+2 4 { 3x 2) Considere a função f(x) = 2 + se x <. Prove, por definição, 6x 2 se x que f () = 6. Observação 2..3 Se f é diferenciável no ponto a, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) à recta que passa por esse ponto e tem declive igual a f (a). Assim, a recta tangente terá a equação y = f(a) + f (a)(x a). Ou seja, podemos dizer que a derivada de f no ponto a é o declive da recta tangente ao gráfico no ponto (a, f(a)). Quando a derivada é ± então a recta tangente é vertical, ou seja x = a. 34

38 2.. DEFINIÇÃO DE DERIVADA 35 Definição 2..4 (Derivada à Esquerda) Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação do D f. Chama-se derivada à esquerda de f no ponto a ao limite, se existir, ou f(x) f(a) lim x a x a e denota-se por f (a ) ou df dx (a ). f(a + h) f(a) lim, h 0 h Definição 2..5 (Derivada à Direita) Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação do D f. Chama-se derivada à direita de f no ponto a ao limite, se existir, ou f(x) f(a) lim x a + x a e denota-se por f (a + ) ou df dx (a+ ). f(a + h) f(a) lim, h 0 + h Nota 2..6 Note que f (a) existe se, e só se, existem e são iguais f (a ) e f (a + ). Definição 2..7 (Função Derivada) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e A o conjunto dos números reais pertencentes a D f que admitem derivada finita. Designa-se por função derivada de f, denotada usualmente por f à função Exercícios 2..8 f : A IR x y = f (x). ) Considere a função f(x) = 3x 2 + x. Defina a função derivada. 2) Considere a função f da alínea 2) do Exercício Defina a função derivada.

39 36 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Apresentamos agora um dos mais importantes e úteis teoremas que relaciona funções contínuas e funções diferenciáveis. Teorema 2..9 Sejam f : D f IR IR e a D f. Se f é diferenciável no ponto a, então f é contínua nesse ponto. Note que o recíproco do teorema anterior pode não ser verdade. Ou seja, Uma função pode ser contínua num dado ponto e não ter derivada finita nesse ponto. Exemplo 2..0 A função f(x) = x 3 é contínua em x = 3 mas não tem derivada no ponto x = Regras de Derivação Vamos agora apresentar uma tabela com as regras que nos irão permitir calcular as derivadas das funções elementares apresentadas anteriormente. Tabela 2.. x =, c = 0, c = constante (f ± g) = f ± g (f g) = f g + f g ( f g ) = f g f g g 2 (cf) = cf, c = constante (f n ) = n f n f, n IN ( n ) f = f n n, n IN+ f n ( ) e f = e f f ( ) c f = c f f log c, c = constante (f g ) = f g g log f + g f g f (logf) = f f (lnf) = f f (log c f) = f, f log c (senf) = f cosf (cosf) = f senf (tgf) = f cos 2 f (cotgf) = f sen 2 f (arcsenf) = f f 2 (arccosf) = f f 2 c = constante

40 2.. DEFINIÇÃO DE DERIVADA 37 (arctgf) = f +f 2 (arccotgf) = f +f 2 (f(g)) = f (g) g Exercício 2..2 Considere as funções dos exercícios anteriores. Apresente, quando possível, as funções derivada. Proposição 2..3 (Teorema de Derivação da Função Inversa) Sejam f uma função real de variável real, injectiva num intervalo I D f e f a função inversa de f quando restringida ao intervalo I, ou seja f : f(i) I. Se f é derivável num ponto de acumulação x de I e f (x) 0, então f é derivável no ponto y = f(x) e temos, (f ) (y) = f (f (y)). Nota 2..4 Na prática, para calcular a derivada da inversa de uma função elementar, fazemos (f ) (y) = f (x) e depois trocamos a variável x pela correspondente variável y, ou seja, fazemos f (x) = f (f (y)). Exemplo 2..5 Para calcular a derivada da função inversa de f(x) = 3x 2 temos (f ) (y) = f (x) = 6x. Como y = 3x 2 x = 3y 3, temos (f ) (y) = f (x) = 6x = 6 3y 3 = 2 3y. Exercício 2..6 Apresente a derivada da função inversa de f(x) = arcsen x.

