APOSTILA 2015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA DESENHO GEOMÉTRICO 2º ANO - ENSINO MÉDIO

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1 APOSTILA 015 DESENHO GEOMÉTRICO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

2 Sumário 1.Geometria Espacial Definições básicas da Geometria Espacial Posições de uma Reta Plano Semirreta Pontos Colineares e Segmentos Consecutivos Congruência de Segmentos...7. Ângulos Instrumento para medir ângulo...8. Classificação de Ângulos Curvas Postulados Postulado sobre pontos e retas Postulados sobre o plano e o espaço Posições relativas de duas retas Postulado de Euclides ou das retas paralelas Determinação de um plano Posições relativas de reta e plano Ângulos Diedros e triedros Diedros Triedros Ângulo poliédrico Polígonos Classificação de polígonos Elementos do Polígono Perímetro do Polígono Figuras Geométricas Planas Poliedros Poliedros convexos e côncavos Classificação dos poliedros... DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO - 015

3 6.3 Poliedros regulares Relação de Euler Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo Sólidos de Platão Poliedros platônicos Classificação dos poliedros de Platão Prismas Elementos do prisma Classificação do prisma Secção do prisma Áreas do prisma Volume do prisma Cubo Diagonais da base e do cubo Áreas e Volumes Paralelepípedo Paralelepípedo reto e oblíquo Diagonal da base e do paralelepípedo Área e volume do paralelepípedo...39 Referências bibliográficas...4 DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

4 1 BIMESTRE 1. Geometria Espacial A Geometria nasceu das necessidades e das observações do homem. Os conhecimentos Geométricos começaram a serem utilizados muitos séculos antes de Cristo. No Egito, por exemplo, as cheias do Rio Nilo destruíam as cercas que demarcavam os campos de plantação. Quando as águas voltavam ao nível normal, os escribas egípcios dividiam novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias. Foi a partir de procedimentos como esse dos Egípcios que nasceu a Geometria experimental. Também a origem da palavra Geometria está associada a esse fato: geo significa terra e metria significa medida. Outros povos também estudaram a Geometria, como os assírios, os babilônios, os chineses e os gregos. Os gregos fizeram muitas descobertas a respeito de figuras geométricas. A Geometria que estudamos hoje é conhecida como euclidiana, em homenagem ao grego Euclides, o primeiro matemático a apresentar a Geometria de forma organizada. Por quase dois séculos, todos os estudos Geométricos se basearam em seu famoso livro, Os Elementos. 1.1 Definições básicas da Geometria Espacial A geometria é construída a partir de três ideias: a ideia de ponto, reta e plano. Podemos ter a ideia de ponto observando marcas de lápis: Podemos ter a ideia de reta se puder imaginar um fio, sem começo nem fim, bem esticado: Agora, se considerarmos apenas um pedaço desse fio e o mantivermos bem esticado, temos a ideia de um segmento de reta:.. Para indicar retas, usamos letras minúsculas do alfabeto (a,b,c,... r,s,t...) ou dois pontos dessas retas. Veja o segmento de reta abaixo: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

5 Os segmentos de reta serão indicados através dos pontos que representam as extremidades desses segmentos: Na geometria, consideramos a reta como um conjunto de pontos. Assim, dada uma reta r, dizemos que há pontos que pertencem (A, C) e pontos que não pertencem (B, F) a essa reta. Veja: 1. Posições de uma Reta As retas podem ter várias posições. Veja agora as posições de uma reta: Veja agora posições de duas retas: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

6 Duas retas que tem um único ponto em comum são chamadas de retas concorrentes. Duas retas distintas que estão em um mesmo plano e não tem ponto em comum são chamadas retas paralelas. 1.3 Plano Observe, agora, a região externa de uma garrafa ou de uma bola, ou, ainda a parte superior de uma mesa, ou do piso de uma sala. Essas regiões nos dão idéia de superfície. Se pudermos imaginar que é possível prolongar o tampo de uma mesa em todas as direções, teremos a ideia de plano: 1.4 Semirreta Como já vimos, na geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semirreta. O ponto A é chamado origem das semirretas. Na reta abaixo, o ponto A divide a reta r nas semirretas AM e AN : AM Indica a semirreta de origem em A e que passa por M; AN Indica a semirreta de origem em M e que passa por A. 1.5 Pontos Colineares e Segmentos Consecutivos Pontos que pertencem a uma mesma reta são chamados de pontos colineares. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

