GUIA PARA AS PROVAS ( PO, AT E PG) E VESTIBULARES GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 GUIA PARA AS PROVAS ( PO, AT E PG) E VESTIBULARES GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. ENZO MARCON TAKARA 05

2 - PLANO CARTESIANO ORTOGONAL Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema. IMPORTANTE Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal ) Origem (0,0) ) Um ponto do eixo x ( a,0) 3) Um ponto do eixo y ( 0,a) 4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares b i ( a, a) ou ( -a, -a) 5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares bp ( -a, a ) ou ( a, -a) TABELA: Obtenha o ponto P conforme a localização notável N PONTO LOCALIZAÇÃO NOTÁVEL RESPOSTA P(,k) EIXO X P(,0) P(,k) b i ( bissetriz dos quadrantes ímpares 3 P(,k) bp ( bissetriz dos quadrantes pares) 4 P (k,-3) EIXO Y 5 P (k,-3) b i ( bissetriz dos quadrantes ímpares 6 P (k,-3) bp ( bissetriz dos quadrantes pares) 7 P( m+3, m+) b ( bissetriz dos quadrantes ímpares 8 P( m+3, m+) bp ( bissetriz dos quadrantes i pares)

3 Após ter com concluído a TABELA, responda esses exercícios para as provas: ) Determine as coordenadas do ponto P( 3k-4, k+5) sabendo que ele pertence a bissetriz dos quadrantes ímpares. )-(UNIFESP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e também y por (4 + y, x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, x é igual a a) -8. b) -6. c). d) 8. e) (IFSP) Os vértices de um triângulo ABC tem coordenadas A( 3,5) B(, -6) e C( -4,). O triângulo A B C é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A B C é: a) A(3,5) B( -,-6) C(, -4) D( 4,) 4-(ANGLO) Num sistema cartesiano, o ponto P (a-3, a-4) pertence ao segundo quadrante. Assim sendo, o número real a é tal que: a) <a<3 b) -3< a <- c) 0 <a < d) a < 3 e) 3 < a < 5- (FUVEST) Se (m + n, m - 4) e ( - m, n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: a) - b) 0 c) d) e)/ ) P(3, 3) )A 3)D 4)A 5) E Respostas: -DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras. y b B y a A d AB y b - y a x b x a x a x b d AB ( xa xb) ( ya yb ) ou d AB ( xb xa) ( yb ya ) 3

4 TABELA : Calcule a distância entre os pontos. N PONTOS RESPOSTAS A(,3) e B( 5,4) A( -,4 ) e B (,7) 3 A(,4 ) e origem 4 A(,3) e B( -,4) 5 A(-6,8) e origem TABELA 3: Determine as coordenadas do ponto P para que seja equidistante de A e B N PONTO P PONTOS A E B RESPOSTA P(x,5) A (-,3) e B(4,) Eixo x A(,3) e B (-3,5) 3 Bissetriz dos quadrantes pares A (8,-8) e B(,-) Após ter completado as tabela e 3, resolva esses exercícios para prova. 0-(UFRG) Sendo os pontos A = (-, 5) e B = (, ) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a). b). c) 3. d) 5. e) 5 0-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 b) 4 c) 8 d)8 e) 6 03-(ANGLO) Dois vértices consecutivos de um quadrado ABCD são os pontos A (,0) e B ( 0,). Calcule o comprimento da diagonal do quadrado 04-(UFRGS) A distância entre os pontos A(-, y) e B(6, 7) é 0. O valor de y é: a) b) 0 c) ou 3 d) - ou 0 e) ou 05-( ANGLO) Qual o ponto do eixo das ordenadas que equidista dos pontos A(, -) e B(6, 3)? a) (0,5) b) (5,0) c) (,3) d) (6,) e) (-,0) 06-(ANGLO) O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(, ) e D(0, 7) é: a) 5 b) 0 c) 0 d) 7 e) 9 Respostas )E )A 3) 4)C 5)A 6)B 4

5 3- PONTO MÉDIO Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas X M e Y M do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio. TABELA 4: Complete a tabela sabendo que A e B são pontos dos extremos de um segmento e M o ponto médio de AB. N PONTO A PONTO B PONTO MÉDIO M A (,4) B (3,7) A( -,8) Origem 3 A(,5) M (,8) 4 B ( -,4) M ( 5,3) 5 A ( 4,4) Origem 6 B( -,-7) M ( 4,-) Após ter completado a tabela 4, resolva esses exercícios para prova. )Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e C( 5,-). ) Dados os vértices consecutivos, A(-,) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-), intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices. 5