41 38 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Proposição 2..7 (Teorema de Derivação da Função Composta) Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que g (D g ) D f, x um ponto de acumulação de D g e y = g(x) um ponto de acumulação de D f. Se g é derivável no ponto x e f é derivável no ponto y = g(x), então a função composta f g é derivável em x e temos, (f g) (x) [f(g(x))] = f (g(x))g (x). Exercício 2..8 Considere as funções f(x) = 4x 3 + x 4 e g(x) = x+3 x 2. Calcule (f g). Apresentamos uma definição que veremos ser muito útil quando for necessário obter aproximações. Definição 2..9 (Diferencial) Seja f : D f IR IR uma função diferenciável num ponto a. Chama-se diferencial da função f no ponto x = a à aplicação linear d y (a, ) : IR IR x d y (a, x) = f (a) x. Exemplo Para calcular uma aproximação de cos 29 o, consideramos a função f(x) = cos x, o ponto a = 30 o = π (o ângulo mais próximo de 6 29o onde sabemos qual o valor do cosseno) e x = o = π, chamado de acréscimo de x. Sabemos que, 80 cos 29 o = f(a + x) f(a) + d y (a, x) 2..2 Teoremas Principais = f(a) + f (a) x = cos π ( 6 + sen π ) 6 3 = 2 + π 360. ( π ) 80 Teorema 2..2 Seja f uma função real de variável real, derivável num ponto de acumulação x = a de D f. Se f tem um extremo local em x = a, ou seja, se f(a) é máximo ou mínimo, então f (a) = 0. Teorema (Teorema de Rolle) Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[, tal que f(a) = f(b). Então existe, pelo menos, um ponto c com a < c < b tal que f (c) = 0.

42 2.. DEFINIÇÃO DE DERIVADA 39 Corolário Entre dois zeros consecutivos de uma função derivável num intervalo aberto, existe, pelo menos, um zero da função derivada. Corolário Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função derivável num intervalo aberto, existe no máximo um zero da função. Teorema (Teorema de Lagrange) Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então, existe pelo menos um ponto c, com a < c < b, tal que f(b) f(a) b a = f (c).

43 40 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Teorema (Teorema de Cauchy) Sejam f e g funções reais de variável real, contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[. Se g (x) 0 para qualquer x ]a, b[, então existe c, com a < c < b, tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Teorema (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas funções reais de variável real, deriváveis num intervalo aberto ]a, b[, onde a ou b poderão ser ou +, com a < b. Seja c um dos extremos do intervalo ]a, b[. Se, então, g (x) 0 para todo x ]a, b[, lim h c f(x) g(x) = 0 0 f(x) ou lim h c g(x) =, f(x) lim h c g(x) = lim f (x) h c g (x). Nota O resultado anterior também é válido quando calculamos o limite em pontos pertencentes ao interior do domínio das funções. Teorema (Regra de L Hôpital) Sejam f e g duas funções reais de variável real, contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[ com a < b. Seja c um dos extremos do intervalo [a, b]. Se, g (c) 0, f(c) = g(c) = 0, então, f(x) lim h c g(x) = f (x) g (x). Exemplo A maior parte dos limites notáveis resolvem-se tendo em conta a regra de Cauchy. Temos, por exemplo, sen x lim x 0 x = lim x 0 cos x = e lim x 0 ln(x + ) x = lim x 0 x+ =.

44 2.2. DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR Derivada de Ordem Superior Definição 2.2. (Derivada de Ordem 2) Seja f uma função real de variável real derivável e com função derivada f (x). Se a função f é derivável num ponto de acumulação x = a de D f, dizemos que a função f é duas vezes derivável no ponto x = a. Esta derivada designa-se por derivada de segunda ordem, ou segunda derivada, da função f em x = a e define-se por ou f (a) = lim x a f (x) f (a) x a f f (a + h) f (a) (a) = lim. h 0 h Definição (Derivada de Ordem n) Seja f uma função real de variável real e n N. Dizemos que a função f é n vezes derivável no ponto x = a se a função f for (n ) vezes derivável numa vizinhança do ponto x = a e se existir f (n) f (n ) (a + h) f (n ) (a) (a) = lim. h 0 h Definição (Classe de Funções) Uma função f : D f IR IR diz-se de classe C n, e escreve-se f C n (D f ), se f é n vezes diferenciável em D f e a derivada de ordem n, f (n), é contínua em D f. Quando n = 0, escrevemos f C 0 (D f ) ou, para simplificar, f C(D f ) para designar que f é contínua em D f. Quando f admite derivadas de todas as ordens em D f, então dizemos que f é indefinidamente diferenciável ou de classe C. Exercício Determine a função derivada de segunda ordem para a função { f(x) = x 2 se x 0 + cos x se x < 0.