7 M, P e N são pontos colineares. Dois segmentos que possuem uma extremidade em comum são chamados de segmentos consecutivos: AB e BC são segmentos consecutivos. Dois segmentos consecutivos podem ser: Colineares: AB e BC são segmentos consecutivos e colineares, pois estão contidos numa mesma reta r. Não Colineares: AB e BC são segmentos consecutivos e não colineares, pois não estão contidos em uma mesma reta. 1.6 Congruência de Segmentos Dois segmentos que possuem a mesma medida são chamados congruentes. Exemplo de Aplicação AB e CD, se lê A B congruente ao segmento C D. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

8 . Ângulos Considere três pontos não colineares (que não pertencem a uma mesma reta) A, O e B. Ângulo geométrico AÔB é a figura formada pelas semirretas AO e OB: Na figura: O ponto O é o vértice do ângulo; As semirretas AO e OB são os lados do ângulo..1 Instrumento para medir ângulo O instrumento mais usado para medir ângulos é o transferidor. O transferidor tem como unidade o grau Indicamos um grau assim: 1º.. Classificação de Ângulos A medida do ângulo é classificada assim: Medida do Ângulo: Igual a 90º Maior que 90º Menor que 90º Nome do Ângulo: Reto Obtuso Agudo.3 Curvas Veja os tipos de curvas: Curva aberta simples: É uma curva aberta onde as linhas não se cruzam. Curva aberta não simples: É uma curva aberta, porém as linhas se cruzam. Curva fechada simples: É uma curva fechada onde as linhas não se cruzam. Curva fechada não simples: É uma curva fechada onde as linhas se cruzam. 3. Postulados 3.1 Postulado sobre pontos e retas DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

9 P 1 ) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. P ) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. P 3 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta. P 4 ) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semirretas. 3. Postulados sobre o plano e o espaço P 5 ) Por três pontos não colineares passa um único plano. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

10 P 6 ) O plano é infinito, isto é, ilimitado. P 7 ) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. P 8 ) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos. P 9 ) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços. 3.3 Posições relativas de duas retas No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

11 Temos que considerar dois casos particulares: Retas perpendiculares: r s Retas ortogonais: r s r t e r s t // s t s 3.4 Postulado de Euclides ou das retas paralelas (P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

12 P r P s / s // r 3.5 Determinação de um plano Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por: Uma reta e um ponto não pertencente a essa reta Duas retas distintas concorrentes Duas retas paralelas distintas. 3.6 Posições relativas de reta e plano Vamos considerar as seguintes situações: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

13 Reta contida no plano Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano, então r está contida nesse plano: A e B r A r e B r Reta concorrente ou incidente ao plano Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando P r. Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P. Reta paralela ao plano Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //. r // t e t r // Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

14 (P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto. 3.7 Ângulos O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra: O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

15 Observações: (1 ) Se 90, então r é perpendicular a. ( ) Se 0, então r é paralela a ou r esta contida em. 4. Diedros e triedros O encontro de planos formam ângulos, estudaremos os casos de ângulos e planos a seguir: 4.1 Diedros Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro: 4. Triedros Três semirretas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro: 4.3 Ângulo poliédrico Sejam n, n 3, semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

16 outras semirretas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico. Exercícios sobre Geometria Espacial 1- O que é Geometria Espacial? - Dadas as afirmações sobre retas, pontos e planos, classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa: a) Uma reta tem dois pontos distintos. b) Fora de uma reta, existem infinitos pontos. c) Três pontos quaisquer são sempre colineares. d) Dois pontos quaisquer são sempre colineares. e) Fora de uma reta, existem pontos que são colineares. f) Três pontos quaisquer sempre determinam um plano. g) Por um ponto passam infinitas retas. h) Por três pontos não alinhados passam três planos diferentes. i) Uma reta que tem um ponto comum com um plano está contida nele. j) Um ponto qualquer divide uma reta em duas semirretas. k) Uma reta qualquer de um plano divide-o em dois semiplanos. l) No espaço, existem infinitas retas. m) Quatro pontos distintos, com quaisquer três deles não colineares, determinam apenas cinco retas. 3- Que ideia (ponto, reta ou plano) você tem quando observa: a) A cabeça de um alfinete b) O piso da sala de aula c) Uma corda de violão bem esticada d) O encontro de duas paredes e) Um grão de areia f) Um campo de futebol 4- Dadas as afirmações a seguir, classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa: a) Por uma reta pode ser traçada apenas dois planos. b) Duas semirretas de mesma origem são sempre colineares. c) Três pontos distintos determinam três retas distintas. d) Por um ponto sempre passa uma reta. e) Três pontos não colineares determinam três retas distintas. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