6 3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (, 3), B (0, 9) e C (0, 3) representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale: a) 3 b) 3 c) 5 d) 3 e) 6 4-(FEI) O simétrico do ponto A=(,3) em relação ao ponto P=(3,) é: a) B = (5, -) b) B = (, -) c) B = (-, 3) d) B = (, ) e) B = (4, 0) 5-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo retângulo estão sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se M = (-, 3) for o ponto médio da hipotenusa BC, é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a: a) - 4 b) - c) d) (PUC) Os pontos (-, 6), (0, 0) e (3, ) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice. a) (, 7). b) (4, -5). c) (, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3). 07-(ANGLO) Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(,4), então W é igual a: a)5 b)3 c)34 d)44 e) 6 08-(ANGLO) O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A(-, ), B(, 3) e C(4, 7), é a) 4 b)3 c) 5 d) 6 e) RESPOSTAS )5 ) C (8,-3) e D (,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A 7)C 8)C 4-BARICENTRO Sabemos da Geometria plana, que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas. Sendo G o baricentro, temos que AG =. GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições, as coordenadas do baricentro G(x g, y g ) do triângulo ABC onde A(x a, y a ), B(x b, y b ) e C(x c, y c ) é dado por : 6

7 Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A, B e C. Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5), B(4, -) e C(, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas. TABELA 5: Complete a tabela sabendo que A, B e C são vértices de um triângulo e G o seu baricentro. N PONTO A PONTO B PONTO C BARICENTRO G A (,4) B (3,7) C( -,) A( -,8) Origem C( 3,5) 3 A(,5) C (,8) G(,4) 4 B ( -,4) C ( 5,3) Origem Após ter completado a tabela 5, resolva esses exercícios para prova. - O baricentro de um triângulo é G(,6) e dois de seus vértices são A(,5) e B (4,7). Determinar o terceiro vértice - Calcule a distância do baricentro do triângulo A (,4), B(,7) e C (3,) à origem. 3- (FEI) Dado um triângulo de vértices (,); (3,); (-,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é: a) (, 3/) b) (3/, ) c) (3/, 3/) d) (, 5/3) e) (0, 3/) 4-(ANGLO) -Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, ) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, ). Calcule o valor de m + n. 5-(ANGLO) Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(,5), Y(-4,6), qual o comprimento do segmento BZ? RESPOSTAS ) C( -3,6) ) 5 3)D 4) 850 5) 65 7

8 5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS 5. - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada por S = D onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A, B e C. Temos portanto: A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área) Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus Condição de alinhamento de três pontos Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta. É óbvio que se os pontos A, B e C estão alinhados, então o triângulo ABC não existe, e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ). Fazendo S = 0 na fórmula de área do item., concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo, ou seja : D = 0. Exercício resolvido: Se os pontos P(3, 5), Q(-3, 8) e C(4, y) são colineares, então o valor de y é : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) Solução: Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter: 8

9 Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 3-3y y + 0 = 0 y = 9/ = 4,5. Portanto a alternativa correta é a letra D. TABELA 6: Calcule a área do triângulo ABC. N PONTO A PONTO B PONTO C ÁREA A (,4) B (3,0) C( -,) A( -,) Origem C( 3,5) 3 A(,5) B(,4) C (,8) TABELA 7: Determine k para que os pontos ABC sejam colineares ( NÃO FORMAM TRIÂNGULO) N PONTO A PONTO B PONTO C k A (,k) B (3,) C( -,) A( -,) Origem C( k,5) 3 A(,k) B(,4) C (,0) Após ter completado as tabelas 6 E 7, resolva esses exercícios para prova. 0-Para que valores de x os pontos A (x,x), B(3,) e C ( 7,-3), são colineares? 0-Para que valores de a os pontos A (0,a), B (a, -4) e C (, ) são vértices de um triângulo? 03-Dados A(3,) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas. 04-Dados A (,-3) e B ( 8,), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 05-Dados A (7,4) e B( -4,), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares. 06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são (, ), (3, 4) e (4, -), é igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 0. e) 07-(PUC) O valor de x para que os pontos (,3), (-,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9 c) d) 0 e) 5 08-(UNESP) Um triângulo tem vértices P = (, ), Q = (, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 0, a abscissa x do ponto R é: a) 8 b) 9 c) 0 d) e) 9

10 09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices A = (,), B = (,4) e C = (4,). a) 5/ b) 3 c) 7/ d) 4 e) 9/ 0-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,) e (,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 7/3 d) / e) 5,3 -(ANGLO) Dados os pontos A(0,0), B(5,0), C(8,5) e D(,8) no plano cartesiano ortogonal, P é um 5 ponto do.º quadrante tal que as áreas dos triângulos APB e CPD são, respectivamente, iguais a e 6. Em tais condições, o produto da abscissa pela ordenada de P pode ser igual a a) 8. b)0. c). d)4. e)5. RESPOSTAS ) x= ) a - e a 4 3) (0,-5) 4) ( -3,-3) 5) (-30/3, 30/3) 6)A 7)D 8)E 09)C 0)C )B 6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA 6.- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO Inclinação α é o ângulo que a reta forma com o eixo x ( ângulo da direita), sendo que esse ângulo α deve pertencer ao intervalo 0 α< 80 O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real a que representa a sua inclinação ( temos que: m = a =tgα ). Por definição, Exemplo Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º. Inclinação igual a 45 e coeficiente angular igual a: m = tg 45 =. Exemplo : Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90 e menor que 80. 0

