Leis de Biot-Savart e de Ampère

Transcrição

1 Leis de Biot-Savart e de Ampère 1

2 Vimos que uma carga elétrica cria um campo elétrico e que este campo exerce força sobre uma outra carga. Também vimos que um campo magnético exerce força sobre uma carga somente quando ela está em movimento. Será também verdade que uma carga elétrica cria um campo magnético somente quando ela está em movimento? A resposta é sim. 2

3 Campo magnético gerado no ponto P por UMA carga puntiforme com velocidade constante permeabilidade do vácuo 3

4 Forças entre dois prótons que se movem: dois prótons se deslocam paralelamente ao eixo Ox em sentidos opostos, com a mesma velocidade v. No instante da configuração indicada na figura a seguir, determine a força elétrica e a força magnética sobre o próton da parte superior e calcule a razão entre os módulos dessas forças. 4

5 Força elétrica sobre o próton da parte superior: Campo magnético gerado pelo próton da parte inferior: Portanto: 5

6 Força magnética sobre o próton da parte superior: Portanto, a razão entre o módulo da força magnética e o módulo da força elétrica é dada por: c: velocidade da luz Portanto, quando a velocidade v for pequena em comparação à velocidade da luz c, a força magnética será muito menor do que a força elétrica. 6

7 Campo magnético de um elemento de corrente O campo magnético total produzido por diversas cargas que se movem é a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais. 7

8 Considere que existam n partículas carregadas por unidade de volume em um fio condutor. A grandeza n denomina-se concentração de partículas; sua unidade SI é m -3. Então, a quantidade de carga dq em um volume diferencial dv = A dl pode ser escrita como: Tal que: Mas, 8

9 Então: Vista frontal do fio : ele está perpendicular ao plano desta página. O símbolo X indica que a corrente está se movendo para dentro do plano desta página. Tal que: Lei de Biot-Savart 9

10 Exemplo 1: campo magnético produzido por um condutor retilíneo de comprimento 2a transportando uma corrente. Especificamente, analisemos o campo magnético produzido no ponto P da figura a seguir. 10

11 Resolução da integral: 11

12 Uma situação limite: fio de comprimento a muito maior do que x, ou seja, limite de um fio muito longo. Para um fio muito longo, temos esquematicamente que: 12

13 Exemplo 2: campo magnético de uma espira circular de raio a percorrida por uma corrente I. Especificamente, analisaremos o campo magnético produzido no ponto P da figura a seguir. Podemos utilizar a simetria do problema! Semelhante ao que observamos no caso do campo elétrico resultante sobre o eixo central de um anel, aqui ocorrerá o cancelamento mútuo dos campos magnéticos nas direções y e z da figura acima (ou seja, no plano do anel). Assim, restará apenas a componente ao longo da direção x. 13

14 Pela simetria do problema: : ângulo entre e! 14

15 O campo magnético produzido no ponto P é então dado por: Momento magnético 15

16 Linhas de campo magnético ao redor de uma espira circular percorrida por uma corrente. Possível localização do ponto P do exemplo anterior. 16

17 Ou seja, uma espira percorrida por corrente produz um campo magnético semelhante ao de um ímã em forma de barra, com um pólo norte e um pólo sul. O momento de dipolo magnético da espira, cujo sentido é dado pela regra da mão direita, aponta do pólo sul para o pólo norte, isto é, na mesma direção que o campo magnético no interior da espira. 17

18 Campo magnético de uma bobina circular Suponha agora que, em vez de uma única espira, existam N espiras acopladas, todas com o mesmo raio e percorridas pela mesma corrente I. Nesse caso, teremos o que chamamos de bobina. Tomando como referência o resultado de uma única espira, o campo magnético ao longo do eixo central da bobina, a uma distância x do centro, é dado por: Então: Momento de dipolo magnético (ou simplesmente momento magnético ) da bobina, com A = a 2 sendo a área de cada espira. 18

19 Lei de Ampère Para o problema da determinação do campo elétrico, verificamos que, em situações com elevada simetria, era mais fácil o uso da lei de Gauss. Analogamente, existe um modo mais prático para determinar um campo magnético produzido por uma distribuição de correntes com simetria elevada. Porém, a lei que nos permite fazer isso, chamada de lei de Ampère, possui um caráter bastante diferente da lei de Gauss. A partir do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada, a lei de Gauss relaciona campos elétricos com distribuições de cargas elétricas: Lei de Gauss: O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga elétrica total (líquida) existente no interior da superfície dividida por. 19

20 Como já vimos, podemos definir um fluxo magnético. Porém, nesse caso, uma vez que não temos cargas magnéticas (monopolos), a chamada lei de Gauss para o magnetismo assume o seguinte formato: A lei de Ampère não é formulada em termos de um fluxo magnético, mas definida com base em uma integral de linha de B em torno de uma trajetória fechada, designada por Para darmos continuidade à formulação da lei de Ampère, voltemos ao exemplo de aplicação do slide

21 Campo magnético produzido por um condutor retilíneo de comprimento 2a transportando uma corrente. Especificamente, analisemos o campo magnético produzido no ponto P da figura a seguir. Mostramos que o campo magnético no ponto P é dado por: No limite de a >> x, por sua vez, temos que: 21

