Sumário. Capítulo 1 Erros em processos numéricos 1. Capítulo 2 Solução numérica de sistemas de equações lineares e matrizes inversas 19

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1 Sumário Prefácio IX Agradecimentos X Capítulo Erros em processos numéricos. Introdução. Erros na fase da modelagem.3 Erros na fase de resolução.4 Erros de representação 5.5 Erro de arredondamento.6 Erro absoluto.7 Erro relativo.8 Erro de truncamento.9 Propagação dos erros 4 Exercícios 6 Capítulo Solução numérica de sistemas de equações lineares e matrizes inversas 9. Introdução 9. Sistemas de equações lineares 9.3 Métodos diretos.4 Matrizes inversas 46.5 Condicionamento de sistemas lineares 49.6 Métodos iterativos 49 Exercícios 68 Capítulo 3 Solução numérica de equações Introdução Localização das raízes: métodos gráficos Métodos numéricos para resolução de equações Equações polinomiais Sistemas de equações não lineares Trabalhando com o software numérico Exercícios 4 vii

2 viii Cálculo Numérico Capítulo 4 Aproximação de funções 7 4. Introdução 7 4. Interpolação polinomial Fórmula interpolatória de Lagrange Interpolação linear Fórmula interpolatória de Newton Interpolação inversa Fórmula interpolatória de Newton-Gregory Aproximação de funções o método dos mínimos quadrados Trabalhando com o software numérico 8 Exercícios 85 Capítulo 5 Integração numérica Introdução Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes Erro cometido na integração numérica Regra dos trapézios Regra /3 de Simpson 5.6 Regra 3/8 de Simpson Fórmula de quadratura de Gauss Integração dupla Trabalhando com o Software Numérico 7 Exercícios 9 Capítulo 6 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias Introdução Problema de valor inicial (PVI) Discretização Métodos baseados em série de Taylor Métodos de Runge-Kutta Métodos previsor-corretor Trabalhando com o Software Numérico 78 Exercícios 8 Capítulo 7 Manual do Software Numérico Introdução Objetivos Software Numérico Módulos desenvolvidos Abertura do Software Numérico Descrição dos módulos do Software Numérico 88 Referências bibliográficas 36 Índice remissivo 363

3 Prefácio Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento dos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Originada a partir de uma apostila, Notas de Cálculo Numérico, escrita pelos autores e pelos professores que ministravam a disciplina de Cálculo Numérico e publicada pelo Departamento de Matemática, conforme Darezzo, A. F.; Arenales, S. H. V. et al. (99), esta obra reflete a experiência de muitos anos dos autores, no ensino da disciplina Cálculo Numérico para diferentes cursos do Centro de Ciências Exatas e de Tecno logia da Universidade Federal de São Carlos UFSCar. O livro é composto de sete capítulos contendo os principais tópicos abordados numa disciplina básica de Cálculo Numérico nas universidades, apresentando os métodos numéricos com desenvolvimento teórico e os respectivos algoritmos descritos de forma simples, com exemplos e listas de exercícios para fixação do conteúdo. Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral, da Álgebra Linear e da Geometria Analítica foram utilizados no decorrer dos capítulos, considerando que os alunos tenham estes conhecimentos. Juntamente com este livro desenvolvemos o Software Numérico de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios computacionais. O Software Numérico relaciona cinco módulos: Sistemas Lineares, Raízes de Funções, Interpolação e Aproximação de Funções, Integração Numérica e Equações Diferenciais Ordinárias. Este software foi desenvolvido inicialmente durante o Projeto de Reestruturação do Ensino de Engenharia Projeto Reenge (996), em seguida foi aperfeiçoado e tem sido utilizado como ferramenta metodológica, em aulas ix

