Processos Estocásticos

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1 Processos Estocásticos Quarta Lista de Exercícios 12 de fevereiro de Sejam X e Y duas VAs que só podem assumir os valores 1 ou -1 e seja p(x, y) = P (X = x, Y = y), x, y { 1, 1} a função de probabilidade conjunta de X e Y Suponha que E[X] = E[Y ] = 0 a Mostre que p(1, 1) = p( 1, 1) b Mostre que p(1, 1) = p( 1, 1) c Calcule V (X) d Calcule V (Y ) Tomemos os seguintes valores para os possíveis resultados da função de probabilidade conjunta: A = p(1, 1) B = p(1, 1) C = p( 1, 1) D = p( 1, 1) a Devemos mostrar que p(1, 1) = p( 1, 1), isto é, que A = D Temos as seguintes funções de probabilidade para X e Y p X (x) = p(x, y) = p(x, 1) + p(x, 1) (1) p Y (y) = y:p(x,y)>0 x:p(x,y)>0 p(x, y) = p(1, y) + p( 1, y) (2) e usando as equações (1) e (2) podemos calcular as expressões para E[X] e E[Y ] Assim: E[X] = x p X (x) = 1 p X (1) 1 p X ( 1) = 0 (3) e de (3) e (1) temos que x:p X (x)>0 p X (1) = p X ( 1) p(1, 1) + p(1, 1) = p( 1, 1) + p( 1, 1) ou A + B = C + D (4) Raciocinando de forma análoga para p Y, obtemos que Somando (4) e (5) chegados à igualdade desejada A + C = B + D (5) 2A + B + C = B + C + 2D A = D b Devemos provar que B = C Basta fazer (4) - (5) para se obter B C = C B B = D 1

2 c Partimos da definição de variância e dado que E[X] = 0 e que p X (1) = p X ( 1) = ˆp [equação (4)], temos V (X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = E[X 2 ] (0) 2 = x 2 p X (x) x:p X (x)>0 = (1) 2 p X (1) + ( 1) 2 p X ( 1) = 2ˆp Finalmente, basta lembrar que p X (1) + p X ( 1) = 1 e, portanto, 2ˆp = 1 Assim, V (X) = 1 d Usando o mesmo raciocínio do item anterior, temos V (Y ) = 1 2 Suponha que X é uma VA com média 10 e variância 15 O que podemos dizer sobre P (5 < X < 15)? Do enunciado sabemos que µ = 10 e σ 2 = 15 Pela Desigualdade de Chebyshev temos que (com k = 5) P ( X µ k) = P ( X 10 5) σ2 k 2 = = 3 5 Uma vez que P ( X 10 5) é o complemento da probabilidade buscada, temos que P (5 < X < 15) 1 P ( X 10 5) = = Sejam X 1, X 2,, X 10 VAs independentes de Poisson com média 1 a Use a Desigualdade de Markov para obter um limite para P ( 10 i=1 X i 15) b Use o Teorema do Limite Central para aproximar P ( 10 i=1 X i 15) a Pelo enunciado sabemos que E[X i ] = 1, para i = 1, 10 Assim, pela Desigualdade de Markov temos que ( 10 ) P X i 15 E[ 10 i=1 X ] 10 i i=1 = E[X i] = = 2 3 i=1 b Sabemos que E[X i ] = V (X i ) = λ = 1 pois X i é uma VA de Poisson Assim, temos que µ = 1 = σ 2, e portanto σ = 1 Aplicando o Teorema do Limite Central, vem [ ] X X 10 1 p = P > 1 10 P Z > 5 10 ( ) 5 = 1 Φ 10 =