45 42 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Definição (Fórmula de Taylor) Seja f : I IR IR uma função de classe C n, n+ vezes diferenciável no interior de I e a um ponto de I. Para cada x I \ {a}, existe c estritamente entre a e x tal que f(x) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) 2! O polinómio p n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n + f (n+) (c) n! (n + )! (x a)n+. (x a) f (n) (a) (x a) n n! é chamado de Polinómio de Taylor de grau n da função f em trono de x = a. Ao último elemento da Fórmula de Taylor, denotado usualmente por R n (x), damos o nome de Resto de Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a. Definição (Fórmula de Mac-Laurin) Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de Mac Laurin e o polinómio de Taylor designa-se por polinómio de Mac-Laurin. Nota Ao polinómio de Taylor de grau um de uma função f em torno de a chamamos linearização ou aproximação linear de f em torno de x = a, ou seja, a função dada por L(x) = f(a) + f (a)(x a) é a linearização de f em torno de x = a. Nestas condições escrevemos f(x) f(a) + f (a)(x a). Ao polinómio de Taylor de grau dois de uma função f em torno de x = a, isto é, à função dada por Q(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2, 2 chamamos aproximação quadrática de f em torno de x = a e escrevemos f(x) f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2. 2 Proposição As seguintes funções elementares admitem as fórmulas de Mac-laurin de ordem n indicadas.

46 2.3. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS 43 ) x = + x + x x n + R n (x), 2) e x = + x + x xn n! + R n (x), 3) ln( + x) = x x ( )n xn n! + R n (x), 4) sen x = x x3 3! + x5 5! ( ) n x2n+ (2n+)! + R 2n+(x), 5) cos x = x2 2! + x4 4! ( ) n x2n (2n)! + R 2n(x). Observação Temos, por exemplo, para f(x) = e x a aproximação linear e x + x, e a aproximação quadrática e x + x + x Aplicação das Derivadas A principal aplicação das derivadas é feita na representação geométrica das funções. Vamos ver que os resultados são úteis para estudar a monotonia e os extremos locais. Teorema 2.3. Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Se f (x) = 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f(x) =constante em ]a, b[. Se f (x) > 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f é estritamente crescente em ]a, b[. Se f (x) < 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f é estritamente decrescente em ]a, b[. Se f (x) > 0 para todos x < c e f (x) < 0 para todos x > c, então f tem um máximo local em x = c. Se f (x) > 0 para todos x > c e f (x) < 0 para todos x < c, então f tem um mínimo local em x = c.

47 44 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Teorema (Teorema de Fermat) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real diferenciável num ponto a interior a D f. Se f(a) é um extremo local de f, então f (a) = 0. Nota A condição f (a) = 0 não é suficiente para a existência de extremo. Por exemplo a função f(x) = x 3, tem derivada nula no ponto x = 0, mas f(0) não é extremo local. Teorema Seja f : D f IR IR uma função real de variável real 2 vezes derivável num ponto a interior a D f com f (a) = 0. Temos, Se f (a) > 0, a é um minimizante local, Se f (a) < 0, a é um maximizante local. Definição Sejam f uma função real de variável real e x = a, um ponto de acumulação do D f, tal que existe f (a). Diz-se que f é uma função convexa no ponto x = a ou que tem a concavidade voltada para cima no ponto x = a, se, numa vizinhança de x = a, o gráfico de f está sobre a recta tangente ao gráfico da função de f nesse ponto. Se, numa vizinhança de x = a, o gráfico de f está por baixo da recta tangente ao gráfico da função de f em x = a, diz-se que f é uma função côncava em x = a ou que tem a concavidade voltada para baixo nesse ponto. Teorema Seja f uma função real de variável real, com domínio D f, e 2 vezes derivável num intervalo I Df. Se f (x) > 0 para x I, então f tem a concavidade voltada para cima em I. Se f (x) < 0 para x I, então f tem a concavidade voltada para baixo em I. Definição (Pontos de Inflexão) Os pontos onde a concavidade do gráfico da função passa de côncava a convexa, ou vice-versa, são designados por pontos de inflexão da função. Exercício Para cada uma das seguintes funções, apresente o domínio, os zeros, estude a continuidade, a paridade, a monotonia, determine os extremos locais, indique os pontos de inflexão, o sentido das concavidades e as assimptotas. Por fim, represente geometricamente as funções.

