OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 6º e 7º Ano FASE 1

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1 OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 6º e 7º Ano FASE 1 1) Cada visitante pode passar pela fronteira entre dois países carregando compras no valor de até R$ 300. Se a compra ultrapassar esse valor, é cobrado um imposto de 10% sobre o valor ultrapassado. Se uma pessoa comprar dois aparelhos de som custando R$ 250 cada, quanto deverá pagar de imposto? Resposta: 20 Reais Solução: O total da compra foi de R$ 500. O imposto cobrado é sobre o que ultrapassar os R$ 300. O que ultrapassou foi R$200. Então 10% de R$ 200 é R$ 20. 2) Uma corrida de táxi é cobrada da seguinte forma: a "bandeirada" custa R$ 3,20, mais R$ 0,20 para cada 100 metros rodados. Se eu tenho R$ 12, qual é a distância máxima, em metros, que eu posso percorrer de táxi? Resposta: 4400 metros Solução: Se possuo R$ 12,00, retirando o valor da bandeirada, sobram R$ 8,80 para a distância. Como cada 100 metros custam R$ 0,20, posso percorrer 4400 metros. 3) Uma malharia vendeu, no último mês, 2 mil camisetas de cores variadas e registrou, no gráfico mostrado abaixo, a quantidade vendida de cada cor. Quantas camisetas vermelhas foram vendidas? Resposta: 620 camisetas Solução: Somando-se os percentuais, obtemos 69%. Então o setor vermelho do gráfico representa 31%, pois 100% 69%= 31%. Do total de 2000 camisetas, 31% representa 620 camisetas.

2 4) Uma fábrica de doces realizou uma promoção em conjunto com um parque de diversões: trocando-se embalagens de doces por ingressos, é possível se divertir no parque durante certo tempo. Célia tinha duas embalagens de chocolate e conseguiu trocá-las por quatro ingressos, cada um dando direito a 1 hora. Lilian tinha doze papéis de bala e os trocou por ingressos para três horas. Quanto tempo é possível brincar tendo-se uma embalagem de chocolate e quatro papéis de bala? Resposta:3 horas Solução: Se Célia trocou duas embalagens de chocolate por quatro ingressos, significa que cada embalagem dá direito a duas horas de brincadeira.se Lílian tinha 12 papéis de bala e os trocou por ingressos para 3 horas, significa que cada quatro papeis dá direito a uma hora de brincadeira.logo, com quatro papéis de bala, consegue uma hora de brincadeira, mais uma embalagem de chocolate que dá direito a duas horas de brincadeira, totalizando 3 horas. 5) Na seqüência 1, 2, 4, 8,... cada número, com exceção do primeiro, é igual ao anterior multiplicado por 2. Continuando a sequência, quantos números ela terá até que tenhamos o primeiro número com três algarismos? Resposta: 8 Solução: Para chegar-se à solução, temos que construir a sequência até que cheguemos ao algarismo com três algarismos. A sequência é formada por: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.O primeiro algarismo com três dígitos é o oitavo número. Portanto, a sequência terá 8 algarismos. 6) Esta figura foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo. Qual das alternativas mostra o cubo formado? Resposta: D Solução: Antes de imaginar o cubo montado, devemos lembrar que o molde apresentado é da parte externa do cubo Então, fixando-se o número 1 como fundo do cubo, teremos

3 Virando ao contrário essa planificação, deixando o verso para cima e, para facilitar a montagem do cubo, teremos: Agora, fixando-se o 1 como base e, levantando-se as faces laterais, teremos na face superior a flor e girando o cubo teremos como solução a alternativa d. 7) O retângulo da figura a seguir está dividido em quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a área do retângulo é igual a:

4 Resposta: 1008 Solução: Para obter-se a área do retângulo, deve-se partir da área do quadrado menor, sempre lembrando que todas as figuras que são quadrados. Então, obteremos as seguintes áreas, que somadas, nos mostram um total de 1008 unidades de área. 8) Qual é o menor número de três dígitos múltiplo de 2 e de 7? Resposta: 112 Solução: Podemos listar os números com três dígitos, múltiplos de 2 e de 7. Múltiplos de 2 com três dígitos: 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114,... Múltiplos de 7 com três dígitos: 105, 112, 119,... Logo, o primeiro número que possui três dígitos e é múltiplo de 2 e de 7 é o ) Do interior de uma lanchonete, saíram 3 rapazes e entraram 7 moças. Em seguida, saíram 2 rapazes e 1 moça. Finalmente, saíram 12 moças, e o local ficou vazio. Quantas pessoas havia inicialmente na lanchonete? Resposta: 11 pessoas Solução: Consideremos como x a quantidade inicial de pessoas e montamos uma equação, que representa os acontecimentos: x = 0 x 11= 0 x= 11 Então, pode-se concluir que havia 11 pessoas na lanchonete. 10) Dois verdureiros, seu Jonas e seu Salgado, estão regularmente no bairro em que moro. As visitas do seu Jonas ocorrem nos dias do mês que são múltiplos de 3, e o seu Salgado aparece nos dias que são múltiplos de 4. No mês de março, durante quantos dias o bairro não recebeu visita de nenhum deles? Resposta: 16 dias

