Exercícios Propostos

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1 Cursinho: Universidade para Todos Professor: Cirlei Xavier Lista: 5 a Lista de Matemática Aluno (a): Disciplina: Matemática Conteúdo: Equações e Funções Turma: A e B Data: Setembro de Resolva 11 = Equações & Funções do 1 o Grau e do o Grau Eercícios Propostos 0. Resolva o seguinte sistema pelo método da substituição, da comparação e da adição: + = 4 = 1 0. Encontre as raízes da equação = Resolva a equação do segundo grau incompleta 18 = (UESB) Em um cofre há apenas moedas de 5 e 50 centavos, totalizando R$10,50. Se o total de moedas é 7, então a quantidade de moedas de 50 centavos ecede a das outras em: a) R$1,50 b) R$,50 c) R$,50 d) R$4,50 e) R$5, (UESB) No universo U = R, o conjunto solução da equação = valor de m n? é (m,n). Qual o 07. (UESB) Três amigos A, B e C foram às compras e gastaram um total de R$187,00. Sabe-se que A gastou R$18,00 a menos que B, e esse gastou R$10,00 a menos que C, portanto: a) B gastou R$47,00 b) C gastou R$65,00 c) A gastou R$75,00 d) A e C gastaram juntos R$11,00 e) B e C gastaram juntos R$140, (UESC) Um rapaz comprou 17 livros pagando R$480,00, sendo parte desses livros comprada a R$40,00 a unidade e o restante, a R$0,00 e R$0,00 a unidade. Se o número de livros a R$0,00 foi igual a um terço do número de livros a R$0,00, então a quantia total, em reais, gasta com livros de R$0,00 foi: a) 40 b) 80 c) 100 d) 10 e) Sejam os conjuntos A = {,0,4}, B = 0,1,,} e a relação de A em B dada por =, em que A e B. Verificar, através do diagramas de flechas, se a relação é uma função. 10. Considerando os conjuntos A = {, 1,1,}, B = {1,,,4} e a relação de A em B dada pela lei f () = ( A e B), verificar se essa relação é uma função. 11. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a,b,c,d} e B = {1,,,4,5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. 1

2 Matemática Enem e Uesb a) {(a,1),(b,),(c,)} b) {(a,),(b,1),(c,5),(a,1)} c) {(a,1),(b,1),(c,1),(d,1)} d) {(a,1),(a,),(a,),(a,4),(a,5)} e) {(1,a),(,b),(,c),(4,d),(5,a)} f) {(a,1),(b,),(c,)} 1. Dados os conjuntos A = {0,1,} e B = {1,,5,7}, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função f : A B definida pela lei f () = (UFMG) Suponha-se que o número f () de funcionários para distribuir, em um dia, contas de luz entre por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função f () = Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as constas de luz foi 75, qual a porcentagem de moradores que as receberam? 14. Dados os conjuntos A = { 1,0,1,} e B = {0,1,,,4,5} e a relação R = {(,) A B = +1}, determine: a) os pares ordenados da relação R. b) o conjunto domínio e o conjunto imagem. c) o diagrama de flechas. d) o gráfico cartesiano. 15. Dados os conjuntos A = [ 1,] e B = [0,5] e a relação R = {(,) A B = +1}, determine: a) determine a forma gráfica do produto A B. b) determine a relação R no plano cartesiano. d) determine o domínio e o conjunto imagem da relação. 16 (FAAP-SP) Deseja-se construir uma casa térrea de planta retangular. Determinar as dimensões do retângulo em que a casa será construída, sabendo-se que seu perímetro é 60 m e que a área deve ser máima. a) 15 m e 15 m b) 0 m e 10 m c) 5 m e 5 m d) 17,5 m e 1,5 m e),50 m e 7,50 m 17. (UESC) Se o conjunto-solução da equação k 1 1, com k Z, é { 1,}, então o número k pertence ao conjunto: a) {,4} b) {, 1} c) { 1,0} d) {1,} e) {,4} 18. Determine a lei da função que é do tipo f () = a + b e calcular f (), sabendo que f (1) = e f () = (Fuvest-SP) Esboçar o gráfico da curva = ( + ) ( ). 0. Faça o estudo dos sinais das seguintes funções: a) = + 9 b) = 4 1. (PUC) Esboce o gráfico da função = Encontre a condição para o parâmetro m, de modo que a função = (m 9) seja quadrática.. Determinar os zeros das funções quadráticas: = k