17 f) Três pontos distintos determinam um único plano. g) O plano é sempre ilimitado. h) Em um plano, existem mais de três pontos. i) Por dois pontos distintos sempre passa uma única reta. j) O plano que passa por dois pontos dados é único. 5- Em relação ás afirmações a seguir, reescreva aquelas que julgar falsas, corrigindo-as: a) Existem finitos pontos que pertencem a um plano e infinitos pontos que não pertencem ao plano. b) Por um ponto passam infinitas retas. c) Três pontos quaisquer determinam sempre uma única reta. d) Existem infinitas retas que estão contidas em um único plano. e) Quando dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta não está contida no plano. 6- A maioria das mesas e cadeiras que utilizamos no dia a dia possui quatro pernas. No entanto, dependendo da regularidade do piso onde estão apoiadas, elas podem balançar. A fim de evitar o balanço, alguns objetos são construídos com três pernas, como o tripé para a câmera fotográfica ou luneta e o suporte para pintar telas. Por qual motivo, em geral, os objetos que possuem três pernas não balançam? 7- Complete as afirmações abaixo: a) Em uma, assim como fora dela, existem infinitos pontos. b) Por um passam infinitas retas. c) Por três pontos não colineares temos um único. d) O plano tem retas. 8- Escreva todos os postulados vistos em sala de aula. 9- Em relação às afirmações abaixo, diga quais são verdadeiras e quais são falsas: a) Duas retas reversas são sempre distintas. b) Duas retas que não têm ponto comum são paralelas. c) Duas retas que não têm ponto comum são reversas. d) Duas retas distintas ou são reversas, ou são paralelas, ou são concorrentes. e) Duas retas de um mesmo plano são paralelas ou concorrentes. f) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. g) Se dois planos têm uma reta comum, eles têm um ponto comum. h) Dois planos distintos podem ter em comum apenas três pontos não colineares. i) Dois planos podem ter um único ponto comum. j) Duas retas perpendiculares são concorrentes. k) Duas retas paralelas podem ser ortogonais. l) A medida do ângulo entre duas retas é 90º; logo elas são perpendiculares ou ortogonais. m) Duas retas reversas formam um ângulo de 90º; logo elas são ortogonais. n) Duas retas concorrentes são perpendiculares. 10- Dados duas retas quais são as posições possíveis entre elas? 11- Defina retas ortogonais. Exemplifique com um desenho essa definição. 1- Defina: a) Diedro b) Triedro 13- Sobre diedros marque a opção correta: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

18 a) Se uma secção de um diedro for um ângulo reto, então ele é um diedro reto. b) Um diedro obtuso pode ter uma secção medindo 90º. c) Um diedro reto não pode ter secções agudas. 14- Responda certo ou errado, justificando quando for necessário: a) Ângulo plano de um diedro é ângulo de secção de reta. b) Se duas secções de um diedro são congruentes, então elas são paralelas. c) Não existe o triedro cujas faces medem 10º, 75º e 45º. d) A terceira face do triedro cujas duas outras medem 50º e 130º devem ser maior que 60º e menor que 160º. e) Existem triedros cujas faces medem respectivamente 40º, 50º e 90º. 15- Prove que pelo menos uma face de um triedro tem medida menor que 10º. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

19 BIMESTRE 5. Polígonos As curvas fechadas simples formadas por segmento de reta recebem o nome de polígonos. 5.1 Classificação de polígonos Os polígonos são classificados da seguinte maneira, em relação ao número de lados. NÚMERO DE LADOS NOMENCLATURA 3 Triângulo 4 Quadrado 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 1 Dodecágono 15 Pentadecágono 0 Icoságono Os polígonos que não constam na relação acima são chamados de polígono de treze lados, polígono de quatorze lados, polígono de dezenove lados, etc Elementos do Polígono DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

