CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 10 04/2014 Scilab Métodos para zeros reais de funções

3 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão erro, número máximo de iterações max. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça i = 1; x ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i < max, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça p = (a + b) / 2; ( ) Cálculo Numérico 3/47

4 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 4: Se f (p) = 0 ou b a < erro, então: SAÍDA (x); ( ). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Se f (a) * f (p) > 0, então faça a = p; ( ). senão faça b = p. SAÍDA ( ( ). PARE., max); Cálculo Numérico 4/47

5 INTRODUÇÃO Cálculo Numérico 5/47

6 LAYOUT DO SCILAB Espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é possível visualizar o nome, valor e classe da mesma Current Folder Window Local onde as operações podem ser diretamente feitas Command Window Workspace Window Command History Window Lista de comandos realizados, organizados por data de execução, permitindo o comando ser realizado novamente com duplo clique Cálculo Numérico 6/47

7 Editor SciNotes Cálculo Numérico 7/47

8 COMANDOS BÁSICOS Cálculo Numérico 8/47

9 COMENTÁRIO Para incluir uma linha com comentários: % no MATLAB // no SCILAB. Assim, a linha não será executada. Cálculo Numérico 9/47

10 LIMPAR MEMÓRIA E COMANDOS Comando clc: Limpa os últimos resultados exibidos na janela de comandos. Comando clear: Limpa a memória. Cálculo Numérico 10/47

11 Símbolos Aritméticos Operação Símbolo Exemplo Adição Subtração 5 3 Multiplicação * 5 * 3 Divisão / 5 / 3 Exponenciação ^ 5 ^ 3 (significa 5 3 = 125) Cálculo Numérico 11/47

12 Símbolos Lógicos Operação Símbolo Igualdade == Desigualdade ~= Maior ou igual >= Menor ou igual <= Cálculo Numérico 12/47

13 Ordem em que o MATLAB faz as operações: Ordem Primeiro Segundo Terceiro Quarto Operação Matemática Parênteses. Para vários parênteses, o que estiver por dentro é executado primeiro Exponenciação Multiplicação, divisão (mesma ordem) Adição e subtração Cálculo Numérico 13/47

14 Funções matemáticas elementares sqrt(x) raiz quadrada nthroot(x,n) n-ésima raiz real exp(x) e x abs(x) valor absoluto log(x) logaritmo natural (base e) log10(x) logaritmo na base 10 factorial(x) x! Cálculo Numérico 14/47

15 Funções Trigonométricas sin(x) seno (x em radianos) sind(x) sine (x em graus) cos(x) cosine (x em radianos) cosd(x) cosine (x em graus) tan(x) tangent (x em radianos) tand(x) tangent (x em graus) Cálculo Numérico 15/47

16 Derivada Para calcularmos derivadas utiliza-se o comando: >> diff(f(x),x,n) MATLAB >> numderivative(f(x),x,n) SCILAB onde n indica a ordem da derivação. Cálculo Numérico 16/47

17 Definição de função COMANDO deff deff( [y]=f(x), função ) EXEMPLO: >> deff( [y]=f(x), y = x.^3-9*x+3 ) Cálculo Numérico 17/47

18 Definição de função COMANDO function function nome da variável = f(x) <comandos> endfunction EXEMPLO: >> function f = f(x) >> f = x.^3-9*x+3 >> endfunction Cálculo Numérico 18/47

19 Plotar gráficos Gráfico em duas dimensões de uma função: fplot2d (x,f) Para usar este comando precisamos definir a função a ser plotada. Cálculo Numérico 19/47

20 Plotar gráficos Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparência de nosso gráfico: title ( título ); xlabel ( x ); ylabel ( y ). Cálculo Numérico 20/47

21 Plotar gráfico de várias funções É possível desenhar mais que uma função no mesmo gráfico. Usa-se o comando hold do MATLAB. Para usar um comando do MATLAB no SCILAB, use: >>mtlb_ Cálculo Numérico 21/47

22 Exemplo 1 Uso do comando fplot2d para construir o gráfico de uma função. Função: x 3-9 x + 3 >> function f = f(x) >> f = x.^3-9*x+3 >> endfunction >> x = [-5:0.5:5]; >> fplot2d(x,f); Cálculo Numérico 22/47

23 Exemplo 2 Construção do gráfico de duas funções (log x e 1/x) >> x = [0.5:0.1:6] >> deff("[f]=f(x)", "f = log10(x)") >> deff("[g]=g(x)", "g = 1./x") >> mtlb_hold on >> fplot2d(x,f) >> fplot2d(x,g) >> hold off >> title('gráfico das funções log(x) e 1/x') >> xlabel('x') >> ylabel('y') Cálculo Numérico 23/47

24 break clc disp input sign if else elseif end while printf Interrompe a execução de laços for e while Limpa a tela (command window) Exibe o conteúdo de uma variável, sem mostrar o seu nome Permite ao usuário inserir variáveis, textos, valores, etc Função sinal: retorna o sinal de um argumento Condiciona execução de comandos Usado com o comando if Usado com o comando if Usado para terminar a execução dos comandos if,for,while Repete comandos enquanto condição especificada for verdadeira Grava dados em arquivo formatado Cálculo Numérico 24/47