3 a) = + + b) = + 1 c) = (Vunesp) Dada a equação + = 0, calcule a soma dos inversos de suas raízes. 5. Esboçar o gráfico da função = + + 6, determinando: a) as raízes b) as coordenadas do vértice c) a classificação de v (valor mínimo ou valor máimo da função) d) intersecção da curva com o eio. 6. Determinar os valores de m para que a função f () = (m+) 5+10 assuma valores positivos para todo real. 7. Determinar os valores de m para que a função f () = 4 ( m + 1) assuma valores negativos para todo real. 8. Um terreno retangular tem 80 m de perímetro, de modo que o comprimento tem 0 m a mais que a largura. Quais as dimensões desse terreno? 9. Um terreno retangular com.100 m de área foi cercado com 00 m de arame. Quais são as dimensões desse terreno? 0. (PUC-RJ) Qual é a maior área possível de um terreno retangular (medido a metros por b metros), dado que a+b=10? 1. Duas empresas, A e B comercializam o mesmo produto. Seus lucros diários variam de acordo com o número de unidades vendidas () segundo as epressões: empresa A: L A = e empresa B: L B = a) Em que intervalo deve variar o número de unidades vendidas a fim de que o lucro da empresa B supere o da empresa A? b) Represente graficamente, no mesmo plano cartesiano, as duas funções e indique o resultado obtido no item a.. (FGV-SP) Uma parede de tijolo será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados usaremos 400 m de tela, de modo a produzir a área máima. Então o quociente de um lado pelo outro é: a) 1 b) 0,5 c),5 d) e) 1,5. (Fuvest-SP) De um retângulo de perímetro e lados cujas medidas são e z, com < z, retira-se um quadrado de lado medindo. a) Calcular a área remanescente em função de. b) Determinar para que essa área seja a maior possível. 4. Um retângulo esta inscrito em um triângulo isósceles de 8 cm de altura e 6 cm de base estando a base do retângulo contida na base do triângulo, como mostra a figura. Calcular a área máima do retângulo.

4 Matemática Enem e Uesb A E D 8 cm B 6 cm C 5. Um fabricante pode produzir calçados ao custo de R$0,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por reais, o fabricante venderá por mês 80 (0 80) pares de sapatos. Assim, o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda. Qual deve ser o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máimo? 6. (PUC-SP) Na figura abaio, tem-se o quadrado ABCD cuja área é 9 cm. Se AQ=AP, qual é a área máima do quadrilátero BPQC? D C Q A P B 7. No seu primeiro mês de atividade, uma pequena empresa lucrou R$1800,00. P e Q, seus sócios, investiram R$15.000, 00 e R$1.000, 00, respectivamente. Como deve ser dividido o lucro entre P e Q, uma vez que ele é diretamente proporcional ao valor investido? 8. Na lei = a+,5, em que a é uma constante, está relacionado o valor total (), em reais, pago por um usuário que acessou a internet por horas, em um cibercafé. Sabendo que uma pessoa que usou a rede por horas pagou R$8,00: a) Determine o valor de a; b) encontre o valor pago por um usuário que acessou a rede por 5 horas; c) faça o gráfico de em função de. 9. Para produzir um objeto, uma firma gasta R$1,0 por unidade. Além disso, há uma despesa fia de R$4.000, 00, independentemente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$, 00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a partir do qual a firma começa a ter lucro? 40. A depreciação de um equipamento industrial ocorre segundo uma função do primeiro grau. O equipamento vale hoje R$8.000,00 e daqui a seis anos, R$5.000,00. Qual será o valor do equipamento daqui a dois anos? 41. Numa festa uma pessoa observou o seguinte problema: quando três pessoas sentam em cada mesa ficam 15 pessoas em pé e quando quatro pessoas sentam em cada mesa sobram 5 mesas vazias. Quantas pessoas estão na festa e quantas mesas eistem? 4

