Parte I. Álgebra Linear. Sistemas Dinâmicos Lineares. Autovalores, autovetores. Autovalores, autovetores. Autovalores e Autovetores.

Transcrição

1 Sistemas Dinâmicos Lineares Romeu Reginatto Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos Universidade Estadual do Oeste do Paraná Parte I Álgebra Linear Adaptado das notas de aula de Sistemas Dinâmicos Lineares de Edson Roberto de Pieri e Eugênio de Bona Castelan Neto, PPGEAS/UFSC, com autorização Março de 211 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Autovalores, autovetores Autovalores, autovetores Autovalores e Autovetores Seja A R n n uma matriz quadrada Um escalar λ C é um autovalor (valor próprio) de A se existe um vetor x C n não nulo tal que Ax = λx Qualquer vetor x C n que satisfaça Ax = λx é chamado de autovetor (vetor próprio) de A associado ao autovalor λ Note que: Ax = λx pode ser visto como (A λi)x = x C n,x : (A λi)x = det(a λi) = Logo, A λi é singular sempre que, e somente quando, λ é um autovalor de A Se x é um autovetor de A, a transformação linear A aplicada sobre x produz apenas um escalonamento de x, de tamanho λ, sem modificar a direção de x Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

2 Autovalores, autovetores Polinômio e Equação característica Para a matriz A R n n : (λ) det(λi A) é o polinômio característico de A O polinômio característico é sempre mônico (λ) = é a equação característica Autovalores, autovetores Exemplo: Considere a matriz A [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 [ ] a11 λ a ; A λi = 12 a 21 a 22 λ Note que: Grau de (λ) é n O polinômio característico possui n raízes Toda raíz de (λ) é autovalor de A, pois anula o determinante de A λi Todo autovalor de A é tal que det(a λi) =, logo é raíz do polinômio característico Toda matriz A R n n possui n autovalores, correspondentes às raízes de seu polinômio característico Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 det(a λi) = (λ a 11 )(λ a 22 ) a 12 a 21 det(a λi) = λ 2 Tr(A)λ+det(A) n det(a) = a ij Co ij ; Co ij : cofator de a ij j=1 Co ij = ( 1) i+j M ij ; M ij : det de A sem a linha i e a coluna j Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Autovalores, autovetores Autovalores, autovetores Autovetores à esquerda Note que λ C é um autovalor de A R n n se (λ) = det(λi A) = Essa condição é equivalente à existência de y C tal que y A = λy = y (λi A) = e qualquer y que satisfaça a relação acima é chamado de autovetor à esquerda de A (associado ao autovalor λ) Algumas propriedades: Se v C n é um autovetor associado a λ C, então αv também é, para qualquer α R, α Se v C n é um autovetor associado a λ C, então v (complexo conjugado de v) é um autovetor associado a λ Como det(a) = det(a ), A e A possuem o mesmo polinômio característico e os mesmos autovalores Se A é simétrica, então todos os autovalores são reais Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

3 Autovalores, autovetores Polinômio característico e forma companheira As matrizes na forma companheira α 1 α 1 1 α 2 ; 1 α 3 α 3 α 2 α 1 α e suas transpostas têm o seguinte polinômio característico: (λ) = λ 4 +α 3 λ 3 +α 2 λ 2 +α 1 λ+α A forma companheira evidencia os coeficientes do polinômio característo da matriz Como construir a base para chegar nesta representação? Forma companheira - relembrando Seja A R n n Se existir um vetor b R n 1 tal que o conjunto de n vetores {b,ab,a 2 b,,a n 1 b} seja linearmente independente e se A n +α n 1 A n 1 + +α 2 A+α I = então a representação de A na base {b,ab,a 2 b,,a n 1 b} é dada por (forma companheira) α 1 α 1 1 α 2 Ā = α n 2 1 α n 1 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Matrizes com Autovalores Distintos Teorema Sejam λ 1,λ 2,,λ n autovalores distintos de A e v i, i = 1,2,,n, os autovetores de A associados a cada autovalor λ i, respectivamente Então, o conjunto de autovetores {v 1,v 2,,v n } é LI Matrizes com Autovalores Distintos Prova: Primeiramente, note que { (λi λ (A λ j I)v i = j )v i, j i =, j = i Supondo (por absurdo) que {v 1,v 2,,v n } é LD, existem escalares α 1,α 2,,α n não todos nulos tais que n α i v i = i=1 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