11 Inclinação igual a 5 e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 5 = -,48 Exemplo 3: Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90 o seu coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90. Exemplo 4: Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 80, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 80º = COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois pontos, A x, y e B x b, yb a a Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C. m tg cateto oposto cateto adjacente y x A A y x B B y x B B y x A A

12 TABELA 8: Calcule o coeficiente angular da reta conforme os dados fornecidos, sendo que α é a inclinação da reta N DADOS CONEFICIENTE ANGULAR m α = 30 A( 3,) E B (,8) 3 α = 0 4 A (3,8) e B ( 9, 8) 5 A( -,5) e origem 6 α = 35 Após ter completado as tabela 8, resolva esses exercícios para prova. 0- (UFRS) Considere os coeficientes angulares das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo representado a seguir. A sequência das retas r, s e t que corresponde à ordenação crescente dos coeficientes angulares é a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t. d) s, t, r. e) t, s, r. - (UFSCAR) Considere a relação gráfica: Podemos afirmar que a) o coeficiente linear de I é negativo. b) o coeficiente linear de II é positivo. c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero. d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o do gráfico I. e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do gráfico II.

13 3-(ANGLO) O valor de b para que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(4,) e B(b +,4b) seja é: a) b) 0 c) d) e) 5 RESPOSTAS )C )D 3)C 7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x A, y A ) e do coeficiente angular m dessa reta. Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x A, y A ). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P A. y y0 A equação fundamenta da reta é: m y y0 m( x x0 ) x x 0 TABELA 9: Determine a equação da reta conforme os dados fornecidos, sendo que α é a inclinação da reta N DADOS EQUAÇÃO DA RETA ( ISOLAR Y) α = 30 e P (,5) A( 3,) E B (,8) 3 α = 0 e P (-,4) 4 A (3,8) e B ( 9, 8) 5 A( -,5) e origem 6 α = 35 e origem 7 A(,4) e B (5,5) 8 A(,7) e B (,9) 3

14 Após ter completado as tabela 9, resolva esses exercícios para prova. -(PUC) Os pontos A = (-; ), B = (; -) e C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é: a) x + 5y + 3 = 0 b) x -y - 4 = 0. c) x - 5y - 7 = 0 d) x +y - 3= 0 e) x-3y-5 = 0 -(FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse triângulo é 8, a equação de r é: a) x - y = 4 b) x - y = 6 c) x + y = d) x + y = 4 e) x + y = 6 3) (UNITAU) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é: a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) y = x. e) 6y = x. 4- (UFPE) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (, ) e faz com o semieixo positivo ox um ângulo de 60 é: a) x - y = - b) 3 x + y = - 3 c) 3 x - y = 3 - d) 3 x + y = - 3 e) 3 x - y = (FEI) A equação da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = - é: a) x - 3y - = 0 b) x - 3y - 3 = 0 c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - = 0 e) 3x + y + = 0 6-(PUC) Na figura a seguir têm-se as retas r e s, concorrentes no ponto (;3). Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então a equação da reta a) r é 3 x + 3y - 6 = 0 b) s é x + y + 4 = 0 c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0 d) s é x + y - 4 = 0 e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0 07-(Unirio ) A equação geral da reta anterior representada é: 4

15 a) 3x - 3 y + 6 = 0 b) 3x + 3 y + 6 = 0 c) 3 x - y - = 0 3 d) y = 3 x + 3 e) y = 3 (x+) 8-(PUC) A reta x + y = no plano xy passa pelos pontos a) (5, -4) e (/, /). b) (0, 0) e (/, /). c) (0, 0) e (, ). d) (, 0) e (, ). e) (5, -4) e (4, -5). 9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir. Uma equação cartesiana da reta r é 3 a) y = 3 - x b) y = 3 (-x) c) y = - 3 x d) y = 3 (-x) e) y = 3 (x-) 3 0-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de abscissas -3 e 7, representado a seguir. A área desse triângulo é a) 40 b) 35 c) 30 d) 5 e) 0 - (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 - k)y + k - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então seu coeficiente angular é igual a: a) 0 b) 5/4 c) - d) -8/5 e) / -(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = x +, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5. 3- (PUC) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k)y + k - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos coordenados, o valor da constante k deve ser: a) ± b) ± 3 c) e 6 d) - e -6 e) e 3 5

16 4-(URPR) Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, ) e C = (, ) e avalie as afirmativas a seguir. I. O triângulo ABC é isósceles. II. O ponto D = (, /) pertence ao segmento AB. III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é x + y = 5. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 5-(UFPR) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é: a) x y 4 b) 4x 9y 0 c) x 3y d) x y 3 e) x y 3 Gabarito ) D ) E 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 9)B 0)E )D )B 3)C 4)A 5)A 8.-Equação geral da reta 8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo: Em que: a, b, e c são números reais; a e b não são simultaneamente nulos. Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r. 6