5 4. Uma vendedora recebe R$1.000,00 fios e mais 10% do total que vende no mês. Supondo que em determinado mês ela tenha vendido R$0.000,00, quanto recebeu de comissão? 4. Um caminhão A e um automóvel B movimentam-se conforme as seguintes funções horárias: S A = 0 + 5t e S B = 15t. Determine o instante (em horas) e a posição (em quilômetros) em que os veículos se encontram ( resolver algébrica e graficamente). 44. (UESB) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e o seu lucro mensal é calculado, em reais, pela epressão seguinte L() = , na qual é o número de unidades vendidas mensalmente. Para que seja possível obter-se um lucro mensal máimo, o número de unidades vendidas no mês deve ser: a) 1.50 b) c).700 d).850 e) (UESB) Uma firma compra um produto por R$1,00 a unidade e vende-o por reais, obtendo um lucro unitário de 1 reais. Admitindo-se que, ao preço de reais a unidade, a firma consegue vender unidades ao dia, e indicando por L seu lucro diário na venda do produto, tem-se: a) L = ( ) + ( + 1) b) L = ( )( 1) c) L = ( ) d) L = ( )/( 1) e) L = ( )/ 46. Um homem pretende construir um curral retangular aproveitando como um dos lados uma parede já eistente. Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área (A) seja máima considerando que ele pretende usar 100 m de cerca? 47. (UESC) Com 00 u.c de arame, deseja-se cercar dois terrenos em forma de retângulos, como representados na figura, de modo que a soma das suas áreas seja máima. Determine, para isso, o valor de. 48. Calcule dois números cuja soma seja 10 e o produto entre eles seja o maior possível. 49. Calcule as medidas dos lados do retângulo de área máima cujo perímetro é igual a 100 m. 50. (FEI-SP) A figura representa um quadrado de 0 cm de lado. Marca-se o ponto M em AD e o ponto P em AB, de tal forma que P B = AM. Determine o valor de AM para que a área do triângulo AMP seja máima. A M D P B C 5

6 Matemática Enem e Uesb 51. (Cesesp-PE) Um fabricante vende mensalmente unidades de um determinado artigo por V () =, sendo o custo da produção dado por C() = Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máimo? 5. Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Esse movimento segue a lei h = t 5t, em que h é a altura, medida em metros, e t é o tempo, medido em segundos. Determine, em metros, a altura máima atingida pela pedra. Respostas dos Eercícios 01. = 0. = 1 e = 4 0, = + 7/5 e = 7/5 04. = 0 e = d e 08. b 09. A relação não é uma função de A em B. 10. A relação é uma função de A em B. 11. c 1. D(f ) = A = {0,1,}, CD(f ) = B = {1,,5,7} e Im(f ) = {1,,5} 1. 0% 14 a) R = {( 1,0),(0,1),(1,),(,)}; b) D(R) = { 1,0,1,} = A e Im(R) = {0,1,,}; c) Faça o diagrama de flechas!; d) 6

7 a) b) 5 5 A B A B R c) D(R) = [ 1,] e Im(R) = [0,]. 16. a 17. b 18. f () =

8 Matemática Enem e Uesb , a) > 0 para <, = 0 para = e < 0 para >. b) < 0 para <, = 0 para = e > 0 para > V m 0. a) 1 = 1 e = ; b) 1 = 1 e = 1; c) não eistem raízes reais a) 1 = e = ; b) ( 1, 5 ) ; c) 4 v = 5 4 é o valor máimo da função; d) ponto (0,6). 8

9 6,5 6 V - 0 0,5 6. m > m < m de largura e 0 m de comprimento 9. 0 m por 70 m m 1. a) entre e 5 unidades (incluindo tais etremos); b) b. a) A() = + 16; b) = 4 4. A=1 cm 5. O par deve ser vendido por R$50, A área é 6,75 cm. 7. O sócio P receberá R$1.000,00 e o sócio Q receberá R$800, a) a=; b) R$15,50; c) 9

10 Matemática Enem e Uesb 5, A firma começa a ter lucro a partir de unidades vendidas G() V() R$7.000, mesas e 10 pessoas 4. R$4.000, t = horas e S A = S B = 0 km. S(km) 0 S A 0 S B 0 t(h) 44. c 45. b 46. As medidas que maimizam a área do curral são 5 m e 50 m. 47. = 50 10

11 48. Os números são 5 e É um quadrado de lado 5 m cm. 51. unidades. 1 V h má = 80 11