4 x Cálculo Numérico de exercícios, para todas as turmas de Cálculo Numérico no Laboratório de Ensino do Departamento de Matemática da UFSCar. Acreditamos, também, que este material possa ser aplicado em cursos na modalidade Ensino a Distância, o qual o professor, com listas de exercícios bem elaboradas, reforça e melhora a aprendizagem desses assuntos, com a aplicação do Software Numérico, que contém um Arquivo de Correção, o qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios feitos pelos alunos. Posteriormente, o professor pode acessá-lo, analisá-lo e realizar comentários sobre tentativas, erros e acertos dos alunos estabelecendo uma inte ração professor/aluno a distância, que pode ser encontrado para download no site da Editora Thomson ( O Manual do Software Numérico, no qual o usuário possui, de forma simples e clara, um resumo sobre os métodos numéricos desenvolvidos nos capítulos anteriores deste livro com exemplos ilustrativos, além de informações sobre o uso, sintaxe, entrada de dados e todos os esclarecimentos à disposição no Help On Line pode ser encontrado no CD que acompanha este livro. O usuário pode instalar o software de maneira simples utilizando a senha 68. Este software também foi usado, numa experiência de ensino na disciplina de Cálculo Numérico, integrado com o uso de Mapas Conceituais. Com esta metodologia de ensino/aprendizagem foi possível observar efeitos, influências, benefícios e dificuldades, tanto nas atividades em sala de aula como em aulas de laboratório, conforme publicação Salvador, J. A.; Arenales, S. H. V. et al. (3). Agradecimentos Aos estudantes da UFSCar e do Centro Universitário Central Paulista Unicep, pelo retorno positivo nas versões preliminares que nos incentivou a publicar este livro. Aos colegas do Departamento de Matemática da UFSCar que de alguma forma acompanharam este trabalho e acreditaram no seu desenvolvimento, através do incentivo diário e de sugestões para que os objetivos propostos fossem alcançados. Em especial, ao Professor Dr. Marcos Nereu Arenales, docente do Departamento de Matemática Aplicada e Estatística ICMC-USP-São Carlos, pela leitura e pelas sugestões pertinentes nos diversos capítulos deste livro. Selma Arenales Artur Darezzo

5 Capítulo Erros em Processos Numéricos. Introdução De uma maneira geral, a resolução de um problema de qualquer área do conhecimento científico passa inicialmente por uma fase de observação e enten dimento do fenômeno físico envolvido na qual, usando conhecimentos já estabelecidos, buscamos, através de simplificações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático que represente, com a maior fidelidade possível, o problema que desejamos tratar. Esta etapa é caracterizada como fase da modelagem do modelo matemático. Com o problema representado através de um modelo matemático, buscamos, para a sua resolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numérico aproximado. Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um método exato, isto é, um método que apresenta a solução exata para o modelo, pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elementares (adição, multiplicação, subtração e divisão) e, sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, podemos cometer erros. Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo matemático, pela resolução através de um método numérico, além dos erros no processamento anteriormente mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fato de utilizarmos, para a resolução do modelo matemático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como fase de resolução do modelo matemático. Podemos entender as duas fases descritas anteriormente através do esquema representado na Figura.. Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase da resolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança

6 Cálculo Numérico Figura. da base de processamento, os erros de representação, devido ao sistema utilizado pelos computadores para armazenar dados numéricos; os erros de arredondamento e truncamento; e erros absolutos e relativos.. Erros na fase da modelagem São os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenômeno da natureza que estivermos observando possa ser representado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis..3 Erros na fase de resolução São erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por exemplo, um computador, para processarmos os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão. Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança de base e erros de representação, apresentados a seguir: Erros na mudança da base A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numéricos no sistema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos, estes são transformados em uma outra base de representação.

7 Erros em Processos Numéricos 3 Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de erros, em razão da limitação da representação do equipamento computacional que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos. Dado um número real, N, é sempre possível representá-lo em qualquer base b, da seguinte forma: onde a i Base binária m i N a m i Nb = ai b i = n {,,, 3,...,( b ) }, com n e m inteiros. =, ai {,} i i = n Exemplo. 3 a) () = Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i =,,, 3, e temos: a =, a =, a =, a = 3 b) (.) = Neste caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, n = e m =, e portanto: Base decimal m N a Exemplo. a =, a =, a =, a =, a = i = i, ai {,,..., 9} i = n a) (3) = + 3 +, com n e m inteiros. Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i =,, e temos: a =, a = 3, a = b) (3.35) 5 = Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária, n = e m =, e temos: a = 5, a = 3, a =, a = 3, a = Assim, dado um número real qualquer numa base b, podemos escrevê-lo em uma outra base b, a partir de adequação conveniente de seus coeficientes a i =,,, 3,..., (b ) e de uma potência adequada na nova base b.