17 8.-Equação reduzida da reta Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α): Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0: Onde: 7

18 8.3-Equação segmentária da reta Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0). Vamos escrever a equação da reta r: Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta: OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa pela origem. 8.4-Equação paramétrica da reta As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta. As equações x = t + 9 e y = t são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos: Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra. x = t + 9 x 9 = t y = t y = (x 9) y = x 8 y = x 9 x y 9 = 0 é a equação geral da reta s. 8

19 8.5-Reta horizontal É toda reta do tipo y=k. 8.6-Reta vertical. É toda reta do tipo x=k. (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU) TABELA 0: Determine coeficiente angular m e o linear q das retas. N RETAS m q y=3x-5 +3y-=0 3 y =4 4 4x-3y-7=0 5 y t 5 x t 6 y 4t 6 x 3t 9

20 Após ter completado as TABELA 0, resolva esses exercícios para prova. -(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equação y = x cuja distância ao ponto A = (, ) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 -(UEL) São dados os pontos A = (-, ), B = (0, -3) e C = (, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é: a) y = b) x = c) x = y d) x - y = e) x + y = 3-(PUC) Considere a parábola de equação y = -x²+ x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 35, então a equação de r é a) x + y -6 = 0 b) x - y + = 0 c) x + y - = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0 4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é: a) 3x + 4y - = 0 b) 3x - 4y + = 0 c) 4x + 3y + = 0 d) 4x - 3y - = 0 e) 4x - 3y + = 0 5-(UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, está representada a reta r de equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o valor de a é a) - 5 b) - c) 6/5 d) e) 5 6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t 0) x t dada pelas equações. A distância percorrida pelo ponto P (x,y) para 0 t 3 é y 3t. a) b) 3 c) 3 d) 3 3 e) 6 7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é a) 7/7 b) 0/3 c) 9/0 d) /5 08- (Fgv) O ponto da reta de equação y = (/)x + 3, situado no. quadrante e equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja soma é: a) menor que. b) maior que 5. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 0. GABARITO )D )A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C 0

21 9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico. 9.-Retas paralelas Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não existirem. As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir. As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO m u m t e q u q t As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO m u m t e q u q t

22 9.-Retas concorrentes Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um existir e o outro não. As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes. As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox. TABELA : Determine m para que as retas r e s sejam paralelas. N Reta r Reta s m 3x-y+4 = 0 mx + y +3 =0 mx-y+4=0 x + y +7=0 3 x+my-=0 x+y=0 4 x-my+4=0 5x-y=0 TABELA : Determine a equação da reta r que passa por P para que seja paralela à reta s N Ponto P Reta s Reta r P(,4) y=3x-4 P (-,) x +y-=0 3 Origem 6x-y+3=0 4 P(,6) x=4

23 Após ter completado as TABELA e, resolva esses exercícios para prova. 0-(UFMG ) Observe a figura. Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de coordenadas a) 3, 5 b), 5 c) (, ) d) (3, ) e) (, ) 0-(UNAERP) A equação, no plano, x - 3 = 0, representa: a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0 e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0 03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale: a) - b) - 0,5 c) 0,5 d) e) (Cesgranrio) Se as retas y + (x/) + 4 = 0 e my + x + = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale: a). b) 3. c) 4. d) 5. e) (Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 3x-y-0=0. Um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y=x-4 tem abscissa. A equação de r é a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 0 = 0 06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (6, ) e NÃO intercepta a reta de equação y = (x/) - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é a) (7, 6) b) (7, 3/) c) (7, 7) d) (7, 5/) 07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/) +7. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é a) y = (x/) + 0 b) y = - x + 5 c) y = x + d) y = - x + 5 e) y = x (CFTMG) As retas x + ky = 3 e x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é a) - b) -/ c) / d) 09- (UFRRJ) Sabendo que as retas mx + (m - )y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + são paralelas, o valor de m será: a) /. b) - /. c) 3/. d) - 3/. e) 5/. 3

24 0- (UNEMAT) Dada a equação de reta (s): x - y + = 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto P(,) será: a) x - y = 0 b) x + y + = 0 c) x + y - = 0 d) x - y - = 0 e) x - y + = 0 )B )D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 0)D 0-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum. Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, a tx + b ty + c t = 0 e a ux + b uy + c u = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum. O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x 0, y 0) que representa o ponto de intersecção. Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y 7 = 0 e 3x + y + = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum às retas r e s. Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo: x + 4y 7 = 0 3x + y + = 0 x + 4y = 7 (-3) 3x + y = - -3x y = - 3x + y = - -y = - y = Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x: x + 4y = 7 x + 4. = 7 x + 8 = 7 x = 7 8 x = - Portanto, o ponto P(x 0, y 0) = (-,). 4