3 4 Três bolas brancas e três bolas pretas são distribuídas em duas urnas, de tal forma que cada urna contém três bolas O sistema está no estado i (i = 0, 1, 2, 3) se a primeira urna contém i bolas brancas A cada passo, uma bola é retirada de cada urna e as duas bolas retiradas são trocadas de urnas Seja X n o estado do sistema após n passos Explique porque {X n, n = 0, 1, 2, } é uma Cadeia de Markov e calcule a matriz de probabilidades de transição O sistema é uma Cadeia de Markov porque ele é sem memória, isto é, a probabilidade de uma transição depende somente do estado atual (a configuração corrente das urnas) A matriz de probabilidades de transição é dada por /9 4/9 4/9 0 P = 0 4/9 4/9 1/ onde cada probabilidade pode ser calculada analisando o estado das urnas, por exemplo: P 11 = 4 /9 BP P P BB ( 2 /3 1/3) + BP P P BB ( 1 /3 2/3) 5 Suponha que a chance de chover hoje dependa das condições climáticas nos últimos 3 dias Mostre como esse sistema pode ser analisado usando-se uma Cadeia de Markov Quantos estados são necessários? Para realizar a análise nós precisamos codificar a condição do clima dos últimos três dias em cada estado (Isto foi mostrado em sala, veja o Exemplo 3 dos slides da Aula 9) Como a cada dia pode chover (C) ou fazer sol (S) e nós temos 3 dias para codificar, isso equivale a um número binário de 3 dígitos Assim, são necessários 2 3 = 8 estados: {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} 6 No exercício anterior, suponha que: se choveu nos últimos três dias, então vai chover hoje com probabilidade 08; se não choveu em nenhum dos últimos três dias, então a probabilidade de chuva para hoje é 02; e em todos os outros casos o clima de hoje é o mesmo que o clima de ontem com probabilidade 06 Determine P para essa Cadeia de Markov Seguindo a sequência de estados dada na resolução do exercício anterior, a matriz de probabilidades de transição é dada por P = Duas moedas são viciadas e as probabilidades de se obter cara em cada moeda valem 07 e 06, respectivamente Se a moeda jogada hoje der cara, nós selecionamos a moeda 1 para jogar amanhã e se der coroa a moeda 2 é selecionada para o dia seguinte A seleção da moeda jogada inicialmente é igualmente provável entre as duas moedas Pede-se: a Qual é a probabilidade de que moeda jogada no terceiro dia depois do lance inicial seja a moeda 1? 3

4 b Suponha que a moeda lançada na 2a feira deu cara Qual é a probabilidade da moeda jogada na 6a feira da mesma semana também dar cara? a Seja o estado em um dia qualquer o número da moeda que foi lançada nesse dia Assim, temos uma Cadeia de Markov de dois estados e P = P (2) = P (3) = Uma vez que a seleção inicial de uma moeda é equiprovável, sabemos que α 1 = α 2 = 1 /2 Assim a probabilidade buscada é dada por α 1 P α 2 P 3 21 = 1 2 P P21 3 = b Se tomarmos uma outra representação para os estados, onde o estado 0 indica que o último lançamento deu cara e o estado 1, coroa, temos então uma outra Cadeia de Markov, onde, coincidentemente, a matriz P é igual ao item anterior A probabilidade desejada é igual a P 4 00 = Especifique as classes das seguintes Cadeias de Markov e determine se cada classe é transiente ou recorrente: P 1 = , P 2 = , P 3 = , P 4 = /3 2/ Basta verificar quais pares de estados das cadeias acima se comunicam para obtermos as classes Isso pode ser feito tanto no diagrama da cadeia ou diretamente na matriz de transição A mesma observação vale para a determinação de classes recorrentes e transientes Assim, temos que 1 {0, 1, 2}, recorrente 2 {0, 1, 2, 3}, recorrente 3 {0, 2}, recorrente; {1}, transiente; {3, 4}, recorrente 4 {0, 1}, recorrente; {2}, recorrente; {3}, transiente; {4}, transiente 9 Numa empresa, cada empregado possui um de três cargos possíveis e muda de cargo (independentemente dos demais empregados) de acordo com uma Cadeia de Markov com as probabilidades de transição: P = Qual percentual de empregados se encontram em cada cargo? 4

