Universidade Federal da Grande Dourados Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia Bacharelado em Sistemas de Informação Estruturas de Dados I Lista II

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1 Universidade Federal da Grande Dourados Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia Bacharelado em Sistemas de Informação Estruturas de Dados I Lista II Professor: MSc. Rodrigo Porfírio da Silva Sacchi 30 de agosto de Verdadeiro ou Falso: (a) Todo procedimento recursivo deve incorporar terminações sem chamadas recursivas, caso contrário ele seria executado um número infinito de vezes; (b) O algoritmo visto em sala, que calcula o fatorial de forma recursiva, requer apenas uma quantidade constante de memória; (c) O algoritmo a seguir, que calcula o fatorial de forma não-recursiva, requer o armazenamento do vetor fat, com n + 1 elementos, onde fat[n] contém, no final, o valor do fatorial desejado; funcao int Fat( n: inteiro) fat[0] = 1; para j de 1 ate n faça fat[j] = j * fat[j-1]; 2. Mostre que o algoritmo a seguir, para o problema da Torre de Hanói, requer exatamente 2 n 1 movimentos de disco para terminar. procedimento hanoi(n, A, B, C) se( n > 0 ) entao hanoi(n-1, A, C, B); // Mover o disco do topo de A para B hanoi(n-1, C, B, A); fim_procedimento Onde n, A, B, C representam, respectivamente, o número de discos, o pino de origem, o pino de trabalho e o pino de destino. 3. Reescreva o algoritmo acima, para o problema da Torre de Hanói, de forma que a recursividade pare no nível correspondente a n == 1, e não a n == 0. Há alguma vantagem em realizar essa modificação? Qual?

2 4. Elaborar um algoritmo não recursivo para o algoritmo da Torre de Hanói. 5. Escreva as seguintes funções em notação O: (a) n 3 1; (b) n log n; (c) 3 nn n ; (d) (n 1) n + n n 1 ; (e) 302; 6. Use o método mestre para fornecer limites assintóticos restritos para as recorrências a seguir: (a) T (n) = 4T (n/2) + n; (b) T (n) = 4T (n/2) + n 2 ; (c) T (n) = 4T (n/2) + n 3 ; 7. O tempo de execução de um algoritmo A é descrito pela recorrência T (n) = 7T (n/2) + n 2. Um algoritmo concorrente A tem um tempo de execução T (n) = at (n/4) + n 2. Qual é o maior valor inteiro para a tal que A seja assintoticamente mais rápido que A? 8. A seqüência de Fibonacci é uma seqüência de elementos f 1, f 2,..., f n, definida do seguinte modo: f 0 = 0 f i = f 1 = 1 f i = f i 1 + f i 2, se i > 1. Elabore um algoritmo, não recursivo, para determinar o elemento f n da seqüência, cuja complexidade seja linear, isto é, O(n). 9. Determinar o número de chamadas recursivas e a complexidade do algoritmo recursivo, visto em sala, para determinar o elemento f n da seqüência de Fibonacci. 10. Considere a seguinte seqüência de elementos g 1, g 2,..., g n para um dado valor de k. g j = { gj = j 1, se 1 j k g j = g j 1 + g j 2, se j > k. Elabore um algoritmo para determinar o elemento g n da seqüência, cuja complexidade seja O(n). 11. Considere a função iterativa maximo a seguir. Faz sentido trocar x = v[0] por x = 0, como fazem alguns programadores descuidados? Faz sentido trocar x = v[0] por x = INT MIN? Faz sentido trocar x < v[j] por x v[j]? funcao inteiro maximo(n: inteiro, v[]: vetor de inteiros) declare j, x: inteiro; x = v[0]; para j de 1 ate n - 1 faca se( x < v[j] ) entao x = v[j]; retorne x; 2

