Análise Numérica DCC033. Renato Assunção Departamento de Ciência da Computação UFMG

Transcrição

1 Análise Numérica DCC033 Renato Assunção Departamento de Ciência da Computação UFMG

2 O que é análise numérica? Definição: Estudo de algoritmos ou métodos numéricos para a solução de problemas computacionais em ciência e engenharia. Outros nomes: computação científica matemática computacional.

3 Algoritmo numérico Encontrar o mínimo de uma função f(x) num intervalo [a,b]. Suponha que f(x) representa o custo associado com o uso de x unidades de um recurso Por exemplo: f(x) = x 2 /4 - sin(x) + cos 2 (x) + log(x 2 +1) Mínimo de f(x) se x [-4, 4]?

4 Gráfico de f(x)

5 Solução exata Derive, iguale a zero e resolva a equação. Por exemplo: Se f(x) = 3 + 2(x-1) 2 Então f (x) = 4(x-1) f (x)=0 x = 1 então o mínimo de f(x) ocorre em x = 1 Solução analítica a solução é uma fórmula matemática perfeita

6 Solução numérica Não conseguimos resolver a equação f (x)=0 na maioria dos casos REAIS Por exemplo, se f(x) = x 2 /4 - sin(x) + cos 2 (x) + log(x 2 +1) Como fazer? Obter uma solução aproximada por meio de um algoritmo.

7 Algoritmo de Newton Comece com um valor inicial arbitrário x 0 Por exemplo, comece com x 0 = 0 A seguir, obtenha sucessivamente valores cada vez mais próximos da solução usando a iteração x n+1 = x n f (x n ) / f (x n )

8 Algoritmo de Newton x 0 = 0. A seguir, itere com: x n+1 = x n f (x n ) / f (x n ) Assim, x 1 = x 0 f (x 0 ) / f (x 0 ) = 0 - f (0) / f (0) Precisa obter as formulas para f (x) e f (x) para usar acima.

9 Algoritmo Propriedades desejáveis de um algoritmo: Exatidão dos cálculos (ou acurácia) Eficiência (velocidade e uso da memória) Estabilidade das respostas. Veremos muitas vezes em nosso curso que o algoritmo mais simples e óbvio não e sempre o melhor. PEQUENAS modificações destes algoritmos simples trazem enormes ganhos.

10 Problemas Exemplos de problemas que exigem analise numérica: Page rank: algoritmo do Google Modelo econômico de input-output de Leontief Cálculos com circuitos elétricos reconhecimento de faces e dígitos, compactação de imagens... Maximização: otimização Simulação de sistemas de grande porte

11 Resumo do Conteúdo Solução de Sistemas Lineares Raízes de equações e maximização Ajuste de curvas (regressão linear) Integração numérica Solução numérica de equações diferenciais ordinárias Simulação Monte Carlo Autovalores e autovetores (opcional)

12 Professores Renato Assunção: PhD, Statistics, University of Washington, 1994 Interesse de pesquisa: modelos probabilísticos para análise e controle do risco (financeiro, saúde, atuária, etc.) Algoritmos e métodos para análise de dados georeferenciados Márcio Bunte ( a segunda metade do curso)

13 Webpage do curso Buscar link em Página do curso vai conter as informações relevantes: Todas as transparências usadas no curso Exercícios Provas de anos anteriores Material de leitura suplementar Etc.

14 Livro-texto e outros materiais Livro-texto: Algoritmos Numéricos de Frederico Ferreira Campos Filho, 2ª. Edição, LTC

15 Outros materiais Outros materiais usados no curso: Cálculo numérico Apostila escrita por Cláudio Asano e Eduardo Colli (USP). Disponível no site do nosso curso. EXCELENTE, muito didático. Links para outros cursos na Web Livro Numerical Computing with MATLAB. SIAM, Philadelphia, Escrito por Cleve Moler, criador do MatLab. DISPONIVEL GRATUITAMENTE EM

16 ?? A ser decidido Monitoria

17 MATLAB - Cleve Moler

18 Matlab e SciLab Vamos usar o programa SciLab O Scilab é um software científico para computação numérica quase idêntico ao Matlab Ele fornece um poderoso ambiente computacional para aplicações científicas. E gratuito e pode ser baixado do site

19 Provas Teremos 4 provas regulares: escolhemos as 3 maiores notas e descartamos a menor nota. Você não perderá nota se tentar as 4 provas. Se perder uma prova, a nota será zero, a menor nota possível. Lista de exercícios valendo 10 pontos.

20 Datas das provas Dias:?? A ser anunciado 30 pontos em cada prova. Apenas as 3 maiores notas são mantidas. 10 pontos de listas de exercícios.

21 Listas de Exercícios Teóricos e práticos Teóricos: Papel e lápis Práticos: Scilab Provas serão idênticas aos exercícios. Não será necessário levar calculadora nas provas. Será cobrada a familiaridade com o Scilab na forma de pseudocódigo.