4 Matrizes com Autovalores Distintos Sem perda de generalidade, assuma α 1 Então, (A λ n I) (A λ n 1 I)(A λ n I) n n 1 α i v i = α i (λ i λ n )v i i=1 i=1 n n 2 α i v i = α i (λ i λ n )(λ i λ n 1 )v i i=1 i=1 α 1 (λ 1 λ 2 )(λ 1 λ 3 ) (λ 1 λ n )v 1 = Como λ i λ j, j = 2,3,,n, α 1 =, o que contradiz a hipótese inicial Como conclusão, {v 1,v 2,,v n } LI Base do C n Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Diagonalização de Operadores - Formas de Jordan Forma diagonal Seja A R n n com autovalores todos distintos Logo o conjunto dos autovetores {v 1,v 2,,v n } de A é LI e forma uma base Seja Ā a representação de A na base formada pelos autovetores Então Ā é uma matriz diagonal e os elementos da diagonal são os autovalores de A Seja Q = [ ] v 1 v 2 v n Então AQ = QĀ e a i-ésima coluna de Ā é a representação de Av i = λ i v i na base {v 1,v 2,,v n }, ou seja, Av i = λ i v i = [ ] v 1 v 2 v i v n }{{} Q Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 λ i Diagonalização de Operadores λ 1 λ 2 Ā = = Q 1 AQ λ n Q = [ ] v 1 v 2 v n Diagonalização de Operadores Exemplo Seja a matriz A com os autovalores abaixo: 1 1 A = 2, λ 1 = 1,λ 2 = 2,λ 3 = 3 3 Existe uma representação diagonal da matriz se todos os autovalores de A são distintos Q, a matriz dos autovetores de A, define uma transformação de similaridade que diagonaliza a matriz A Por outro lado, se Q = [ v 1 v 2 v n ] é tal que Ā = Q 1 AQ é uma matriz diagonal, então AQ = QĀ = Av i = λ i v i, i = 1 n e {v 1,v 2,v n } são autovetores LI de A Autovetor associado a λ 1 = 1: (A λ 1 I)v 1 = v 11 v 21 = v 31 v 31 = v 21 = 2v 31 = 1 v 1 = Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

5 Diagonalização de Operadores Autovetor associado a λ 2 = 2: (A λ 2 I)v 2 = v 12 v 22 = v 32 v 12 v 32 = v 32 = Autovetor associado a λ 3 = 3: (A λ 3 I)v 3 = v 13 v 23 = v 33 v 2 = 1 2v 13 v 33 = v 23 = ; v 3 = 1 {v 1,v 2,v 3 } são LI Ā = 2, Q = [ ] v 1 v 2 v Diagonalização de Operadores Autovalores complexos Considere a matriz A = Polinômio característico: (λ) = (λ+1)(λ 2 4λ+13) Autovalores: λ 1 = 1, λ 2 = 2+j3 e λ 3 = 2 j3 Note que autovalores complexos sempre aparecem em pares complexos conjugados para matrizes com coeficientes reais Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Diagonalização de Operadores Neste caso os autovetores são: 1 j v 1 = ; v 2 = 3+j2 ; v 3 = j j 3 j2 j Note que v 2 e v 3 são complexos e, ainda, v 3 = v 2 A matriz Ā, na base dos autovetores, continua sendo diagonal No caso, Matriz com autovalores nem todos distintos 1 j j Q = 3+j2 3 j2 ; Ā = j j 1 2+j3 2 j3 A matriz mudança de base Q, neste caso, precisa ser entendida no C b Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

6 Diagonalização de Operadores - Forma de Jordan Considere a matriz 1 1 A = 1 2, λ 1 = λ 2 = 1,λ 3 = 2 Autovalor 1 tem multiplicidade algébrica (MA) 2 Calculando os autovetores: (A λ 1 I)v 1 = = Soluções LI: v 1 = 1 1 1, v 2 = 1 v 11 v 21 = v 31 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Diagonalização de Operadores - Formas de Jordan Associado a λ 3 (A λ 3 I)v 3 = = = v 3 = No caso, foi possível contruir 3 autovetores LI Q = [ v 1 v 2 v 3 ] é não-singular Ā é diagonal Ā = v 13 v 23 = v 33 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Diagonalização de Operadores - Formas de Jordan Diagonalização de Operadores - Forma de Jordan O autovalor λ 1 = 1 tinha MA = 2 Multiplicidade Geométrica (MG) de λ 1 = nulidade de (A λ 1 I) = 2 (número de autovetores LI associadas ao autovalor) No caso geral, tem-se: Multiplicidade Geométrica (MG) Multiplicidade Algébrica (MA) (Prova Ver (LIPSCHUTZ, exercício 127)), Se MG < MA, então não é possível determinar autovetores {v 1,v 2,v 3 } LI Nestes casos será possível obter uma forma bloco-diagonal (forma de Jordan) Exemplo [ Considere ] a matriz com autovalores não distintos 5 1 A =, λ 5 1 = λ 2 = 5, MA = 2 (A λ 1 I)v 1 = MG = 1 [ ][ ] [ ] 1 v11 1 = v v 1 = 21 Como MG < MA, não se consegue obter n = 2 autovetores LI Logo a matriz não é diagonizável Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