48 2.4. EXERCÍCIOS 45 ) f(x) = 2 e x4, 2) f(x) = x 3 6x 2, 3) f(x) = x2 x. 2.4 Exercícios. Recorrendo à definição, calcule o valor da derivada das seguintes funções nos pontos indicados. { (a) f(x) = 3x 2 + em x = 2 x se x 4 (e) f(x) = (b) f(x) = x x em x = + se x < 4 4 x+ (c) f(x) = em x = 4 x em x = 2 (d) f(x) = e x em x = 0 (f) f(x) = x 2 + 3x em x = 2. Se possível, confirme os resultados obtidos no exercício anterior usando as regras de derivação. 3. Calcule a e b de modo que a função real de variável real f : IR IR definida por { x 2 se x < 2 f(x) = ax + b se x 2 seja diferenciável e determine para esses valores de a e b a função derivada. 4. Usando o teorema de derivação da função inversa, determine as derivadas das inversas das seguintes funções. (a) f(x) = 3 2x 3 (b) f(x) = log(x ) (c) f(x) = arctg(3x + ) (d) f(x) = e x 5. Confirme os resultados anteriores definindo primeiro a função inversa e derivando depois esse resultado. 6. Usando o teorema de derivação da função composta, determine as derivadas das funções f g considerando (a) f(x) = sen(x 2 + ) e g(x) = ln(x 2 ) (b) f(x) = x e g(x) = x 2 (c) f(x) = 3x 2 + cos x e g(x) = x 3 7. Confirme os resultados anteriores definindo primeiro a função composta e derivando depois esse resultado. 8. Analise a diferenciabilidade das seguintes funções e apresente a respectiva função derivada.

49 46 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL { x 2 se x 2 (a) f(x) = 4x + 2 se x > 2 (b) f(x) = (c) f(x) = { x +e x se x 0 0 se x = 0 { e x 2 se x 0 0 se x = 0 (d) f(x) = (e) f(x) = { x 3 ln x se x 0 0 se x = 0 { sen se x x 0 se x = 3 x se x > 0 (f) f(x) = 5 se x = 0 tg πx se < x < Determine caso existam, os extremos e os pontos de inflexão das seguintes funções. (a) f(x) = x 2 (b) f(x) = xln x (c) f(x) = x2 4 x (d) f(x) = e x (2x 2 + 3x) 0. Utilize as regras de derivação para calcular as derivadas de ordem e ordem 2 das seguintes funções. (a) f(x) = sen 2 (4x) (b) f(x) = sen x cos(3x) (c) f(x) = + 4x tg 2 (x 3 ) (d) f(x) = 5arcsen(2x) (e) f(x) = ln x (f) f(x) = cos(arctg x) (g) f(x) = 5 x+ x (h) f(x) = e 3x cos 2 4 x (i) f(x) = arctg x 2 + (j) f(x) = x 2 (k) f(x) = x (l) f(x) = e 2x 3 (m) f(x) = log 3 x (n) f(x) = x2 +e sen x e x. Para as funções apresentadas nas alíneas (a), (b) e (c) do exercício 8 determine a função derivada de 2 a ordem. 2. Sendo f(x) = arcsen x, determine a recta tangente ao gráfico de f no ponto 2 de intersecção com o eixo das abcissas. 3. Calcule um valor aproximado de, (a) sen 3 o (c) (2, 003)5 3(2, 003)2 + (b) tg 44 o 2 (d) 4. Prove que, 0,99+(0,99) 2

50 2.4. EXERCÍCIOS 47 (a) f(x) = x 3 + 3x + 2 tem uma só raiz real. (b) e x = x admite apenas a solução x =. (c) log x 2 = x tem 3 raízes em IR. 5. Calcule os seguintes limites usando a regra de Cauchy ou de L Hôpital. (a) lim x x 5 x 2 (b) (c) lim x + x x lim x + x (arctg e x π 2 6. Considere a função g : IR IR definida por ) { xe x se x 0 g(x) = x se x > 0. x+ (a) Mostre que g é contínua para x = 0. (b) Prove que g é diferenciável para x = 0. (c) Justifique, convenientemente, a afirmação c ] 2, 3[: g(3) g( 2) 3 ( 2) = g (c). (d) Calcule lim g(x). x (e) Mostre que y = é a única recta assíntota ao gráfico de g. (f) Determine, caso existam, os pontos de inflexão do gráfico de g. 7. Considere a função g : IR IR definida por g(x) = { x + e x se x se x =. (a) Mostre que g é contínua à esquerda de x = mas não é contínua. (b) Calcule lim g(x). x (c) Prove que g se anula em ], [. (d) Determine as assímptotas do gráfico de g.