25 TABELA 3: Determine o ponto de intersecção P das retas r e s N Reta r Reta s P y=3x- y=x+4 3x-y+4 = 0 x + y +7=0 3 x+y-=0 x+y=0 4 x=5 y=4 Após ter completado as TABELA 3, resolva esses exercícios para prova. 0-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações x - y - 3 = 0 e 3x - y + = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A = (5,) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é: a) 5x - y - 4 = 0 b) 5x + y - 6 = 0 c) x + 5y - 0 = 0 d) x - 5y = 0 0- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (,5) e a reta que passa por (,7) e (4,3) é: a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/, 4). e) (0/3, 3/3). 03- (Fei) As retas representadas pelas equações y = x +, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo ponto. O valor de b é: a) b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e x + y = se interceptam: a) em nenhum ponto. b) num ponto da reta x = 0. c) num ponto da reta y = 0. d) no ponto (3, 0). e) no ponto (/, 0). 05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - = 0 e (/) x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0, 3), B(, 0) e P é a) /3. b) 5/3. c) 8/3. d) 0/3. e) 0/ (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-, 0) e P = (0, ) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, ). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é: a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 ) d) 3 (3 3 ) e) 5 ( ) 07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - y = 4, s: 5x + 6y = 56 e t: 5x + 0y = m, o valor de m para que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é a) 4. b) 8. c) 36. d) 48. e) (UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y = x² + x +. O valor de a é a) - b) - c) 0 d) e) GABARITO )A )E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D 5

26 -CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO Considere duas retas perpendiculares r e s. Pelo teorema dos ângulos externos temos : =90 + tg( ) sen(90 cos( ) ) 0 sen90.cos 0 cos90.cos sen.cos90 0 sen90. sen 0 = cos sen = tg PORTANTO tg tg Portanto m s, ou seja, m r. ms m r TABELA 4: Determine m para que as retas r e s sejam perpendiculares. N Reta r Reta s m 3x-y+4 = 0 mx + y +3 =0 mx-y+4=0 x + y +7=0 3 x+my-=0 x+y=0 4 x-my+4=0 5x-y=0 6

27 TABELA 5: Determine a equação da reta r que passa por P para que seja perpendicular à reta s N Ponto P Reta s Reta r P(,4) y=3x-4 P (-,) x +y-=0 3 Origem 6x-y+3=0 4 P(,6) x=4 Após ter completado as TABELA 4 e 5, resolva esses exercícios para prova. 0-(FATEC) Se A=(-,3) e B=(,), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-,) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-/, /) e) (-/4, /4) 0-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação x + y - = 0 no ponto de abscissa -. A equação da reta r é a) x - y + 7 = 0 b) x + y - 7 = 0 c) -x + y + 7 = 0 d) x + y + 7 = 0 e) x + y - = 0 03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, ), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o ponto: a) (5, 5) b) (5, 0) c) (5, 5) d) (5, ) e) (5, 0) 04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (, ) e é perpendicular à reta y=x+3 é: a) x + y - 5 = 0 b) x + y = 0 c) x + y - 4 = 0 d) x - y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0 05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - y + = 0, e o ponto de coordenadas (,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é: a) 4x + y - 5 = 0 b) x - y + 6 = 0 c) x + y - 0 = 0 d) x + y - 8 = (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas a) se interceptam no ponto de coordenadas (-,). b) se interceptam formando um ângulo de 60. c) são perpendiculares aos eixos OX e OY, respectivamente. d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas (3, 3). 07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - = 0 e y + 3x + 9 = 0 são a) coincidentes. b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (, -9). e) concorrentes no ponto (3, 0). 08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) x-y=5, e passando pelo ponto P(,), intercepta o eixo das abscissas no ponto: a) (9/, 0) b) (5, 0) c) (/, 0) d) (6, 0) e) (3/, 0) 09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale: a) -/5 b) -/5 c) 0 d) /5 e) /5 7

28 0 -(Fgv ) Considere os pontos A = (, - ); B = (-, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação: a) y - x - 3 = 0 b) y - x + 3 = 0 c) y + x + 3 = 0 d) y + x + 9 = 0 e) y + x - 9 = 0. (Fgv ) As retas de equações y = - x - e y = [(-a + )/(a - )] x + são perpendiculares. O valor de a é: a) b) / c) d) - e) 3/. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = x +, traçada pelo ponto P (4, -) é a) y = - (/)x - b) y = (/)x - c) y = - (/)x + d) y = (/) x + 3-(Puc) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (, 5) e são definidas pelas equações y = ax + e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a: a) - 4 b) - c) 4 d) 6 4- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 0 = 0 e equidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é a) 0x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 0y + 5 = 0. c) 5x - 9y - 6 = 0. d) 5x + 3y - 0 = 0. e) 5x - 3y - 4 = 0. 5-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto A = (, ) em relação à reta r: x + y - = 0 é: a) (, ) b) (/, -3/) c) (-/, -/) d) (-/, -3/) e) (/, 3/) 6-(AMAN-05) O ponto simétrico do ponto (,5) em relação à reta x+3y-4=0 é o ponto a) ( -3,-) b) (-,-) c) (-4,4) d)(3,8) e) (3,) GABARITO )A )A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 0)A )E )C 3)D 4)A 5)C 6)A -DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P=(x o,y o ) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste ponto P à reta através da expressão matemática: DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR A distância da origem (0,0) à reta 5x+y+5=0 é: 8