5 Solução: Inicialmente deve-se lembrar que o mês de março tem 31 dias. Os dias de visitas de cada um deles pode ser verificado a seguir: Jonas= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 Salgado= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 Para facilitar a visualização, marcaremos em um calendário do mês de março os dias em que foram feitas as visitas, por pelo menos um deles: Pode-se perceber, que em 16 dias do mês de março não houve visitas de nenhum dos dois. 11) Comprei 6 garrafas de suco, todas elas com o mesmo preço. Qual das quantias abaixo NÃO pode ser o valor total que paguei por elas? Resposta: D Solução: As garrafas de suco têm o mesmo valor, portanto o preço total deve ser um valor divisível por 6. O único valor que não pode ser dividido exatamente por 6 é o valor de R$13,30. 12) Uma fotografia retangular, cujo perímetro mede 100 cm, foi colocada em uma moldura, como mostra a figura a seguir. Se o novo perímetro é de 140 cm, qual é a largura da moldura, em centímetros?

6 Resposta: 5 cm. Solução: Se o perímetro do quadro é de 100 cm e o perímetro da moldura é de 140 cm, significa que aumentou 40 cm, sendo 10 cm aumentado em cada lado do quadro. Como o quadro deve ficar centralizado na moldura, então, aumentou 5 cm para a direita do quadro e 5 cm para a esquerda, ou seja, a largura da moldura é de 5 cm.

7 OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 6º e 7º Ano FASE 2 1) 2) Na figura, temos quatro quadrados: A, B, C e D. O perímetro de A é igual a 8 m; e o de B, a 20 m. Qual é o perímetro do quadrado D? Resposta: 48 metros. Solução: Se o perímetro do quadrado A é 8 m, então cada lado deste quadrado mede 2m. Se o perímetro do quadrado B é 20 m, então cada lado deste quadrado mede 5m. O lado do quadrado C é a junção de um lado do quadrado A e um dos lados do quadrado B. Logo, o lado do quadrado C mede 7 m. O lado do quadrado D é a junção de um dos lados do quadrado C e um dos lados do quadrado B. Logo o lado do quadrado D mede 12m e o seu perímetro mede 48 m. O perímetro do quadrado D mede 48 m. 3) Desde que Mariana nasceu, em todos os aniversários da menina, sua mãe decorava o bolo com uma vela no formato de algarismo, indicando o número de anos da filha. Quando Mariana completou 10 anos, passou a ser necessário comprar sempre duas velas para prosseguir com o costume. Todas essas velas, desde o primeiro ano, foram guardadas em uma caixa que, atualmente, tem 61 velas. Quantos anos tem Mariana hoje? Resposta: 35 anos Solução: De um a nove anos, Mariana utilizou 9 velas ao todo. A partir dos 10 anos, passou a utilizar 2 velas por aniversário. Se hoje ela tem 61 velas guardadas, subtraímos as 9 primeiras, e sobram 52 velas.

8 Essas 52 velas foram usadas nos próximos aniversários, duas de cada vez. Como 52 : 2 = 26, podemos concluir, que Mariana fez mais 26 aniversários depois dos 9 anos. Então, Mariana tem hoje 35 anos ( ). Mariana tem 35 anos. 4) Sabe-se que, em um hotel para animais: i) O número de animais hospedados é menor que 100; ii) Só são aceitos gatos e cachorros; iii) Há 40 gatos; iv) 1/3 dos animais são cachorros. Quantos animais há no hotel? Resposta: 60 animais. Solução: Como nesse hotel são aceitos apenas gatos e cachorros, e 1/3 dos animais são cachorros, sabemos que 2/3 são gatos. Se dois terços correspondem a 40, então um terço corresponde a 20. No hotel há, portanto, 20 cachorros e 40 gatos, totalizando 60 animais. No hotel há 60 animais. 5) Se a área da circunferência maior é 100 cm 2, calcule a área, em cm 2, das partes pintadas em azul. Resposta: 50 cm 2 Solução: Observando a figura, pode-se perceber que as pequenas partes azuis que estão na parte de baixo, cobrem completamente as partes brancas da parte de cima. Então, a metade do círculo está pintado de azul, o que corresponde a 50 cm 2. Foi pintado de azul, 50 cm 2. 6) Quanto pesa, em kg, uma pessoa cuja estrutura óssea é de g, se o peso dos seus ossos é igual a 15% do seu peso total?