51 48 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL 8. Considere a função f(x) = 2x x2. Calcule o domínio, o contradomínio, os x zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais e o sentido das concavidades. Com a ajuda desses elementos, esboce o respectivo gráfico. 9. Atendendo aos aspectos referidos no exercício anterior, esboce o gráfico das funções f(x) = ex x f(x) = x2 +x+ (x+) 2 f(x) = (e x ) 2 f(x) = log x x 20. Determine o polinómio de Taylor de f, de grau 5, em torno do ponto a para, (a) f(x) = + x 3 e a = (c) f(x) = e x e a = (b) f(x) = e a = (d) f(x) = e a = 0 x x 2. Determine a aproximação quadrática da função f nos pontos indicados. (a) f(x) = x 3 e a = (b) f(x) = ln x e a = (c) f(x) = e 3x e a = 0 (d) f(x) = 3 x e a = 4

52 Capítulo 3 Cálculo Integral 3. Primitivas Definição 3.. (Primitivas) Seja f uma função real de variável real definida num intervalo [a, b] de IR. Chama-se função primitiva de f em [a, b], ou somente primitiva de f, a qualquer função F definida em [a, b] que verifique a equação F (x) = f(x) x [a, b]. Dizemos que uma função f é primitivável em [a, b], se existir, pelo menos, uma função F :[a,b] IR tal que F = f. Denotamos o conjunto de todas as primitivas de uma função f, no intervalo [a, b], por, f(x)dx ou P [f(x)] com x [a, b]. Proposição 3..2 Seja F uma primitiva de uma função f num intervalo [a, b] de IR. Então, o conjunto de todas as primitivas de f em [a, b] é constituído por todas as funções da forma F (x) + constante. Proposição 3..3 (Linearidade) Sejam f e g duas funções primitiváveis num intervalo [a, b] de IR e α IR. Temos, i) f(x) + g(x)dx = f(x)dx + g(x)dx, ii) αf(x)dx = α f(x)dx. 49

53 50 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL 3.. Primitivas Imediatas Pela definição podemos dizer que a primitivação é a operação inversa da derivação. Assim, as primeiras fórmulas para as primitivas, são obtidas por inversão das fórmulas de derivação e são designadas por primitivas imediatas. Existem contudo funções que, não sendo imediatamente primitiváveis, podem ser reduzidas a primitivas imediatas usando primeiro propriedades dessas funções. Estão neste caso algumas funções trigonométricas e hiperbólicas. Estas primitivas são habitualmente designadas por primitivas quase imediatas. Exemplo 3..4 Vamos considerar a função f(x) = x. Vamos ter F (x) = f(x)dx = x dx pois F (x) = x = f(x). = 2 x2 + c, Vamos agora apresentar uma tabela com as regras que nos irão permitir calcular as primitivas imediatas. Tabela dx = c k dx = kx + c k IR f f n dx = f n+ n + + c n IR\{ } f dx = ln f + c f f e f dx = e f + c a f f dx = ln a af + c a IR + f sen fdx = cos f + c f cos fdx = sen f + c f dx = tg f + c cos 2 f f dx = cotg f + c sen 2 f

54 3.. PRIMITIVAS 5 f dx = arcsen f + c = arccos f + c f 2 f dx = arctg f + c = arccotg f + f 2 Nota 3..6 Estas fórmulas também podem ser obtidas da tabela das derivadas. Basta ler a tabela da direita para a esquerda e somar uma constante na a coluna. Ou seja (f n ) = nf n f (lnf) = f c + f n = nf n f dx c + lnf = c + f n n = f n f dx c + f p+ p + = f p f dx, Exemplo 3..7 Determine as seguintes primitivas, f f f dx.. x 2 + x 2 dx, 2. 8x cos(4x 2 3) dx, 3. 2x x dx, 4. x 2 3 x 3 dx, 5. 3x 2 x 3 +2 dx, 6. ln 2 x x dx, 7. x 3 + 2x + 2 dx, 8. 8x sen(4x 2 + 2) dx, 9. e 3x dx, 0. 2x 2 x 3 + dx,. cos x sen x dx, 2. 4 x 3 dx, 3. 9x 2 dx, x 2 dx. Teorema 3..8 Seja f uma função primitivável num intervalo [a, b]. Então para cada x 0 I e cada y 0 IR existe uma, e uma só, primitiva de F tal que F (x 0 ) = y 0. Exercício 3..9 ) Calcule f sabendo que f (x) = 4x + 2 e f() = 4.