8 4 Cálculo Numérico Mudança da base binária para a base decimal Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de. Exemplo.3 () = = (3) 3 a) 3 b) (.) = = (7.375) Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte inteira) Procedimento: divisões sucessivas. O procedimento consiste na divisão do número na base decimal sucessivamente por, armazenando, a cada passo, o algarismo do resto (r), até que o quociente da divisão seja igual a. O binário é constituído pelo quociente e pelos coeficientes do resto da divisão, a partir do resto mais significativo (r n ) para o menos significativo (r ). Desta forma, temos: Exemplo.4 N = (, r, r, r,..., r, r, r ) n n n 3 3 (5) = () = , isto é: 3 4 a) 5 = eresto=, = 6 eresto=, 6 = 3 eresto= 3 = eresto=, = eresto= () = () = b) Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte fracionária) Procedimento: multiplicações sucessivas. O procedimento é constituído dos seguintes passos: a) Multiplicamos o número fracionário por. b) Do resultado do passo a), a parte inteira é o primeiro dígito binário. c) Do resultado do passo b), a parte fracionária é novamente multiplicada por. d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula. Exemplo a) (.875) 3 (.) ( 6 ) = = =, isto é: (.875)() =.375 parte inteira = e parte fracionária =.375 (.375)() =.75 parte inteira = e parte fracionária =.75 (.75)() =.5 parte inteira = e parte fracionária =.5 (.5)() =. parte inteira = e parte fracionária =

9 Erros em Processos Numéricos 5 b) (3.5) = (3) + (.5) = () + (.) = (.) c) (.) = (...) Observe que (.) é uma dízima periódica de período (.). Assim, o decimal (.) não tem uma representação binária exata, isto é, a representação é aproximada e, portanto, apresenta erro..4 Erros de representação Na construção de um equipamento computacional, uma questão importante a ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para representar os dados numéricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada número é armazenado em uma posição que consiste de um sinal que identifica se o número é positivo ou negativo e um número fixo e limitado de dígitos significativos. De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valores numéricos: Sistema de ponto fl utuante normalizado Um número no sistema de ponto flutuante é caracterizado por uma base b, um número de dígitos significativos n e um expoente exp. Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto flutuante se for possível escrevê-lo da seguinte maneira: nr = m b exp onde m é a mantissa do número, b é a base e exp é o expoente da base. Neste sistema de ponto flutuante, as seguintes condições devem ser verificadas: m =±. d, d,..., dn n N sendo n o número máximo de dígitos na mantissa, d, d,..., d n, dígitos significativos da mantissa, do sistema de representação, com o primeiro dígito satisfazendo a condição d (b ) e os demais dígitos satisfazendo d i (b ) ; i =, 3,..., n. O expoente exp varia da seguinte maneira: exp exp exp mín sendo expmín e expmáx com exp mín e exp máx inteiros. A união de todos os números em ponto flutuante, juntamente com a representação do zero, constitui o sistema de ponto flutuante normalizado, que indicamos por SPF (b, n, exp mín, exp máx ). máx

10 6 Cálculo Numérico Neste sistema, o zero é representado da seguinte maneira: exp zero :... b mín nvezes Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma genérica por SPF (b, n, exp mín, exp máx ), temos: a) O menor positivo exatamente representável, não nulo, é o real formado pela menor mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, isto é: exp menor = (...) b mín (n ) vezes b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissa multiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é: exp maior = ( [b ][b ]...[b ]) b máx nvezes c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por: mantissas+ = ( b n ) b d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por: exppossíveis = expmáx expmí n + e) O número de elementos positivos representáveis é dado pelo produto entre o número máximo de mantissas pelo máximo de expoentes, isto é: NR+ = mantissas + exp possíveis Se considerarmos que dado um número real nr SPF temos que nr SPF e a representação do zero, podemos concluir que o número total de elementos exatamente representáveis NR t é dado por: NR = NR + t Exemplo.6 Considere o sistema de ponto flutuante SPF (b, n, exp mín, exp máx ) = SPF (3,,, ), isto é, de base 3, dígitos na mantissa, menor expoente igual a e maior expoente. Para este sistema temos: a) O menor exatamente representável:. 3 = ( ) 3 = 9 +

