A Matemática e as Órbitas dos Satélites

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2 A Matemática e as Órbitas dos Satélites Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos Instituto Superior Técnico Julho, 2009

3 Equações Diferenciais

4 Equações Diferenciais Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. F (t, x(t), x (t), x (t),... ) = 0

5 Equações Diferenciais Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. F (t, x(t), x (t), x (t),... ) = 0 As equações diferencias são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos nos quais se relacionam os valores de certas grandezas com as suas taxas de variação.

6 Movimento de corpo suspenso por mola X CRocha M Corpo de massa M suspenso por uma mola e sujeito à gravidade e ao atrito de um líquido.

7 Forças aplicadas à massa M

8 Forças aplicadas à massa M Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação à posição de equilíbrio F m = k m X

9 Forças aplicadas à massa M Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação à posição de equilíbrio F m = k m X Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g F g = Mg

10 Forças aplicadas à massa M Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação à posição de equilíbrio F m = k m X Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g F g = Mg Força de impulsão: supondo que a massa de líquido deslocada pelo corpo é M l F i = M l g

11 Forças aplicadas à massa M Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação à posição de equilíbrio F m = k m X Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g F g = Mg Força de impulsão: supondo que a massa de líquido deslocada pelo corpo é M l F i = M l g Força de atrito: considera-se proporcional à velocidade do corpo, retardando o movimento F a = k a V

12 Forças aplicadas à massa M Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação à posição de equilíbrio F m = k m X Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g F g = Mg Força de impulsão: supondo que a massa de líquido deslocada pelo corpo é M l F i = M l g Força de atrito: considera-se proporcional à velocidade do corpo, retardando o movimento F a = k a V Força Total: F = F m + F g + F i + F a

13 X = X(t) = posição, V = dx/dt = velocidade, A = dv/dt = aceleração

14 X = X(t) = posição, V = dx/dt = velocidade, A = dv/dt = aceleração Lei de Newton: F = MA

15 X = X(t) = posição, V = dx/dt = velocidade, A = dv/dt = aceleração Lei de Newton: F = MA k m X Mg + M l g k a V = M dv dt

16 X = X(t) = posição, V = dx/dt = velocidade, A = dv/dt = aceleração Lei de Newton: F = MA k m X Mg + M l g k a V = M dv dt Equações Diferenciais do Movimento: dx dt dv dt = V = k m M X k a M V (M M l) M g

17 X = X(t) = posição, V = dx/dt = velocidade, A = dv/dt = aceleração Lei de Newton: F = MA k m X Mg + M l g k a V = M dv dt Equações Diferenciais do Movimento: dx dt dv dt = V = k m M X k a M V (M M l) M g ou, numa só equação: d 2 X dt 2 + k a dx M dt + k m M X = (M M l) M g

18 Análise das Equações

19 Análise das Equações Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes dx dt V = 0 e X = (M M l) M g = 0, dv dt = 0

20 Análise das Equações Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes dx dt V = 0 e X = (M M l) M g = 0, dv dt = 0 A energia: E = K + P = 1 2 MV 2 + (M M l )gx k mx 2 satisfaz de dt = MV dv dt + (M M l)gv + k m XV = k a V 2

21 Análise das Equações Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes dx dt V = 0 e X = (M M l) M g = 0, dv dt = 0 A energia: E = K + P = 1 2 MV 2 + (M M l )gx k mx 2 satisfaz de dt = MV dv dt + (M M l)gv + k m XV = k a V 2 logo, como k a > 0, a energia decresce com o tempo (dissipação devida ao atrito)

22 Análise das Equações Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes dx dt V = 0 e X = (M M l) M g = 0, dv dt = 0 A energia: E = K + P = 1 2 MV 2 + (M M l )gx k mx 2 satisfaz de dt = MV dv dt + (M M l)gv + k m XV = k a V 2 logo, como k a > 0, a energia decresce com o tempo (dissipação devida ao atrito) ou, se k a = 0, a energia é conservada (conservação de energia sem atrito)

23 X(t) = M M l ka g + e M 2M t (A cos µt + Bsenµt), µ = 4km M ka 2 2M

24 X(t) = M M l ka g + e M 2M t (A cos µt + Bsenµt), µ = 4km M ka 2 2M Posição Tempo

25 X(t) = M M l ka g + e M 2M t (A cos µt + Bsenµt), µ = 4km M ka 2 2M Posição Tempo Em geral: Como calcular a posição do corpo ao longo do tempo resolvendo numericamente as equações diferenciais do movimento?

26 X(t) = M M l ka g + e M 2M t (A cos µt + Bsenµt), µ = 4km M ka 2 2M Posição Tempo Em geral: Como calcular a posição do corpo ao longo do tempo resolvendo numericamente as equações diferenciais do movimento? Interessa saber calcular valores de uma variável a partir da sua taxa de variação.

27 Exemplo: Desintegração radioactiva Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo.

28 Exemplo: Desintegração radioactiva Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo. dq dt = KQ, K > 0

29 Exemplo: Desintegração radioactiva Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo. dq dt = KQ, K > 0 Conhecido o gráfico de uma função dependente do tempo, a sua taxa de variação em cada instante é igual ao declive da recta tangente ao gráfico no ponto correspondente

30 Exemplo: Desintegração radioactiva Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo. dq dt = KQ, K > 0 Conhecido o gráfico de uma função dependente do tempo, a sua taxa de variação em cada instante é igual ao declive da recta tangente ao gráfico no ponto correspondente Logo, pretende-se determinar uma curva conhecendo as rectas tangentes em todos os pontos.

31 Apresentam-se gráficamente as tangentes de possíveis curvas para soluções da equação diferencial da desintegração radioactiva e a solução para Q = 1000 no instante inicial t = 0, com constante de desintegração K = 0, 2. dq dt = KQ, Q(0) = 1000

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34 dq dt = KQ Q(0) = 1000, K = 0.2

35 dq dt = KQ Q(0) = 1000, K = 0.2 Q(t) = Q(0)e Kt

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