55 52 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL 2) Calcule a primitiva F de f(x) = sen x tal que F (π) = π. Ou por outras palavras, calcule f tal que f (x) = sen x e f(π) = π. 3) Calcule f tal que f (x) = 2x 2 + 6x 4, f(0) = 4 e f() = Primitivação por Partes O método de primitivação por partes dá-nos uma forma de podermos determinar a primitiva de uma expressão que envolva a multiplicação de duas ou mais funções. Proposição 3..0 (Método de Primitivação por Partes) Sejam f uma função primitivável num intervalo [a, b] de IR e g outra função, derivável no mesmo intervalo. A função f g é primitivável no intervalo [a, b] e a sua primitiva é determinada pela fórmula ( ) f(x) g(x)dx = f(x)dx g(x) f(x)dx g (x) dx. (3..) Observação 3.. Uma forma mais simplificada e elegante para apresentar a fórmula (3..) é f gdx = fg fg dx. Nota 3..2 A vantagem deste método na resolução de primitivas só é garantida pela escolha correta da função que se vai derivar. Esta função deve ser escolhida de modo que a primitiva obtida no segundo termo da fórmula seja mais simples de resolver que a primitiva inicial. Assim, temos a seguinte tabela de recomendações. Tabela 3..3 Considerando P (x) um polinómio em x, trigo(x) uma função trigonométrica em x e (trigo(x)) uma função trigonométrica inversa em x, temos P (x)e kx dx f = e kx g = P (x) P (x)trigo(x) dx f = trigo(x) g = P (x) P (x)(trigo(x)) dx f = P (x) g = (trigo(x)) P (x)ln(x) dx f = P (x) g = ln(x) Exemplo 3..4 Determine as primitivas

56 3.. PRIMITIVAS 53. xe x dx, 2. x cos x dx, 3. x ln x dx, 4. x 2 e x dx. Observação 3..5 Por vezes poderá ser necessário usar o método de primitivação por partes mais do que uma vez e ser necessário algum engenho para determinar a primitiva. Exemplo 3..6 Determine a primitiva e x sen x dx. Observação 3..7 O método de primitivação por partes poderá também ser utilizado para determinar as primitivas de expressões que envolvam apenas uma função. Neste caso escolhemos para derivar a única função da expressão e para primitivar a função identicamente igual a. Este raciocínio é particularmente útil para determinar todas as primitivas das inversas das funções trigonométricas e das funções hiperbólicas, assim como para a função logaritmo. Exemplo 3..8 Determine as primitivas ln x dx, ln(x 3 ) dx e arcsen x dx Primitivação por Substituição Apresentamos agora o método de primitivação que consiste na mudança de variável de forma a facilitar a resolução da primitiva. Proposição 3..9 (Método de Primitivação por Substituição) Sejam [a, b] e [c, d] dois intervalos de IR, f : [a, b] [c, d] uma função primitivavel e g : [c, d] [a, b] uma função bijectiva e derivável. A primitiva da função f pode ser determinada pela fórmula f(x)dx = f(g(t))g (t)dt. Depois de obter a primitiva por este método é necessário voltar à variável inicial, fazendo a substituição inversa t = g (x). Exemplo Fazendo as mudanças de variáveis indicadas, determine as primitivas

57 54 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL a) x x+ dx, x + = t, d) x 3 x dx, x = + t 2, b) dx, x = ln t, e x + c) dx, x = cos 2 t, x( x) e) e x +e x dx, e x = t. Observação 3..2 Note que uma mesma primitiva pode ser determinada usando os dois Métodos de Primitivação, ou seja, o Método de Primitivação por Partes e usando o Método de Primitivação por Substituição Primitivação de Funções Racionais Vamos recordar a definição de função racional apresentada em Definição.2.8. Definição (Função Racional) Uma função racional é definida por f : D IR IR x f(x) = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0, com a 0, a,..., a n, b 0, b,..., b m IR, n, m IN 0 e onde o numerador e o denominador não são divisíveis entre si. Para determinar as primitivas de funções racionais temos os seguintes casos: Caso : Se o grau de P n é maior ou igual ao grau de Q m, ou seja, se n m, é possível dividir os polinómios e calcular a primitiva. Exemplo Determine a primitiva x 4 2 x 2 + dx. Caso 2: Se o grau de P n é igual ao grau de Q m menos, ou seja, se n = m, podemos usar a fórmula da primitivação imediata f dx = ln f + c. f Exemplo Determine a primitiva x x 2 + dx.