29 TABELA 6: Calcule a distância do ponto P à reta r N Ponto P Reta r Distância d P(,4) y=3x-4 P (-,) 5x +y-=0 3 Origem 6x-y+3=0 4 P(,6) x=4 Após ter completado as TABELA 6, resolva esses exercícios para prova. -(FGV) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é: a) - 6/3 b) - 7/3 c) - 8/3 d) - 9/3 e) - 0/3 - Calcule o comprimento da altura do triangulo ABC, sendo A ( 7,4), B ( -,) e C ( 0,3) em relação ao vértice A RESPOSTAS )A ) 3 3-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES Uma inequação do o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura. 9

30 Exemplo Resolver graficamente a) x + y - > 0 e x - y < 0 b) x + y - > 0 ou x - y < 0 30

31 EXERCÍCIOS PARA PROVA -(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir. Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, com y 0 e tais que 3 a) y x + 3 e y -3x + 3 b) y 3x + 3 e y -3x + c) y 3 x + 3 e y -3x + 3 d) y 3x + 3 e y 3 x + 3 e) y x + 3 e y -3x - -(Fgv) A região do plano cartesiano determinada pelas inequações x + y 5 y 3 x 0 y 0 tem uma área A. O valor de A é: a) 0 b) 0,5 c) d),5 e) 3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas retas x + y = e x + y = 4 é: a) 3 b) c) 3,5 d),5 e),5 4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações 3x 5y 5 0 x 5y 0 0 x 0 a),5 b) 7,5 c) 5 d),5 e) 3 5- (Puc) A área do triângulo determinado pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é: a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e). 6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de equações y = - x + 9, x = e y = é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 0. RESPOSTAS )A )B 3)D 4)A 5)B 6)D 3

32 4- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r², Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r. A definição de uma equação de uma circunferência é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P (x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r. Ou seja d CP r Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos: d CP ( xc x p ) ( yc y p ) =r ou seja ( b x a) ( y ) =r Elevando-se os dois lados ao quadrado temos: (x-a)² + (y-b)² = r², Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,) e R = /3. Basta substituirmos esses dados na equação R = (x a) + (y b). (x (-4)) + (y ) = (/3) (x + 4) + (y ) = /9 Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x /) + (y + 5/) = 9. É preciso que seja feito à comparação das equações: (x /) + (y + 5/) = 9 (x a) + (y b) = R - a = -/ a = / e - b = 5/ b = -5/ R = 9 R = 3 Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x /) + (y + 5/) = 9 é igual a C(/, -5/) e raio igual a R = 3 3

33 TABELA 7: Determine a equação reduzida das circunferências de centro C e raio r N Centro C Raio r Equação C(,4) C (-,) 3 Origem 4 C (,0) 5 TABELA 8: Determine o centro e o raio das circunferências N Equação Raio r Centro C (x-3)²+(y-)²=4 x²+(y+3)² = 3 x²+y²=3 Após ter completado as TABELA 7e 8, resolva esses exercícios para prova. - (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é: a) (x - ) + (y - ) = 5 b) (x - ) + (y - ) = 0 c) (x - ) + (y - ) = 5 d) (x + ) + (y + ) = 5 e) (x + ) + (y + ) = 0 - (Pucrs) Os pontos (3, ) e (9, -7) são extremidades de um dos diâmetros da circunferência c. Então, a equação de c é a) (x + 6) + (y - 3) = 5 b) (x + 6) + (y - 3) = 0 c) (x - 6) + (y + 3) = 0 d) (x - 6) + (y - 3) = 5 e) (x - 6) + (y + 3) = 5 3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação (x + 3) + (y - 3) = 0 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 4- (PUC) A distância entre o centro da circunferência de equação (x - ) + (y + 5) = 9 e a reta de equação y + 5 x = 0 é a) - 5 b) 0 c) d) 5 e) 9 5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência de equação (x - ) + (y + ) = 4 e o ponto P dado pela interseção das retas x - 3y + 5 = 0 e x - y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da circunferência é: a) o dobro do raio da circunferência b) igual ao raio da circunferência. c) a metade do raio da circunferência. d) o triplo do raio da circunferência. 33