20 Os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA são os lados do polígono. Os pontos A, B, C, D, E F, pontos comuns a dois lados são os vértices do polígono. Unindo os vértices A e C do polígono, você construiu uma diagonal do polígono. As diagonais são obtidas ligando-se dois vértices não consecutivos do polígono. No polígono A B C D E F, notamos que: Os ângulos formados por dois lados consecutivos são chamados de ângulos internos do polígono. Os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo são os ângulos externos do polígono. Obs.: Os prolongamentos dos lados são sempre ordenados. Num polígono o número de lados, de vértices, de ângulos internos e externos é igual. Em todo polígono o número de lados é igual ao número de vértices, que, por sua vez é igual ao número de ângulos internos e ângulos externos. 5.3 Perímetro do Polígono Para calcular o perímetro de um polígono, temos de calcular a soma das medidas de seu lado. Exemplo de Aplicação Primeiro, somamos os 10 cm com os outros 10 cm, depois somamos o resultado (0 cm) com os 5 cm e o resultado (5cm) com os outros 5cm, e achamos o resultado 30cm. O perímetro desse retângulo é 30 cm = 30 cm 5.4 Figuras Geométricas Planas Quadrado: Quadrilátero retangular cujos lados são iguais entre si e cujos ângulos são retos. Retângulo: Quadrilátero cujos ângulos são retos e os lados opostos são iguais. Paralelogramo: Quadrilátero plano cujos lados opostos são paralelos. Triângulo Eqüilátero: O que tem três lados iguais e, portanto, os três ângulos iguais. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

21 Triângulo Isósceles: O que tem dois lados iguais e, portanto, dois ângulos iguais. Triângulo Retângulo: Triângulo que tem um ângulo reto. Triângulo Escaleno: O que tem todos os ângulos e lados desiguais. Trapézio: Quadrilátero com dois planos paralelos. Trapézio Isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são iguais. Trapézio Retângulo: Trapézio que tem dois ângulos retos. Losango: Quadrilátero plano que tem os lados iguais, dois ângulos agudos e dois obtusos. Círculo: Região de um plano limitado por uma circunferência. Eclipse: Lugar Geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano tem soma constante. 6. Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos: Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro. 6.1 Poliedros convexos e côncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

22 Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo. 6. Classificação dos poliedros Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces 6.3 Poliedros regulares Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares: Poliedro Planificação Elementos Tetraedro 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Hexaedro 6 faces quadrangulares 8 vértices 1 arestas DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO - 015

23 8 faces triangulares 6 vértices 1 arestas Octaedro 1 faces pentagonais 0 vértices 30 arestas Dodecaedro 0 faces triangulares 1 vértices 30 arestas Icosaedro 6.4 Relação de Euler A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte: V - A + F = Em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: Exemplo de Aplicação DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

24 V=8 A=1 F= = V = 1 A = 18 F = = 6.5 Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo Podemos encontrar a soma dos ângulos internos de um poliedro convexo com a seguinte igualdade: S V. 360 Onde S é a soma dos ângulos internos do poliedro e V é o número de vértices. 7. Sólidos de Platão Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices. Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.c. e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. 7.1 Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler.. Exemplo de Aplicação O prisma a seguir pode ser considerado um poliedro de Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

25 As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são formadas por quatro arestas. Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por três arestas. A relação de Euler pode ser aplica, observe: o sólido possui oito vértices, seis faces e doze arestas. V A + F = = 14 1 = = (verdadeiro) 7. Classificação dos poliedros de Platão Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes, de acordo com a tabela a seguir: POLIEDRO ARESTA VERTICES FACES Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro, respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar, e o dodecaedro foi associado ao Universo. Conheça os poliedros de Platão: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

26 Exemplo de Aplicação 1.Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices. V A + F = F = F = F = 6 Portanto, o sólido possui 6 faces..determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir: Visualmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular. Vértices Arestas Faces V A + F = V A + F = V A + F = V = 5 A + 5 = F = V = A = 5 5 F = V = 5 - A = - 8 x(-1) F = 5 A = 8 Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo. 3.O número de faces de um poliedro convexo de arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