3 12. A função abaixo promete encontrar o valor de um elemento máximo de v[0..n 1]. A função cumpre a promessa? funcao inteiro maxi(n: inteiro, v[]: vetor de inteiros) declare j, m: inteiro; m = v[0]; para j de 1 ate n - 1 faca se ( v[j-1] < v[j] ) entao m = v[j]; retorne m; 13. Critique a seguinte função recursiva; ela promete encontrar o valor de um elemento máximo de v[0..n 1]. funcao inteiro maximo1a(n: inteiro, v[]: vetor de inteiros) declare x: inteiro; se( n == 1 ) entao retorne v[0]; se( n == 2 ) entao se( v[0] < v[1] ) entao retorne v[1]; retorne v[0]; x = maximo1a( n-1, v ); se( x < v[n-1] ) entao retorne v[n-1]; retorne x; 14. Critique a seguinte função recursiva; ela promete encontrar o valor de um elemento máximo de v[0..n 1]. funcao inteiro maximo1b (n: inteiro, v[]: vetor de inteiros) se( n == 1 ) entao retorne v[0]; se( maximo1b(n-1, v) < v[n-1] ) entao retorne v[n-1]; retorne maximo1b(n-1, v); 3

4 15. Escreva uma função recursiva maxmin que calcule o valor de um elemento máximo e o valor de um elemento mínimo de um vetor v[0..n 1]. Quantas comparações envolvendo os elementos do vetor a sua função faz? 16. Escreva um pequeno programa para testar a função recursiva maximo1. O seu programa deve pedir ao usuário que digite uma seqüência de números e em seguida devolver o valor do maior dos números digitados. Agora faça uma nova versão do programa para determinar um elemento máximo de um vetor aleatório. Acrescente ao seu programa uma função que confira a resposta dada por maximo Escreva uma função recursiva que calcule a soma dos elementos positivos do vetor de inteiros v[0..n 1]. O problema faz sentido quando n é igual a 0? Quanto deve valer a soma nesse caso? 18. Escreva uma função recursiva que calcule a soma dos elementos positivos do vetor v[ini..f im 1]. O problema faz sentido quando ini é igual a fim? Quanto deve valer a soma nesse caso? 19. Escreva uma função recursiva que calcule a soma dos dígitos de um inteiro positivo n. A soma dos dígitos de 132, por exemplo, é Escreva uma função recursiva que calcule o piso do logaritmo de N na base Qual o valor de X (4)? funcao inteiro X(n: inteiro) se( n == 1 ou n == 2 ) entao retorne n; retorne X(n-1) + n * X(n-2); 22. Qual é o valor de f(1,10)? Escreva uma função equivalente que seja mais simples. funcao real f(x: real, y: real) se( x >= y ) entao retorne (x + y)/2; retorne f( f( x+2, y-1 ), f( x+1, y-2 ) ); 23. Qual o resultado da execução do programa abaixo? funcao inteiro ff(n: inteiro) se( n == 1 ) entao retorne 1; se( n % 2 == 0 ) entao retorne ff(n/2); 4

5 retorne ff((n-1)/2) + ff((n+1)/2); algoritmo main() escreva ff(7); fim 24. Execute fusc(7,0). funcao inteiro fusc(n: inteiro, profund: inteiro) declare i: inteiro; para i de 0 ate profund faca escreva ; escreva fusc( + n + profund + ) ; se( n <= 1 ) entao retorne 1; se( n % 2 == 0 ) entao retorne fusc(n/2, profund+1); retorne fusc((n-1)/2, profund+1) + fusc((n+1)/2, profund+1); 25. Critique a seguinte função recursiva: funcao inteiro XX(n: inteiro) se( n == 0 ) entao retorne 0; retorne XX(n/3+1) + n; 26. A seguinte função calcula o maior divisor comum dos inteiros positivos m e n. Escreva uma função recursiva equivalente. funcao inteiro Euclides(m: inteiro, n: inteiro) declare r: inteiro; repita r = m % n; m = n; n = r; }ate (r!= 0); retorne m; 5