58 3.2. INTEGRAIS 55 Caso 3: Se o grau de P n é menor ao grau de Q m menos, ou seja, se n < m, temos de ter em conta outros factores. i) Se o polinómio Q m tem m raízes reais distintas, x, x 2,..., x m, podemos escrever a função na forma P n (x) Q m (x) = P n (x) (x x )(x x 2 )... (x x m ). Recorrendo ao Método dos Coeficientes Indeterminados decompomos a função f em P n (x) Q m (x) = A + A A m. x x x x 2 x x m ii) Se o polinómio Q m tem raízes reais repetidas, por exemplo, x 0 de multiplicidade k e x, x 2,..., x m k as restates raízes distintas podemos escrever a função na forma P n (x) Q m (x) = P n (x) (x x 0 ) k (x x )(x x 2 )... (x x m k ). Recorrendo ao Método dos Coeficientes Indeterminados decompomos a função f em P n (x) Q m (x) = A (x x 0 ) + A 2 k (x x 0 ) A k + A k k x x 0 x x x x m k iii) Se o polinómio Q m tem raízes complexas a situação é mais delicada. Poderá se necessário fazer uma mudança de variável aliado ao Método dos Coeficientes Indeterminados. Veremos o método mais simples resolvendo o último caso do Exemplo A m Exemplo Determine as primitivas x 2 + 2x 3 dx, x (x + ) 2 (2x + 3) dx e x + x 3 (x 2 + ) dx. 3.2 Integrais 3.2. Integral de Riemann Definição 3.2. (Partição do intervalo)

59 56 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL Seja [a, b] um intervalo contido em IR com a < b. Designa-se por partição do intervalo [a, b] ao conjunto finito de n + pontos, x 0, x,..., x n, que divide [a, b] em n sub-intervalos tais que, a = x 0 < x <... < x n < x n = b, com n IN. A partição é denotada por P. Para cada um dos n intervalos, [x i, x i ] i =,... n definimos os respectivos comprimentos por x i = x i x i, Observação Note que a localização dos pontos x 0, x,..., x n é arbitrária, ou seja, a divisão do intervalo [a, b] não é única. Temos ainda que os sub-intervalos [x i, x i ] podem ter comprimento diferentes. Definição (Soma de Riemann) Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. soma de Riemann da função f no intervalo [a, b] ao valor Designamos por n f(ξ i ) x i = f(ξ ) x + f(ξ 2 ) x f(ξ n ) x n, i= onde ξ i são pontos escolhidos aleatoriamente nos intervalos [x i, x i ]. Para podermos definir a noção de integral vamos denotar por p o comprimento do maior intervalo contido na partição P, ou seja, p = max i x i.

60 3.2. INTEGRAIS 57 Definição (Função Integrável) Sejam f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR e P uma partição do intervalo. Diz-se que a função f é integrável à Riemann no intervalo [a, b], se existir e for finito o limite lim p 0 n i= f(ξ i) x i, independentemente de como a partição P do intervalo [a, b] é feita ou de como os pontos ξ i, pertencentes aos sub-intervalos [x i, x i ], são escolhidos. No caso de existir, designamos o valor do limite por integral da função f e denotamos o resultado por b a f(x) dx. A função f designa-se por função integranda, a e b são, respectivamente, o limite inferior e o limite superior de integração Propriedades Apresentamos agora algumas das mais importantes propriedades dos integrais. Proposição Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. Se a função f é integrável à Riemann no intervalo [a, b], então é limitada em [a, b]. Proposição Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. Se f é contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b]. Proposição Seja f uma função monótona num intervalo fechado [a, b] contido em IR. Então f é integrável em [a, b]. Proposição Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] contido em IR tais que f(x) = g(x) para quase todo x [a, b]. Então b a f(x) dx = b a g(x) dx.

61 58 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL Proposição Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] e c uma constante real. Então as funções f + g e c f também são integráveis em [a, b] e temos, i) ii) iii) b f(x) + g(x) dx = b f(x) dx + b a a a b b c f(x) dx = c a a b a f(x) dx = a b f(x) dx. f(x) dx, g(x) dx, Proposição Sejam a, b e c números reais tais que a < c < b e f uma função integrável em [a, b]. Então, c a f(x) dx + b c f(x) dx = Proposição 3.2. Seja f uma função integrável em [a, b]. Então, b a f(x) dx. f(x) 0 x [a, b] b a f(x) dx 0. Proposição Sejam f e g duas funções integráveis no intervalo [a, b]. Então, i) f(x) g(x) x [a, b] ii) b a b f(x) dx f(x) dx. a b a f(x) dx b a g(x) dx, Proposição (Teorema da Média do Integral) Seja f uma função contínua num intervalo [a, b], com a < b. Então existe, pelo menos, um ponto c ]a, b[ tal que f(c) = b a b a f(x) dx.