27 Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os vértices desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma F = x e V = x. Aplicando a relação de Euler: V A + F = x + x = x = + x = 4 x = 1 Portanto, o número de faces do poliedro com arestas é igual a 1. Exercícios sobre Poliedros 16- Defina: a) Poliedro b) Icosaedro c) Poliedro regular 17- Enuncie a Relação de Euler. 18- Num poliedro convexo, o número de arestas é 16 e o número de faces é 9. Determine o número de vértices. 19- Quantas faces possui um poliedro convexo de 1 vértices e 0 arestas. 0- Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. Calcule o número de arestas do poliedro. 1- Determine o número de vértices de um poliedro convexo que possui 8 faces e 14 arestas. - Determine o número de vértices de um poliedro convexo, sabendo que o número de arestas excede o número de faces em 4 unidades. 3- (Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 4- Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 8 unidades. Determine o número de faces desse poliedro. 5- Um poliedro convexo possui faces triangulares e 3 faces quadrangulares. Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro. 6- Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares e 3 faces hexagonais. Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro. 7- Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas faces pentagonais. Determine o número de arestas e o número de vértices. 8- Quantos vértices tem o poliedro convexo, sabendo-se que ele apresenta uma face hexagonal e seis faces triangulares? DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

28 9- (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule o número de vértices desse poliedro. 30- Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais. 31- Calcule a soma das medidas dos ângulos internos das faces de um: a) hexaedro b) octaedro c) dodecaedro d) icosaedro 3- Qual a soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro que possui 1 faces e 30 arestas? 33- Sabendo que em um poliedro de 8 arestas S é igual a 1080º, determine o número de faces. 34- Num poliedro, o número de vértices é igual ao número de faces. Determine S sabendo que esse poliedro possui 0 arestas. 35- (PUC-SP) Um poliedro possui 5 faces quadrangulares e 10 faces triangulares. Calcular a soma dos ângulos internos das faces. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

29 3 BIMESTRE 8. Prismas Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, e, um polígono convexo R contido em e uma reta r que intercepta e, mas não R: Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento PP ', paralelo à reta r ' P : Assim, temos: Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes PP' paralelos a r. 8.1 Elementos do prisma DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

30 Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos: Bases: as regiões poligonais R e S. Altura: à distância h entre os planos e. Arestas das bases: os lados polígonos). AB, BC, CD, DE, EA, A' B', B' C', C' D', D' E', E' A' ( dos Arestas laterais: os segmentos AA ', BB', CC', DD', EE'. Faces laterais: os paralelogramos AA BB', BB' C' C, DD' E' E, EE' A' A '. 8. Classificação do prisma Um prisma pode ser: Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja: Prisma reto Prisma oblíquo Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

31 Prisma regular triangular Prisma regular hexagonal Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes. 8.3 Secção do prisma Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções transversais são congruentes (figura ). 8.4 Áreas do prisma Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (A F ): área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral (A L ): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos: A L = n. A F (n = número de lados do polígono da base) c) área da base (A B ): área de um dos polígonos das bases; DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

32 d) área total (A T ): soma da área lateral com a área das bases. A T = A L + A B 8.5 Volume do prisma Sendo dado por: A B a área da base e h a medida da altura de um prisma, o volume V desse prisma é V AB. h. Exemplo de Aplicação 1- Determine a área total e o volume de um prisma hexagonal regular cujas arestas das bases medem cm e as arestas laterais medem 5 cm. A A A B L T l AB 6. AB 6 3m A 60cm L. A A (3 3 15) cm B L V AB. h cm 3 Exercícios sobre prismas 36- O que é prisma? 37- Como podem ser classificados os prismas? 38- Defina: a) prisma regular b) prisma reto c) prisma oblíquo 39- Determine a natureza (classificação) de um prisma sabendo que ele possui: a) 7 faces b) 10 faces 40- Um prisma regular triangular tem 10 cm de altura. Sabendo que a medida da aresta da base é de 6 cm, determine a área total e o volume do prisma. 41- A base de um prisma reto com 8 cm de altura é um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm. Determine: a) a área da base DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