6 27. Escreva uma função recursiva eficiente que receba inteiros positivos k e n e calcule k n. (Suponha que k n cabe em um int.) Quantas multiplicações sua função executa aproximadamente? 28. Seja uma linguagem hipotética na qual não existem operadores para adição, nem subtração. Sabese que nesta linguagem, existe uma função succ(n) que dá o sucessor do número N, e existe também uma função pred(n) que dá o predecessor de um número N. Usando apenas essas funções (succ/pred), defina a função recursiva Add(x,y), que toma como argumento os números naturais x e y, e retorna sua soma. 29. Faça um algoritmo que preencha por leitura (do teclado), um vetor de 10 elementos reais, imprima o conteúdo deste vetor, e que também imprima o resultado do somatório dos elementos deste vetor, calculando por uma função recursiva. 30. Recursividade pode ser utilizada para gerar todas as possíveis permutações de um conjunto de símbolos. Por exemplo, existem seis permutações no conjunto de símbolos A, B e C: ABC, ACB, BAC, BCA, CBA e CAB. O conjunto de permutações de N símbolos é gerado tomando-se cada símbolo por vez e prefixando-o todas as permutações que resultam dos N - 1 símbolos restantes. Conseqüentemente, permutações num conjunto de símbolos. Escreva um algoritmo recursivo e outro iterativo para este problema. 31. Considere uma partida de futebol entre duas equipes A B, cujo placar final é m n, em que m e n são os números de gols marcados por A e B, respectivamente. Implemente um algoritmo recursivo que imprima todas as possíveis sucessões de gols marcados. Por exemplo, para um resultado de 3 1 as possíveis sucessões de gols são A A A B, A A B A, A B A A e B A A A. 32. O que significa eficiência de tempo de um algoritmo? Que notação utilizamos na prática para expressar a complexidade de tempo de um algoritmo? 33. Escreva uma função recursiva que calcule a soma dos dígitos de um inteiro positivo n. A soma dos dígitos de 132, por exemplo, é Escreva uma função recursiva que calcule o piso do logaritmo de N na base Considere a função Comb(n, k), que representa o número de grupos distintos com k pessoas que podem ser formadas a partir de n pessoas. Por exemplo, Comb(4, 3) = 4, pois com 4 pessoas (A, B, C, D), é possível formar 4 diferentes grupos: ABC, ABD, ACD e BCD. Sabe-que: n, se n = 1. Comb(n, k) = 1, se k = n. Comb(n - 1, k - 1)+Comb(n - 1, k), se 1 < k < n. Implemente uma função recursiva para Comb(n, k) e mostre o diagrama de execução para chamada Comb(5, 3). Sabendo-se ainda Comb(n, k) = n! / (k! (n - k)!), implemente uma função não recursiva de Comb(n, k). 36. Dada a definição da função de Ackerman: n + 1, se m = 0. A(m, n) = A(n - 1, 1), se m > 0 e n = 0. A(m - 1, A(m, n - 1)), se m > 0 e n > 0. Válida para valores inteiros não negativos de m e n, implemente uma versão recursiva do algoritmo e faça o diagrama de execução de A(1, 2). 37. (Maratona de programação da SBC - ACM ICPC ) Problema Copa do Mundo: Uma Copa do Mundo de futebol de botões está sendo realizada com times de todo o mundo. A classificação é baseada no número de pontos ganhos pelos times, e a distribuição de pontos é feita da forma usual. Ou seja, quando um time ganha um jogo, ele recebe 3 pontos; se o jogo termina empatado, ambos 6

7 os times recebem 1 ponto; e o perdedor não recebe nenhum ponto. Dada a classificação atual dos times e o número de times participantes na Copa do Mundo, sua tarefa é de determinar quantos jogos terminaram empatados até o momento. Entrada: A entrada contém vários casos de teste. A primeira linha de um caso de teste contém dois inteiros T e N, indicando respectivamente o número de times participantes (2 T 200) e o número de partidas jogadas (0 N 104). Cada uma das T linhas seguintes contém o nome de um time (uma cadeia de máximo 10 letras e dígitos), seguindo de um espaço em branco, seguido do número de pontos que o time obteve até o momento. O final da entrada é indicado por uma linha que contém apenas o número zero. Os dados devem ser lidos da entrada padrão. Saída: Para cada um dos casos de teste seu programa deve imprimir uma única linha contendo um número inteiro, representando a quantidade de jogos que terminaram empatados até o momento. O resultado de seu programa deve ser escrito na saída padrão. O resultado de seu programa deve ser escrito na saída padrão. Exemplo de entrada Exemplo de Saída Brasil 3 2 Austrália 3 Croácia Brasil 5 Japão 1 Austrália Saí do Programa! 7