7 Características da forma canônica de Jordan: Constituída por uma matriz bloco-diagonal Cada bloco é conhecido como bloco de Jordan Cada bloco de Jordan é associado a um único autovalor de A Qualquer matriz A quadrada pode ser reduzida à forma canônica de Jordan por transformação de similaridade A matriz de transformação de similaridade é contruída a partir dos autovetores generalizados da matriz A A forma canônica de Jordan reduz-se a forma diagonal quando todos autovalores de A são distintos Bloco de Jordan Define-se como J k (λ) o bloco de Jordan de dimensão k k associado ao autovalor λ, dado por λ 1 λ 1 J k (λ) = C k k 1 λ Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Para qualquer matriz A R n n existe uma matriz não singular Q tal que J k1 (λ 1 ) Ā = Q 1 J k2 (λ 2 ) AQ = Jkr (λr) com k 1 + +k r = n A forma de Jordan é única para uma dada matriz A (salvo eventuais permutações entre os blocos) Pode haver múltiplos blocos associados ao mesmo autovalor Ā é diagonal no caso de n blocos de Jordan de dimensão k = 1 Note que os autovetores associados ao bloco de Jordan J k (λ) verificam: λ 1 A [ ] [ ] λ 1 v 1 v 2 v k = v1 v 2 v k 1 λ }{{} Ā Definindo v 1 v (autovetor associado ao autovalor λ) tem-se Av 1 = λv 1 = (A λi)v 1 = Av 2 = v 1 +λv 2 = (A λi)v 2 = v 1 Av k = v k 1 +λv k = (A λi)v k = v k 1 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

8 Exemplo 6 5 A = (λ) = λ 3 4λ 2 +5λ 2 = ; λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1 Autovetor associado ao autovalor λ 1 = 2: v 1a (A 2I)v 1 = v 1b v 1c = ; v 1 = Para o autovalor λ 2 = 1: (A 1I)v 2 = v 2 = Note que a 3 a linha é igual à 1 a mais (4 )2 a = ν(a 1I) = 1 Portanto, existe 1 bloco de Jordan associado ao autovalor λ = 1; com isso, sabe-se que a forma de Jordan é dada por 2 Ā = Q 1 AQ = Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Um autovetor v 2 pode ser obtido da expressão acima: 1 v 2 = 3/7 5/7 A partir de v 21 v 2 pode-se determinar o autovetor generalizado v 22 1 (A 1I)v 22 = v 21 ; v 22 = 22/49 46/49 Com isso tem-se 3 autovetores LI e pode-se construir Q = [ v 1 v 21 v 22 ] Autovetores generalizados v é um autovetor generalizado de grau l de A associado ao autovalor λ se (A λi) l v = (A λi) l 1 v Um autovetor genaralizado de grau 1 é tal que (A λi)v = v logo corresponde ao autovetor (simples) Ajuda do Matlab é importante Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

9 Considere A R 4 4 com um autovalor λ de multiplicidade algébrica igual a 4 Assuma que ν(a λi) = 1 Assim, (A λi)v = possui apenas uma solução linearmente independente Para formar uma base do R 4, três outros vetores LI são necessários Os três vetores (autovetores generalizados) v 2, v 3 e v 4 serão construídos de maneira que: v 1 = v ; (A λi)v 1 = (A λi)v 2 ; (A λi) 2 v 2 = (A λi) 2 v 3 ; (A λi) 3 v 3 = (A λi) 3 v 4 ; (A λi) 4 v 4 = {v 1,v 2,v 3,v 4 } forma uma cadeia de autovetores generalizados (de grau 4) Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 A partir do autovetor v 1, a cadeia de autovetores generalizados de grau 4 pode ser gerada da seguinte forma: Av 1 = λv 1 Av 2 = v 1 +λv 2 Av 3 = v 2 +λv 3 Av 4 = v 3 +λv 4 Os vetores gerados dessa maneira são LI Forma de Jordan (representação na base {v 1,v 2,v 3,v 4 }): Ā = λ 1 λ 1 λ 1 λ Se a ordem dos vetores da base for invertida, a representação passa a ser bidiagonal inferior Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Considere agora A R 4 4 com um autovalor λ de multiplicidade algébrica igual a 4 mas ν(a λi) = 2 Assim, Note que: v 3 (A λi)v 4 v 2 (A λi)v 3 = (A λi) 2 v 4 v 1 (A λi)v 2 = (A λi) 3 v 4 Como pode ser verificado, valem as propriedades: (A λi)v 1 =, (A λi) 2 v 2 =, (A λi) 3 v 3 = e (A λi) 4 v 4 = (A λi)v = possui 2 soluções LI Dois autovetores podem ser obtidos e n 2 = 4 2 = 2 autovetores generalizados são necessários A partir de cada um dos autovetores, gera-se uma cadeia de autovetores generalizados As possíveis formas de Jordan neste caso são: Ā 1 = λ 1 λ 1 λ λ ; Ā 2 = λ 1 λ λ 1 λ Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