33 b) a área lateral c) a área total d) o volume do prisma 4- A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 cm e 1 cm. Calcule a área da base, a área lateral e a área total desse prisma cuja altura é igual a 10 cm. 43- Qual é a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma reto de altura igual a 8 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm? 44- A altura de um prisma triangular regular é igual a 8 cm. Calcule a área total e o volume desse prisma sabendo que a aresta da base mede 4 cm. 45- A altura de um prisma triangular regular é igual a 8 cm. Calcule a área total e o volume desse prisma sabendo que a aresta da base mede 6 cm. 46- Um prisma triangular regular tem 4 cm de altura. Calcule o volume sabendo que a aresta da base desse prisma mede cm. 47- Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcule a área total do sólido, sabendo que a área lateral é de 1cm. 48- Calcule a área total de um prisma regular, triangular, cuja área da base mede cuja altura é igual ao perímetro da base. 5 3cm e 49- A altura de um prisma triangular regular é 10 cm. Calcule a área da base, a área lateral e a área total desse prisma, sabendo que o perímetro da base é igual a 18 cm(perímetro é a soma de todos os lados). 50- Dado um prisma reto de base hexagonal, cuja altura é h 3m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é a) a área da base b) a área lateral c) a área total r m, calcule: 51- Um prisma hexagonal regular tem área da base igual a sabendo que a altura é igual ao apótema da base. 4 3cm. Calcule seu volume, 5- Calcule o volume de um prisma triangular regular no qual a aresta da base mede 4 cm e a altura mede 10 3cm. 53- Calcule a área lateral de um prisma reto cuja aresta lateral mede 10 cm e cuja base é um hexágono regular de apótema h 3 3cm. 54- Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm de altura e cuja área lateral é igual à área da base. 55- Epaminondas fez o projeto para construir uma coluna de concreto que vai sustentar um aponte. A coluna tem a forma de um prisma hexagonal regular de aresta da base m e altura 8m. Calcule: a) a área lateral que se deve utilizar em madeira para a construção da coluna; b) o volume de concreto necessário para encher a fôrma da coluna. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

34 4 BIMESTRE 9. Cubo O cubo é um prisma regular limitado por seis quadrados congruentes. 9.1 Diagonais da base e do cubo Em qualquer cubo, é possível encontrarmos a diagonal da face, ou base, e a diagonal do cubo. Observando a base do cubo de aresta a e diagonal d, temos que: Aplicando o teorema de Pitágoras: d d d a a d a. a a diagonal da base DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

35 Observando a diagonal D do cubo e utilizando o resultado anterior temos que: Aplicando o teorema de Pitágoras temos: D D D D a a 3a 3a D a. 3 a a diagonal do cubo 9. Áreas e Volumes O cubo de aresta a é formado por 4 faces laterais, logo temos que a área lateral é dado por: A L 4. a Todas as seis faces quadradas compõem um cubo, logo temos que a área total é dada por: A T 6. a O volume de um cubo de aresta a é dado pelo produto da altura (aresta) pela área da base (face), logo: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

36 3 V a Exemplo de Aplicação Encontre a área total e o volume de um cubo cuja diagonal mede 3 m. Sabendo a medida da diagonal do cubo temos que: d a. 3 a a m 3 3 Sendo m a medida das arestas desse cubo podemos dizer que: A A A A T T T T 6. a m V a 3 V 3 V 8 Assim temos que a área total desse cubo é de 4 m² e seu volume é de 8 m³. m 3 Exercícios sobre cubo 56- Defina cubo. 57- Quanto mede a diagonal de um cubo de aresta 10 3cm? 58- Sabendo que a aresta de um cubo mede 5 cm, calcule a diagonal e a área total desse cubo. 59- Num cubo de aresta 10 cm, qual é a área total? 60- Qual é o volume de um cubo que tem 10 cm de aresta? 61- Determine o volume de um cubo cuja diagonal mede 3 m. 6- A área total de um cubo é de 63- Um cubo tem área total de a) 8 m b) 8 m c) 8 3m d) 16 m e) 8 5m 150m. Calcule a medida de sua aresta. 384m. Sua diagonal mede: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

37 64- Uma caixa- d água cúbica tem 3 cm de aresta interior. Sabendo que 1dm 3 1l, calcule a capacidade, em litros, dessa caixa. 65- A diagonal de uma face de um cubo mede 5 dm. Calcule a diagonal, a área total e o volume desse cubo. 66- A soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 dm. Sabendo que um cubo possui 1 arestas, calcule a área da superfície total e o volume desse cubo. 67- Três cubos de chumbo com arestas de 5 cm, 10 cm e 0 cm, respectivamente, são fundidos numa peça única. Qual é o volume dessa peça? 68- Determines quantos cm de madeira são necessários para fabricar uma caixa de forma cúbica com aresta medindo cm. 69- Sabe-se que um cubo tem 16m de área total. Calcule o volume desse cubo. 70- O volume de uma caixa cúbica é de litros. Determine o valor da área total da caixa. Dado 1m l. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