62 3.2. INTEGRAIS 59 Proposição (Teorema Fundamental do Cálculo Integral) Seja f uma função integrável num intervalo [a, b] e contínua em ]a, b[. Então, a função contínua F (x) = x é derivável em cada ponto de ]a, b[ e temos, a f(s) ds, a x b, F (x) = f(x) para todo x ]a, b[. Quando temos para g uma função derivável então, F (x) = g(x) a f(s) ds, a x b, F (x) = f(g(x)) g (x) para todo x ]a, b[. Proposição (Fórmula de Barrow) Seja f uma função limitada num intervalo [a, b] e contínua em ]a, b[. Se F é uma função contínua em [a, b] tal que F (x) = f(x) em x ]a, b[, então b a f(x) dx = F (b) F (a) Cálculo de Integrais Apresentamos agora, de forma sucinta, os métodos usados para o cálculo de integrais recorrendo à Fórmula de Barrow e aos métodos de primitivação apresentados anteriormente. Observação Para integrar, devemos primeiro primitivar e só depois recorrer à fórmula de Barrow. Ou seja, calcular a primitiva caso ela seja imediata, para depois substituir x pelo limite superior do intervalo menos x substituído pelo limite inferior do intervalo. Exemplos ) [ 2 0 x2 dx = 2) 0 xex2 dx = 2 ] 2 x 3 = = [ e x2 ] 0 = e 2 2.

63 60 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL Proposição (Método de Integração por Partes) Sejam f uma função contínua em [a, b] e g uma função com derivada contínua em [a, b]. Então f g é integrável em [a, b] e temos b a [ f(x)g(x) dx = ] x=b f(x) dx g(x) x=a b a ( ) f(x) dx g (x) dx. Proposição (Método de Integração por Substituição) Sejam f uma função contínua em [a, b] e ϕ uma aplicação bijectiva sobre [a, b]. Se ϕ é uma função derivável com derivada contínua, então temos Exercício Calcule ) e ln x dx. b a f(x) dx = ϕ (b) ϕ (a) 2) x2 dx considerando x = sen t Aplicação dos Integrais f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Os integrais são uma ferramenta utilizada para o cálculo de áreas. Definição (Cálculo de Áreas) Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo [a, b]. A área da região R limitada pelas rectas verticais x = a e x = b, pela recta horizontal y = 0 e pelo gráfico de f é dada pelo integral A(R) = b a f(x) dx. Se f(x) 0 no intervalo [a, b], vamos ter b f(x) dx 0. Assim, para calcular a a área da região consideramos o seu valor absoluto, ou seja, A(R) = b a f(x) dx. Se f(x) muda um número finito de vezes de sinal sobre o segmento [a, b] o integral b f(x) dx irá decompor-se em integrais parciais sobre o mesmo intervalo. O integral a é positivo sobre os segmentos onde f(x) 0 e negativo naqueles em que f(x) 0. O integral sobre o segmento completo representa a diferença das áreas que se

64 3.2. INTEGRAIS 6 encontram de um lado e do outro do eixo Ox. Ou seja, é necessário encontrar-se a soma dos valores absolutos dos integrais sobre os intervalos parciais indicados, o que corresponde a calcular A(R) = b a f(x) dx. Se a região R estiver compreendida entre quaisquer duas funções continuas f e g, com x [a, b], então a área de R é dada por Exercício A(R) = b a f(x) g(x) dx. ) Calcule a área da figura limitada pelas curvas y = 4 x 2 e y = 0. 2) Calcule a área da figura limitada pelas curvas y = 2 x 2 e y = x 2. Definição (Cálculo de Comprimento de Arcos) Seja f uma função derivável com derivada contínua num intervalo [a, b]. O comprimento de arco s da curva y = f(x) entre x = a e x = b é dado por s = b a + (f (x)) 2 dx. Exercício Calcule o comprimento do arco da curva y = 4 x 2 entre os pontos x = 0 e x = 2. Definição (Volumes de Sólidos de Revolução por uma Curva) Considerando uma curva C descrita por f(x) = y não negativa no intervalo [a, b]. O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo 0x no intervalo [a, b] é dado por V (S) = π b a f 2 (x) dx.