10 Exemplo A = Propriedade (A e C matrizes quadradas) [ A B det C ] = detadetc (λ) = det(a λi) = [(3 λ)(1 λ)+1](2 λ) 2[ (1 λ) 2 1 ] = (2 λ) 2 (2 λ) 2 (2 λ)λ = (2 λ) 5 λ Autovalores: λ 1 = 2, MA= 5 ; λ 2 =, MA= (A 2I) = ρ(a 2I) = 4 ν 1 = ν(a 2I) = 6 4 = 2 MG = 2 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 A forma de Jordan apresenta dois blocos (MG=2) associados ao autovalor λ 1 = A = Q = = [ ] x v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

11 x, v 1 e u 1 são autovetores 2 1 Ā = Q 1 AQ = Nem sempre é fácil determinar a cadeia de autovetores generalizados Por exemplo, se v é autovetor, v também é, mas os autovetores generalizados podem ser diferentes Ax = v +λx ; Ay = v +λy Determinante e Seja Q a matriz de autovetores generalizados de A, então está na forma de Jordan Ā = Q 1 AQ Como det(ab) = det(a) det(b), então det(ā) = det(q 1 )det(a)det(q) = det(a) Como Ā é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal Logo Determinante Autovalores det(a) = produto dos autovalores de A A é singular A possui ao menos 1 autovalor nulo Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Autovalores, autovetores - Matrizes Simétricas Autovalores, autovetores - Matrizes Simétricas Esta parte é opcional Sejam λ 1, λ 2,, λ n autovalores de uma matriz simétrica A R n n λ i R, i = 1,,n Autovetores v i, v j associados a autovalores distintos λ i λ j são ortogonais, isto é v i,v j = v i v j = Para mostrar que os autovalores são reais, note que se λ C é um autovalor e v C n é um autovetor genérico de A Av = λv ; v = v Av = λv v Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47

12 Autovalores, autovetores - Matrizes Simétricas Tomando o conjugado transposto da expressão (escalar) acima e lembrando que A = A (matriz simétrica) Subtraindo (v Av) = (v Av) = λv v = (λ λ)v v = λ = λ = λ R Para mostrar a ortogonalidade de autovetores associados a autovalores distintos: Av i = λ i v i = v jav i = λ i v jv i Av j = λ j v j = v i Av j = λ j v i v j Como o lado esquerdo das expressões acima é igual (A = A ), subtraindo = (λ i λ j ) v i,v j = v i v j se λ i λ j A forma de Jordan de uma matriz simétrica A R n n é diagonal Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Autovalores, autovetores - Matrizes Simétricas Para provar, mostra-se que não existem autovetores generalizados de grau k 2 Suponha, por absurdo, que para algum λ i Entretanto, (A λ i I) k v = e (A λ i I) k 1 v (k 2) (A λ i I) k 2 v,(a λ i I) k v = Usando a simetria de A (A λ i I) k 1 v,(a λ i I) k 1 v = (A λ i I) k 1 v = (A λ i I) k 1 v = o que contradiz a hipótese inicial Portanto, não existe nenhum bloco de Jordan cuja ordem seja maior do que 1 Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47 Autovalores, autovetores - Matrizes Simétricas Q : Ā = Q 1 AQ diagonal Se A = A, Ā = Ā é uma matriz diagonal (com os autovalores reais na diagonal) e a base formada pelos autovetores é tal que Q Q = I (base ortonormal) (Q 1 AQ) = Q AQ 1 = Q 1 AQ = Q 1 = Q Romeu Reginatto (UNIOESTE) Sistemas Dinâmicos Lineares Março de / 47