meninos =34

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1 Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 3. Moda (Mo) Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de funcionários dessa indústria. 3.1 Dados não agrupados Quando os dados não estão agrupados, a moda é, de acordo com a definição, o valor que mais repetir na sequência. A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1, 13, 15 tem moda igual a 10. Podem existir séries em que não exista valor modal, isto é, nenhum valor aparece mais do que outro. É o caso da série 3, 5, 8, 10, 1, 13, que não apresenta moda (amodal). Em caso contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na série:, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, temos duas modas: 4 e 7 (bimodal). 3. Dados Agrupados Sem intervalos de classe Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência. Na distribuição abaixo, a frequência máxima é 1 e corresponde ao valor 3 da variável. Logo, Mo = 3 Nº de fi 3... Com intervalos de classe meninos =34 A classe que representa a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor o nome de moda bruta. Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 1

2 i Estaturas Fi (cm) =40 Temos, então: Onde: Li = limite inferior da classe modal Ls = limite superior da classe modal Assim, na tabela: Temos que a classe modal é i = 3, Li= 158 e Ls= 16 Ls Li Mo 160 Logo: Mo= 160 cm Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia

3 3.3 Expressões Gráficas da Moda: Na curva de frequência, a moda é o valor que corresponde, no eixo das abscissas, ao ponto de ordenada máxima. Assim, podemos ter: Mo Curva Modal Curva não modal Curva Amodal Curva Antimodal Mo 1 Mo Curva Bimodal Mo 1 Mo Mo 3 Curva Trimodal 3.4 Emprego da Moda A moda é utilizada quando se deseja obter uma medida rápida e aproximada de posição, ou quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 3

4 4. Mediana (Md) É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 4.1 Dados não-agrupados Dada uma série de valores como: 5, 13, 10,, 18, 15, 6, 16, 9, de acordo com a definição, primeiro deve-se ordenar os valores em ordem crescente ou decrescente:, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18; em seguida toma-se o valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. Na sequência, o valor é 10, já que, nessa série há quatro elementos acima dele e quatro abaixo. Então: Md = 10. Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionouse utilizar o ponto médio. Assim, a série:, 6, 7, 10, 1, 13, 18, 1 tem por mediana a média aritmética entre 10 e Logo: Md 11 Donde: Md = 11 Verificamos, então, que estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de elementos da série, o valor mediano será: n 1 - o termo de ordem, se n for ímpar; n n - a média aritmética dos termos de ordem e 1, se n for par. Podemos comprovar tal fato nas séries dadas: para n = 9, temos 5. Logo, a mediana é o 5 termo da série, isto é: Md = para n = 8, temos 4 e 1 5. Logo, a mediana é a média aritmética do 4 e 5 termos da 10 1 série, isto é: Md 11, Logo Md=11. Observações: O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Quando o número de elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando esse número é par. A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor. Na primeira série apresentada, temos x 10, 4 e Md = 10. A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana pode ser constatada através dos exemplos: 5, 7, 10, 13, 15 x 10 e Md = 10 6, 7, 10, 13, 65 x 0 e Md = 10 Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 4

5 Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano. 4. Dados agrupados Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequências, o cálculo da mediana se processa de modo muito semelhante aos dados não-agrupados, implicando, porém, a determinação prévia das frequências acumuladas. Ainda aqui, tem-se que determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos. Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos é dada por: 4..1 Sem intervalos de Classe Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada. Nº de Fi Fa meninos =34 fi 34 Sendo 17 a menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor da variável, sendo este o valor mediano. Logo: Md = meninos. fi Obs: No caso de existir uma frequência acumulada Fa, tal que: Fa, a mediana será x 1 dada por: i x Md i, isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte. Exemplo: x i Fi Fa =8 Temos: Logo: Donde: Md = 15,5 Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 5

6 4.. Com Intervalos de Classes Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana, classe mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a fi. Feito isso, um problema de interpolação (inserção de uma determinada quantidade de valores entre dois números) resolve a questão, admitindo-se, agora, que os valores se distribuam uniformemente em todo o intervalo de classe. Assim, considerando a distribuição: fi 40 Temos: 0 Como há 4 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e como pretendemos determinar o valor que ocupa o 0 lugar, a partir do início da série, vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i=3), supondo que as frequências dessas classes estejam uniformemente distribuídas. Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, devemos tomar, a partir do limite inferior, a distância: 4 4 e a mediana será dada por: Md ,54 160,54 Logo: Md = 160,5 cm Na prática, seguimos os seguintes passos: 1 ) Determinar as frequências acumuladas. fi º) Calculamos. 3 ) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à fi - classe mediana e, em seguida empregamos a fórmula: Na qual: Li = limite inferior da classe mediana; Fa(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; Fi = frequência simples da classe mediana; h=amplitude do intervalo da classe mediana. Na distribuição anterior, temos: Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 6

7 fi 40 0 i Estaturas Fi Fa (cm) =40 Classe mediana Logo, a classe mediana é a de 3ª ordem. Então: Li=158, Fa(ant)=13; Fi = 11 e h = 4 Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: Md ,54 160, Isto é Md = 160,5 cm. 5. Emprego da Mediana: A mediana é empregada quando se deseja obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; ou quando a variável em estudo é salário. Bibliografia CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 10ª. ed. São Paulo: Saraiva, Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 7

8 Exercícios 1. Dado o quadro de frequências abaixo, que se refere às idades dos jogadores de basquete de um clube. Determine a moda e a mediana destes dados. Idade Número de jogadores x i Fi O quadro de distribuição seguinte representa as alturas de 00 jovens. Qual é a mediana dessa distribuição? Altura (em cm) Fi Fa Xi [160;165[ 8 8 [165;170[ 15 3 [170;175[ [175;180[ [180;185[ [185;190[ [190;195[ [195;00[ Em uma casa de repouso, as pessoas internadas têm as seguintes idades: Calcule a mediana e a moda dessa distribuição. 4. Calcule a mediana do conjunto de dados representado pelo quadro: Xi Fi Os dados a seguir representam as massas, em quilogramas, dos atletas de uma equipe juvenil: 46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 4. Determine a mediana e a moda dessa distribuição. 6. Calcule a mediana do conjunto de dados representado pelo quadro: Xi Fi Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 8

9 7. O histograma representa a distribuição das estaturas de 100 pessoas e as respectivas frequências. Por exemplo, na 3ª classe ( ) estão situadas 11% das pessoas com estatura de 1,55 m a 1,59 m. A 5ª classe ( ) chama-se classe mediana. Pelo ponto M situado na classe mediana, traça-se uma reta paralela ao eixo das frequências, de modo a dividir a área da figura formada pelos nove retângulos das frequências em duas regiões de mesma área. Determine a abscissa do ponto M (mediana das observações) 8. Considere o quadro, que representa a distribuição das áreas cultivadas, em hectares, de uma determinada região. Dados: Xi= área em hectares; Fi= número de áreas cultivadas. Determine: a) a classe mediana; b) a mediana da distribuição. Xi Fi [0;[ 30 [;4[ 35 [4;6[ 60 [6;8[ 35 [8;10[ 15 [10;1[ 8 [1;14[ Moda e Mediana Profª Ms. Mara Cynthia 9