38 10. Paralelepípedo Paralelepípedo é um prisma que possui faces formadas por paralelogramos, onde a é o comprimento, b a largura e c a altura desse poliedro Paralelepípedo reto e oblíquo O paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo retoretângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo, ou seja, um paralelepípedo reto é aquele cujo o encontro de todas as arestas formam ângulos de 90. O paralelepípedo é denominado oblíquo quando o encontre de suas arestas não formam ângulos de Diagonal da base e do paralelepípedo DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

39 Em qualquer paralelepípedo, é possível encontrarmos a diagonal da face, ou base, e a diagonal do cubo. Observando a base do paralelepípedo de comprimento a, largura b e altura c. Aplicando o teorema de Pitágoras temos que: d a d a b b diagonal da base Observando a diagonal D e utilizando o resultado anterior temos que: D D D a a a b b b c c c diagonal do paralelepípedo 10.3 Área e volume do paralelepípedo Sendo um paralelepípedo de comprimento a, largura b e altura c temos que: A área lateral é constituída por retângulos, com arestas paralelas e congruentes dois a dois, cujas medidas são: DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

40 Logo: A L. a. c b. c Da mesma maneira podemos dizer que a área total de um paralelepípedo é composta por: Logo: A T. a. b a. c b. c O volume do paralelepípedo é dado pela relação entre seu comprimento, largura e altura, logo: V a. b. c Exemplo de Aplicação As dimensões de um paralelepípedo são 0 cm, 1 cm e 9 cm. Encontre a medida de uma diagonal e o volume desse paralelepípedo. Sabendo as dimensões do paralelepípedo temos que: D a b c D D 0 D 65 D 5 cm V V V a. b. c cm 3 Portanto, a diagonal desse paralelepípedo é 5 cm e seu volume é de 160 cm³. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

41 Exercícios sobre paralelepípedo 71- Defina paralelepípedo retângulo. 7- Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 10 cm, 6 cm e 4 cm. 73- Determine a diagonal de um paralelepípedo retângulo que apresenta aresta lateral 4 cm e arestas da base cm e 6 cm. 74- Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Sabendo que sua diagonal mede 3 10, calcule o valor de k. 75- As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 0 cm, 8 cm e 5 cm. Calcule a área total desse paralelepípedo. 76- Calcule o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 15 cm, 1 cm e 6 cm. 77- Um paralelepípedo retângulo de altura 9 dm tem por base um quadrado com perímetro 40 dm. Calcule: a) a medida da diagonal do paralelepípedo; b) a área da sua superfície total. 78- Uma laje é um bloco retangular de concreto de 6 m de comprimento por 4 m de largura. Sabendo que a espessura da laje é de 1 cm, calcule o volume de concreto usado nessa laje. 79- Calcule quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir uma piscina retangular de 8 m de comprimento, 5 m de largura e 1,60 m de profundidade. 80- Num paralelepípedo retângulo, a diagonal mede 14 m. Sabendo que as dimensões desse paralelepípedo estão em P.A de razão, calcule o volume do paralelepípedo. (Sugestão: represente as dimensões por x, x - e x + ) Num paralelepípedo retângulo, o volume é 600cm. Uma das dimensões da base é igual ao dobro da outra, enquanto a altura é 1 cm. Calcule as dimensões da base desse paralelepípedo. 8- O volume de um paralelepípedo retângulo é m. Calcule a área total desse paralelepípedo. 3 96m. Duas de suas dimensões são 3 m e O volume de um paralelepípedo retângulo é 648m. Calcule a área total desse paralelepípedo, sabendo que suas dimensões são proporcionais aos números 4,3 e. 84- A piscina de um clube tem 1,80 m de profundidade, 14 m de largura e 0 m de comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la. 85- Deseja-se cimentar um quintal regular com 10 m de largura e 14 m de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e cimento de 3 cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizada nesse revestimento. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO

42 Referências Bibliográficas: ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 00. DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São Paulo: Editora Ática, 001 GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática Fundamental : uma nova abordagem: ensino médio: volume único. São Paulo: FTD, 00. DESENHO GEOMÉTRICO º ANO - ENSINO MÉDIO