11 Erros em Processos Numéricos 7 b) O maior exatamente representável:. 3 ( 3 = + 3 ) 3 = 8 c) A quantidade de reais positivos exatamente representáveis: Temos que a quantidade de reais positivos exatamente representáveis é dada pelo produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos, formadas com os dígitos da base 3, isto é,.,.,.,.,.,., e todas as possibilidades de expoentes, que no caso são,,,. Desta forma, os 4 positivos exatamente representáveis estão listados a seguir: :. 3 = /9 :. 3 = /3 :. 3 = :. 3 = 3 :. 3 = 4/7 :. 3 = 4/9 :. 3 = 4/3 :. 3 = 4 :. 3 = 5/7 :. 3 = 5/9 :. 3 = 5/3 :. 3 = 5 :. 3 = /9 :. 3 = /3 :. 3 = :. 3 = 6 :. 3 = 7/7 :. 3 = 7/9 :. 3 = 7/3 :. 3 = 7 :. 3 = 8/7 :. 3 = 8/9 :. 3 = 8/3 :. 3 = 8 Observe que o menor real positivo representável é e o maior positivo 9 representável é o real 8. Por outro lado, sabemos que se um real x SPF então x SPF e, como no sistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma representação, temos que os representáveis de SPF pertencem ao conjunto: R = x; x, 8 8, {} 9 9

12 8 Cálculo Numérico Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores não são representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalos anteriores constitui-se em uma mensagem de erro, isto é, Erro de Underflow, se a tentativa de representação satisfizer: { } Under = x ; x 9,, 9 Erro de Overflow, se a tentativa de representação satisfizer: { ( ) ( + ) } Over = x; x, 8 8, Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real, verificaremos, num primeiro momento, uma maior concentração de representáveis nas proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos afastamos da origem e que, aparentemente, não existe uma uniformidade na sua distribuição, como acontece com os representáveis do sistema de ponto fixo. No entanto, é possível observar que os representáveis definidos através do produto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmo expoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta. Assim, os reais. 3,. 3,. 3, são igualmente espaçados por h3 =. 7 Os reais. 3,. 3,. 3. 3,. 3,. 3,. 3,. 3,. 3 são igualmente espaçados por h =. 9 Enquanto os reais. 3,. 3,. 3,. 3,. 3,. 3 são espaçados por h =. 3 E os reais representados por. 3,. 3,. 3,. 3,. 3,. 3 são igualmente espaçados por h =. De modo geral, podemos representar o espaçamento entre os representáveis exatamente da seguinte maneira: h i = ;i=,,,3 i 3 Exemplo.7 Considere o sistema de ponto flutuante SPF (, 3,, ), isto é, de base, 3 dígitos na mantissa, menor expoente igual a e maior expoente.

13 Erros em Processos Numéricos 9 Para este sistema temos 6 reais positivos exatamente representáveis além do zero. A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema SPF (, 3,, ) pode ser visualizada através da Figura.: Figura. Observe que o menor positivo exatamente representável é /4 e o maior é 7/. Exemplo.8 Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3,,, ), de base 3, dígitos na mantissa, menor expoente igual a e maior expoente. Para este sistema, temos que: x (.) 3 9 = = 3 e y = 5 = (.) 3 3 são exatamente representáveis, no entanto,( x + y) = (. ) (. ) 3 3 = (. ) 3 3 não é exatamente representável em SPF, uma vez que no sistema de ponto flutuante considerado a mantissa é de dígitos. Observação Pode ocorrer de outras propriedades consagradas no conjunto dos números reais não serem verdadeiras, no sentido da exatidão da representação, no sistema de ponto flutuante normalizado, como as propriedades comutativa e associativa na adição, e as propriedades comutativa e distributiva na multiplicação. Exemplo.9 Dados x,y,z R e o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3,,, ), temos: 5 7 Se x = = (.) 3 3, y = = (.) 3 3 e 3 7 temos: 8 z = = (.) x + ( y + z) =. 3 e ( x + y) + z =. 3