34 6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função: f(x) = x - 5x + 6. Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é: a) (x - 6) + y = 45 b) x + (y - 6) = 9 c) x + (y - 6) = 45 d) (x - 6) + y = 9 e) x + (y - 3) = 9 7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4) + (y - 3) = 5 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a). b) 4. c) 5. d) 6. e) 8 GABARITO )A )E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B 5-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes. (x a)² + (y b)² = r² x² xa + a² + y² yb + b² r² = 0 x + y ax by + a + b r = 0 Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução. Comparação Dada a equação x + y x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x + y ax by + a + b r = 0, temos: a = a = b = 8 b = 8 b = 4 a² + b² r² = 8 ² + ( 4)² r² = r² = 8 7 r² = 8 r² = 8 7 r² = 9 r = 3 34

35 Portanto, a circunferência de equação igual a x + y x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(, 4) e raio igual a r = 3. Redução Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio. Pegando como exemplo a equação x + y x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo: º passo É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente. (x x) + (y + 8y) = 8 º passo Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito. (x x +) + (y + 8y) = 8 + 3º passo Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito. (x x +) + (y + 8y + 6) = (x x +) + (y + 8y + 6) = 9 (x ) + (y + 4) = 9 Comparando com a equação reduzida. (x ) + (y + 4) = 9 (x + a) + (y + b) = r Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (, 4) e R = 3. TABELA 9: Determine o centro e o raio das circunferências N Equação Raio r Centro C x² +y²-4x-6y-=0 x² +y²+8x-6y-6=0 3 x² +y²-6y-7=0 4 x² +y²+8x-=0 35

36 Após ter completado as TABELA 9, resolva esses exercícios para prova. -(Udesc ) Para que a equação x + y - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter: a) K < 0 b) K > 3 c) K < d) K > e) K < 0 - (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x + y - x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é: a) y = x + b) y = x - c) y = x/ d) y = x e) y = x 3-(Cesgranrio) As circunferências x + y + 8x + 6y = 0 e x + y - 6x - y = 0 são: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas. 4. (Ufrs ) A equação x + y + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se a) m > 0 b) m < 0 c) m > 3 d) m > -3 e) m < 3 5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas x - y + = e x + y - = é: a) x + y - 4x - y - 0 = 0 b) x + y - 4x - y + 0 = 0 c) x + y - 4x + y + 0 = 0 d) x + y - 4x + y - 0 = 0 e) x + y + 4x - y - 0 = 0 6-(Unirio ) A equação x + y - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é igual a: a) - b) 3 c) 5 d) 8 e) 5 7-(Unifesp ) A equação x + y + 6x + 4y + = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de raio e centro a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, ). d) (-3, -). e) (6, -4). 8-(Ufv ) Considere a equação x + y - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação anterior represente uma circunferência é: a) 3 b) c) 4 d) 8 e) 0 9- (Pucpr ) A distância do ponto P(; 8) ao centro da circunferência x + y - 8x - 8y + 4 = 0 é: a) b) c) 3 d) 5 e) 6 0-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um círculo são os pontos (, 3) e (-, ). Então, a equação do círculo é a) x + y + 4y - = 0. b) x + y - 4y + = 0. c) x + y - y + = 0. d) x + y + = 0. e) x + y - 4y = 0. (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de equações x + y - 6x + y + 6 = 0 e 3x + 7y - = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ, tem equação a) 3x + 7y - = 0 b) 3x - 7y - = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 6 = 0 e) 7x + 3y - = 0 - ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à circunferência de equação x + y - 4x - 5 = 0 mede a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 36

37 3- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação x + y - 4 = 0. A área do octógono é a) 5. b) 8. c) 0. d) 0. e) (Ufjf ) Considere uma circunferência c de equação x + y + 8x - y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c de centro em O(3, - ) que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura plana formada pelos pontos internos à circunferência c e externos à circunferência c, em unidades de área, é: a) 0π. b) 80π. c) 00π. d) 0π. e) 00π. 5-(GV) Dada a equação x² + y² = 4x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x + y - 4x - 6y - 36 = 0 e adotando π = 3,4, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente, a) 7 e 3,04 b) 7 e 53,86 c) e 3,04 d) 4 e 3,04 e) 4 e 53,86 7-(Fgv ) Dada a circunferência de equação x + y 6x 0y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 0 b) 0,5 c) d),5 e) 8-(Fgv ) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) c) e) x y 0 x 0 y 0 0 b) x y 0 x 0 y 0 0 d) x y 4x 4y 4 0 x y 8 x 8 y 8 0 x y 8 x 8 y (Ueg ) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação y x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (0,0). Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (0,0) e C, que é o ponto de interseção das retas r e s. 0) (Ufjf) No plano cartesiano, considere os pontos A(,) e B(3,4). a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 35º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário. b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determinado pela intersecção das retas r e s. c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(,) e tangencia as retas r e s. RESPOSTAS ) A ) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 0)B )A )D 3)B 4)C 5)D 6)E 7)A 8)B 9) (x-5)² +y²=5 0)a) y=-x+ b) y=x+ c) (x-)² +(y-)² = 37

38 6-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA CASO RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0 CASO RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 CASO 3 RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0 38