22 Logo, no limite de fios muitos longos, em qualquer ponto ao longo de uma circunferência de raio r, centralizada no condutor, o módulo do campo magnético será dado por: 22

23 Considere agora a vista frontal de um condutor com corrente saindo do plano desta página: Mas: Portanto: 23

24 Nesse caso, podemos escrever: 24

25 Assim: Mas: Portanto: 25

26 De uma forma geral, para qualquer trajetória englobando um condutor, teremos que: Mas: Então: Portanto: 26

27 Se a trajetória não englobar um condutor percorrido por uma corrente, teremos: Mas: Então: Neste caso, a variação do ângulo θ durante uma volta completa através do percurso de integração é zero. Portanto: 27

28 Assim, podemos enunciar a lei de Ampère da seguinte maneira: Com I inte sendo a corrente total dada pela soma algébrica das correntes no interior ou englobadas pelo percurso de integração. Embora a lei de Ampère, que, como vimos, pode ser demonstrada a partir da lei de Biot-Savart, tenha recebido o nome do físico francês André-Marie Ampère ( ), ela foi na realidade proposta pelo físico inglês James Clerk Maxwell ( ). O círculo no símbolo da integral indica que a integração deve ser realizada para uma curva fechada, conhecida como amperiana. amperiana 28

29 E se a amperiana envolver mais de um fio? Regra da mão direita da lei de Ampère Envolva a amperiana com a mão direita, com os dedos apontando no sentido da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo. Se o sinal do campo magnético, obtido via lei de Ampère, for negativo, isso indicará apenas que o sentido correto do campo ao redor dos fios é oposto ao 29 adotado durante o cálculo.

30 E se as correntes englobadas pela amperiana se cancelarem? Isso indicará um campo magnético nulo em todos os pontos da amperiana? Nos dois casos acima, o da esquerda por cancelamento das correntes englobadas pela amperiana, o da direita pela ausência de correntes, teremos que: É importante salientar que o resultado acima não significa necessariamente que B = 0 em todos os pontos do percurso, mas apenas que a soma algébrica das correntes no interior do percurso de integração é igual a zero. 30

31 Cilindro condutor longo de raio R Um condutor cilíndrico longo, de raio R, conduz uma corrente I. A corrente está uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro. Determine o módulo do campo magnético em função da distância radial r para todos os pontos dentro (r < R) e fora do condutor (r > R). 31

32 1. Dentro do cilindro (r < R) Como a corrente está uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro, podemos escrever que: Assim: Mas: Portanto: 32

33 2. Fora do cilindro (r > R) Neste caso: Assim: Mas: Portanto: 33

34 Graficamente, temos: 34

35 Forças entre fios paralelos (percorridos por correntes no mesmo sentido) 35

36 O campo produzido pelo fio inferior é dado por: Em termos vetoriais, podemos escrever o campo magnético atuando no fio superior da seguinte maneira: Assim, o vetor força magnética atuando no fio superior será: Portanto: Ou seja, cada um dos dois fios é submetido a uma força de atração cujo módulo, por unidade de comprimento, é dado por: 36

37 Solenóide 37

38 Consideraremos aqui um solenóide ideal : campo magnético uniforme no interior do solenóide e nulo fora dele. 38

39 A última figura do slide anterior é equivalente à figura deste slide. A única diferença está no sentido da corrente elétrica (e, consequentemente, o sentido do campo magnético). 39

40 Portanto: 40

41 Considerando que o solenóide tem n espiras por unidade de comprimento, podemos escrever que: Assim, o módulo do campo magnético no interior de um solenóide ideal é dado por: 41

42 Toróide ( solenóide toroidal ) 42

43 Considerando que há N espiras no enrolamento do toróide, podemos escrever que: Assim: Mas: Portanto: 43

44 O magneton de Bohr magnetismo em escala atômica Momento angular Momento magnético Considerando o modelo atômico em que os elétrons orbitam os núcleos com um raio de órbita r, o movimento eletrônico pode ser visto como formando uma espira de corrente. Tal espira, por sua vez, dará origem a um campo magnético, como vimos nos slides 13 17, com um momento magnético orbital característico. Além disso, um elétron possui momento magnético de spin. 44

45 Para encontrarmos a corrente associada ao movimento do elétron, notamos que o período orbital T (o tempo que o elétron leva para completar uma órbita) é dado por: Assim, a corrente I pode ser escrita como: O momento magnético da espira formada pelo movimento orbital do elétron é dada por O momento angular associado ao movimento orbital do elétron, por sua vez, é dado por Portanto: Magneton de Bohr, em homenagem ao físico dinamarquês Niels Bohr, que propôs um modelo atômico com órbitas eletrônicas quantizadas (conhecido como modelo de Bohr ) em

46 Ferromagnetismo: Em sistemas de muitos átomos, muitos momentos magnéticos orbitais e de spin se somam vetorialmente, podendo produzir uma resultante igual a zero. Um ferromagneto apresenta uma magnetização espontânea abaixo de uma temperatura crítica: todos os momentos magnéticos se alinham ao longo de uma direção única, no mesmo sentido. Representação esquemática: Momentos magnéticos alinhados Temperatura crítica para o aparecimento do estado ferromagnético: temperatura de Curie - T C. Em caráter macroscópico, o alinhamento de momentos magnéticos dará origem, por exemplo, a um ímã. 46

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