5 A Cadeia de Markov dada é irredutível e ergódica Aplicando o princípio do equilíbrio dos fluxos podemos calcular as probabilidades limitantes em regime estacionário (π i ) π 0 + π 1 + π 2 = 1 π 0 = 07π π π 2 π 1 = 02π π π 2 π 2 = 01π π π 2 onde as três primeiras equações são obtidas a partir das colunas da matriz P Resolvendo o sistema acima temos que π 0 = 6 /17, π 1 = 7 /17 e π 2 = 4 /17 Portanto, se assumirmos que a empresa possui um número grande de funcionários, então a cada grupo de 17 empregados, temos respectivamente que 6, 7 e 4 deles possuem os cargos 0, 1 e 2 10 Seja A um conjunto de estados e tome Ā como o conjunto complementar a Qual é a interpretação para b Qual é a interpretação para c Explique a identidade i A π i P ij? i A j Ā π i P ij? i Ā j A π i P ij j Ā π i P ij = i Ā j A a Esta é a proporção em regime estacionário (long run) de transições que saem de um estado em A para um estado em Ā b O dual do item anterior, isto é, transições que saem de Ā para A c Entre duas transições de A para Ā deve obrigatoriamente haver uma transição de Ā para A, e vice versa Isso justifica a identidade dada 11 O tempo T necessário para se consertar uma máquina é uma VA exponencialmente distribuída com média de meia hora a Qual é a probabilidade de um conserto demorar mais de meia hora? b Qual é a probabilidade de um conserto demorar ao menos 12 horas e meia, dado que ele já levou 12 horas? Como T é uma VA exponencial, temos que E[T ] = 1 /λ = 1 /2 λ = 2 a Sabemos que P (T > t) = e λt e portanto P (T > 05) = e 2(05) = e 1 b Como a distribuição exponencial é sem memória, temos que P (T > 125 T > 12) = P (T > 05) = e 1 12 Ao chegar em um banco, você constata que há apenas um caixa funcionando e que há outros cinco clientes no banco, com um sendo atendido pelo caixa e outros quatro esperando na fila Você então entra no fim da fila Se os tempos de serviço são todos exponenciais com taxa µ, qual é o tempo esperado que você passará no banco? 5

6 Sejam T : o tempo total que você passa no banco; R: o tempo restante de serviço da pessoa atualmente no caixa; S i : o tempo de serviço da pessoa i na fila; e S: o seu tempo de serviço Então, E[T ] = E[R + S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S] 4 = E[R] + E[S i ] + E[S] = 6 µ i=1 onde nós usamos o fato da exponencial ser sem memória para concluir que R também é uma VA com taxa µ 13 Num certo sistema, um cliente deve ser atendido pelos servidores 1 e 2, nessa ordem, deixando o sistema após ser atendido pelo servidor 2 Os tempos de serviço no servidor i são exponenciais com taxas µ i, i = 1, 2 Se o servidor 1 estiver ocupado quando um cliente chegar, ele espera na fila para esse servidor Depois de ser atendido pelo servidor 1, um cliente segue para o servidor 2 se este estiver livre ou então permanece no servidor 1 (bloqueando qualquer outro cliente de começar o seu atendimento) até que o servidor 2 fique liberado Suponha que ao chegar você constata que há um único cliente no sistema, sendo atendido pelo servidor 1 Qual é o tempo esperado que você passará no sistema? Sejam Então, T : o tempo total que você passa no sistema; W i : o seu tempo de espera para o servidor i; e S i : o seu tempo de serviço no servidor i E[T ] = E[W 1 + S 1 + W 2 + S 2 ] = E[W 1 ] + E[S 1 ] + E[W 2 ] + E[S 2 ] e devemos calcular o valor esperado de cada um dos tempos acima Sabemos que E[S i ] = 1 /µ i, i = 1, 2, pois os tempos de serviço são exponenciais Pelo mesmo motivo, como a exponencial é sem memória, temos que E[W 1 ] = 1 /µ 1 Para calcular E[W 2 ] é necessário condicionar sobre quem termina primeiro o atendimento, você ou o outro cliente Se você termina primeiro no servidor 1 (caso C 1 ), então o seu tempo de espera será 1 /µ 2 pois você tem de esperar o outro cliente liberar o servidor 2 Se o outro cliente termina primeiro (caso C 2 ), então o seu tempo de espera é zero Assim, temos que ( 1 E[W 2 ] = µ 2 ) ( ) ( ) 1 µ1 P (C 1 ) + 0 P (C 2 ) = µ 2 µ 1 + µ 2 Somando todos os valores esperados, chegamos finalmente a E[T ] = 2 ( )[ µ ] 1 µ 1 µ 2 µ 1 + µ 2 6