14 Cálculo Numérico Podemos observar que: x +(y + z) (x + y) + z.5 Erro de arredondamento Quando estamos utilizando um equipamento computacional para processar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões de Underflow ou de Overflow e este não é representável exatamente no sistema de ponto flutuante SPF o mesmo será representado de forma aproximada por nr a. Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do real nr, para que sua representação seja possível no SPF. Assim, dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério: a) O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + ) for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é representado com os k dígitos iniciais. b) Se o dígito de ordem (k + ) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos e, se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade. c) O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k. Exemplo. Consideremos um equipamento com o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, exp mín, exp máx ) = SPF (, 4, 5, 5). 3 a) Se a =.534 e b =.4, então a b =.44688, que é arredondado e armazenado como (a x b) a = b) Se a =.534 e b =.37, então a + b =.54477, que 3 é arredondado e armazenado como (a + b) = a.6 Erro absoluto Definimos erro absoluto como Eabs = aex aaprox onde a ex é o valor exato da grandeza considerada e a aprox é o valor aproximado da mesma grandeza.

15 Erros em Processos Numéricos Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição anterior fica sem sentido. Assim, é necessário trabalharmos com um limitante superior para o erro, isto é, escrevê-lo na forma: a ex a aprox ε onde ε é um limitante conhecido. A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira: ou ainda ε a ex a aprox ε aaprox ε aex aaprox +ε isto é, a aprox é o valor aproximado da grandeza a ex com erro absoluto não superior a ε..7 Erro relativo Definimos erro relativo como: E rel E = = a ex a ex a onde a ex é o valor exato da grandeza considerada e a aprox é o valor aproximado da mesma grandeza. Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição anterior fica sem sentido. Dessa forma, é preciso trabalharmos com um limitante superior para o erro relativo, isto é, escrevê-lo na forma: δ ε a aprox onde δ, é um limitante conhecido. Podemos observar que o erro relativo nos fornece mais informações sobre a qualidade do erro que estamos cometendo num determinado cálculo, uma vez que no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada. Exemplo. a) Consideremos o valor exato a ex = e o valor aproximado a aprox = 345. Então, E abs =.73 E rel =.3396 a ex aprox

16 Cálculo Numérico b) Consideremos o valor exato a ex =.73 e o valor aproximado a aprox =. Então, E abs =.73 E rel =.469 Observe que nos exemplos a) e b) o erro absoluto é o mesmo, embora o erro cometido pela aproximação seja muito mais significativo no exemplo b). No exemplo a), o erro relativo é da ordem de.3%, e no exemplo b), é da ordem de 4.6%. Observação Em geral, nos procedimentos numéricos geramos uma seqüência de soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema. Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas seqüên cias de aproximações. Em geral, o erro relativo é preferível, devido às observações nos exemplos anteriores. Exemplo. Para resolver a equação f(x) = x a =, com a >, podemos utilizar o seguinte processo iterativo: a xn+ = xn + x n =,,,... n Assim, dado o valor x, podemos, através da expressão anterior, gerar a seqüência de soluções aproximadas x, x,... Dado que a propriedade de convergência da seqüência de aproximações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fixada ε foi definida para o cálculo de uma raiz da equação f(x) =, podemos verificar, de forma absoluta, se a seqüência de aproximações atingiu a precisão anterior ε, realizando o seguinte teste: Se xn+ xn ε for verdadeiro, dizemos que x n+ é a raiz da equação f(x) = com tolerância ε; caso contrário, devemos calcular outro elemento da seqüência e, de forma relativa, realizar o seguinte teste: xn+ xn Se ε for verdadeiro, concluímos que x n+ é a raiz da equação xn+ com a tolerância ε e, em caso contrário, devemos proceder ao cálculo de outro termo da seqüência..8 Erro de truncamento Quando representamos uma função através de uma série infinita e, por limitações do sistema de armazenamento de dados do equipamento, considerarmos apenas um número finito de termos, dizemos que estamos cometendo um erro de truncamento.