25 Comando input A cada vez que o programa for rodado ele mesmo pedirá as variáveis, logo não será necessário mudar o código original do programa e haverá uma maior interação entre o programa e o usuário (não necessariamente um programador). Exceto com relação à especificação da função. Cálculo Numérico 25/47

26 Comando input Exemplo: >> a = input( limite inferior ); >> b = input( limite superior ); Cálculo Numérico 26/47

27 Comando printf O comando printf é um dos métodos mais simples de saída de dados. >> printf('a raiz é: %f', x); o que está entre aspas aparecerá para o usuário, os itens onde aparece %f serão substituídos pelas variáveis, respeitando-se a ordem em que aparecem. Cálculo Numérico 27/47

28 Comandos Lógicos Muitas vezes é necessário colocar mais de um comando ao mesmo parâmetro (principalmente no laço if), para isso existem os comando lógicos dados na seguinte tabela: & E lógico OU lógico ~ NÃO lógico Exemplo: >>if (f(x) == 0 abs(b a) < tol) Cálculo Numérico 28/47

29 Estrutura condicional if-end Se o resultado da expressão lógica <condição> for verdadeiro, então a lista de <comandos> será executada. Se o resultado for falso, os <comandos> não serão executados. >> if <condição> >> <comandos> >> end Cálculo Numérico 29/47

30 O Laço while O laço while, repete um grupo de comandos um número indefinido de vezes, até obtermos uma resposta satisfatória ou até que o usuário mande interromper o programa. Enquanto a expressão lógica <condição> for verdadeira a lista <comandos> será repetida. >> while <condição> >> <comandos> >> end Cálculo Numérico 30/47

31 Comando break A estrutura while permite que um grupo de comandos seja repetido um número indeterminado de vezes. No entanto, a condição de interrupção é testada no início da estrutura. Em várias situações em programação se faz necessário interromper a execução da repetição verificando a condição no interior da estrutura e não no seu início. Cálculo Numérico 31/47

32 Comando break A estrutura while é executada indefinidamente a princípio, pois a condição do while é sempre verdadeira. Contudo, quando a <condição> do if for satisfeita o comando break será executado causando a interrupção da repetição while. >> while 1 >> <comandos 1> >> if <condição> >> break >> end >> <comandos 2> >> end Cálculo Numérico 32/47

33 Método da Bissecção Função: f Extremos dos intervalos: [a, b] Precisão: tol Número máximo de iterações: nmax A cada iteração: x Cálculo Numérico 33/47

34 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: Se (f(a) f(b)) > 0 então: SAÍDA: Este intervalo não contém a raiz ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão tol, número máximo de iterações nmax. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça i = 1; x ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i < nmax, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça x = (a + b) / 2; ( ) Cálculo Numérico 34/47

35 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 4: Se f (x) = 0 ou b a < erro, então: SAÍDA (x); ( ). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Se f (x) * f (a) > 0, então faça a = x; ( ). senão faça b = x. Cálculo Numérico 35/47

36 Implementação Clear all, clc a = input( limite inferior:'); b = input( limite superior:'); tol = input( precisão'); nmax = input( número máximo de iterações ); function f = f(x) f = x.^3-9*x+3 endfunction Cálculo Numérico 36/47

37 Implementação if (f(a)*f(b)>0) then disp Este intervalo não contém raiz else i = 1; while (i < max) x = (a+b)/2; if ( abs(f(x)< == 0 tol abs(b abs(b a) a) < tol < tol) ) end printf('a raiz é: %1.8f\n', x); printf('o número de iterações foi: break %i', i); Cálculo Numérico 37/47

38 Implementação end i = i + 1; if (f(x)*f(a) (f(x)*f(b) sign((f(x)) > < == 0) sign(f(a))) then then a = x; else b = x; end Cálculo Numérico 38/47

39 Algoritmo do Método de Newton ENTRADA: aproximação inicial x 0 ; precisão tol, número máximo de iterações nmax. SAÍDA: solução aproximada x ou mensagem de erro. Passo 1: Faça i = 0; Passo 2: Enquanto i nmax, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça x = x 0 f (x 0 ) / f (x 0 ); (Calcula x i ) Passo 4: Se x x 0 < tol, então: SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Cálculo Numérico 39/47

40 Algoritmo Método de Newton Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Faça x 0 = x; (Atualiza x 0 ) Passo 7: SAÍDA ( O método falhou após N 0 iterações, N 0 =, N 0 ); (O procedimento não foi bem-sucedido). PARE. Cálculo Numérico 40/47

41 Implementação clear all, clc x0 = input( aproximação inicial: ) tol = input( precisão: ) nmax = input ( número máximo de iterações: ) function f = f(x) f = x.^3-9*x+3 endfunction i = 0; Cálculo Numérico 41/47

42 Implementação while (i < nmax) end x1 = x0 f(x0) / numderivative (f,x0); if (abs(x1 x0) < tol) then printf( A raiz é: %1.8f\n, x1); printf( O número de iterações foi: %i, i); break end i = i + 1; x0 = x1 Cálculo Numérico 42/47