39 Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum. O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência (x - a) + (y - b) = R. Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência: Δ > 0 reta secante à circunferência Δ = 0 reta tangente à circunferência Δ < 0 reta externa à circunferência. Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a resolução da equação do segundo grau. Exemplo: Verifique se a circunferência (x+) + y = 5 e a reta x + y 6 = 0 possui algum ponto de intersecção. Resolução: x + y 6 = 0 equação (x+) + y = 5 equação Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas. x + y 6 = 0 x = 6 y Substituímos o valor de x na equação. (6 y +) + y = 5 (-y + 7) + y = 5 (-y) 4y y = 5 y 4y y = 0 y 4y + 4 = 0 (: ) y 7y + = 0 Δ = b 4ac Δ = (-7) 4.. Δ = Δ = Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação. Para y = 4 x = 6 y x = 6 4 x = Para y = 3 x = 6 y x = 6 3 x = 3 Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (,4) e (3,3). 39

40 EXERCÍCIOS PARA AS PROVAS - (Fei ) O comprimento da corda que a reta x + y = 3 determina na circunferência de centro em (,) e raio a) b) c) 3 d) 4 e) 5 5 é: -(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0,0) para que a reta x - y - 0 = 0 seja tangente a essa circunferência? a) 4 b) 5 c) 0 d) 5 e) (Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferência que passa pelos pontos (-, ) e (, 5), tem as coordenadas na relação a) y + x = 6 b) 5y + x = 5 c) 5y + 3x = 5 d) 8y + 3x = 5 e) 9y + 4x = (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta 5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência x + y = 9. O valor de b é a) 5/4 b) 6/3 c) 6 d) 0/3 e) 7 5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x + y - 4x - = 0, então a circunferência α, que é concêntrica à circunferência β e tangente à reta r: x + y = 0, é a) x + (y + ) = 4 b) y - 4x + y = 0 c) x + y + 4y + = 0 d) x + y - 4x + = 0 e) (x + ) + y = 6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(,) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é a) (x + ) + (y - ) = 8 b) (x - ) + (y - ) = c) (x - ) + (y + ) = d) (x - ) + (y - ) = 4 e) (x - )- (x - ) = 4 7- (Fgv ) A reta de equação y = x - determina, na circunferência de equação x + y = 3, uma corda de comprimento: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x + y - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ vale a) 5 b) 30 c) 45 d) 60 e) (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa circunferência é o ponto: a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (, 3) 0-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema x y 9, pode-se afirmar que esta área corresponde a x y 3 0 a) 9 π 9 π 3 π 3 b). c) π 3 π 3 d). e)

41 - (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos das inequações y - x - e x + y, no sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa região é a) π/4 - / b) π/4 - /3 c) π/ - d) π/ + e) 3π/ - -(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação (x - ) + (y - 3) =. Os valores de k são: a) - ou 0 b) - ou c) 0 ou d) ou 3 e) ou 4 3- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada pela equação x + y - 4x - 8y + 5 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é a) x - y + 3 = 0 b) x + y - 5 = 0 c) x + y - 4 = 0 d) x + y - 5 = 0 e) x - y - 4 = 0 4- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseção da circunferência x + (y - ) = com a reta mx - y + = 0, onde m é real, podemos afirmar que: a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos. d) contém três pontos. e) depende de m. 5- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x + ) + (y - ) = 9 e a reta r de equação x + y = 0. É CORRETO afirmar: a) r é tangente a C. b) r não corta C. c) r corta C no ponto (, ). d) r passa pelo centro de C. 6- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem que tangencia a reta de equação y = x - é a) b) c) d) e) - 7-(Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças (x - )+ (y - ) 4 e x y. A área de R, em unidades de superfície, é a) π b) π c) π d) 4π e) 4π 8-(PUC) A área da região do plano limitada pela curva de equação (x - ) + (y - ) = 4 com x e y é a) 4π b) π c) π d) π/ e) π/4 9- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - y = 0 e da circunferência λ: x + y - 0y + 5 = 0, podemos afirmar que a) a reta é tangente à circunferência. b) a reta é secante à circunferência. c) a reta é exterior à circunferência. d) a reta está em plano distinto da circunferência. 0- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da circunferência que tem raio medindo u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c. -(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y = x + b é tangente ao círculo de equação x + y = é: a) b) c) d) e) 3 GABARITO )E )B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 0)B )A )D 3)B 4)C 5)D 6)D 7)B 8)C 9)A 0)C ) C 4

42 7-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS -ELIPSE Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F e F, resulta em uma constante a, onde a > c. Na ilustração da elipse acima temos: F e F são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (c). O segmento AA é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição a. O segmento BB é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a b. O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos AA e FF. A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a. Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que: a² = b² + c² É o conjunto de pontos P (x,y) do plano tal que a soma da distância a dois pontos fixos ( focos) é uma constante ( a) focos : os pontos F e F centro: o ponto C x ; ), que é o ponto médio de ( 0 y0 semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A, A, B, B 4