9 Resposta:80 Kg. Solução: Se a estrutura óssea dessa pessoa pesa 12000g, pode-se dizer que pesa 12kg. Esses 12 kg correspondem a 15% do peso total de uma pessoa. Então: O peso total dessa pessoa é 80 kg. 7) Um quadrado possui área de 900 cm 2. Qual é o perímetro, em cm, de um octógono regular que possui lado igual ao desse quadrado? Resposta:240 cm. Solução: Se esse quadrado possui 900 cm 2 de área, cada um de seus lados mede 30 cm. Um octógono que tem cada um de seus oito lados medindo 30 cm, tem um perímetro de 8 30 = 240 cm. O perímetro do octógono é 240 cm. 8) Nas balanças a seguir, há uvas, bananas, maçãs e laranjas. Sabendo que todas as frutas iguais têm a mesma massa e que as duas primeiras balanças estão equilibradas, quantas maçãs são necessárias para haver equilíbrio na terceira balança?

10 Resposta: 5 maças Solução: 9) No tabuleiro de xadrez representado a seguir, há 16 peões. Qual é o menor número de movimentos que devemos fazer para que cada linha e cada coluna tenham exatamente 2 peões?

11 Resposta: 1 Solução: Notamos que a quinta coluna tem três peões e a sexta coluna tem apenas um peão. Então, com um movimento, pode-se passar o terceiro peão da quinta coluna (sexta linha), para a sexta coluna. É necessário apenas 1 movimento. 10) No estacionamento de um shopping, há 18 filas com 34 vagas cada uma. As vagas estão numeradas da esquerda para a direita, com início na primeira fila. João deixou seu carro na vaga de número 509. Em que fila o automóvel está? Resposta: 15 Solução: Se cada fileira tem 34 vagas, o último número de cada fileira é um múltiplo de 34. Assim, teremos: Na primeira fila, até a vaga 34. Na segunda fila, até a vaga 68. Na terceira fila, até a vaga 102 Na quarta fila, até a vaga 136. Na quinta fila, até a vaga 170. Na sexta fila, até a vaga 204. Na sétima fila, até a vaga 238. Na oitava fila, até a vaga 272. Na nona fila, até a vaga 306. Na décima fila, até a vaga 340. Na décima-primeira fila, até a vaga 374 Na décima segunda fila, até a vaga 408 Na décima terceira fila, até a vaga 442 Na décima quarta fila, até a vaga 476 Na décima quinta fila, até a vaga 510. Logo, o automóvel está na décima quinta fila. O automóvel está na fila ) Em um dado, a soma dos pontos de duas faces opostas é sempre igual a 7. Com qual dos modelos a seguir podemos montar um dado desse tipo?

12 Resposta: A Solução: Dentre as opções com as quais e possível montar o dado, que são A, B, D e E, o único que terá as suas faces opostas com soma 7 é a letra A. 12) O trajeto percorrido por um ônibus está indicado na figura a seguir, com os pontos de parada representados pelas letras. O tempo que o ônibus leva para percorrer a distância entre dois pontos em sequência é de exatamente 3 minutos. Se o ônibus parte do ponto A às 6h, em que ponto ele estará às 10h? Resposta: A Solução: Como entre um ponto e outro ele percorre em 3 minutos, a cada hora (60 min) ele passa por 20 pontos. Se ele sai as 6 horas de A, as 7 horas chega no ponto E, as 8 horas chega no ponto I, as 9 horas chega no ponto M e as 10 horas chega no ponto A. As 10 horas chegará no ponto A

13 OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 6º e 7º Ano FASE 3 SEMIFINAL 1) O número de minha casa é formado por dois algarismos cuja soma é 11. Se eu trocar os algarismos de posição, o número obtido será múltiplo de 8. Qual é o número de minha casa? Resposta: 65 Solução: As possibilidades que temos para dois algarismos cuja soma seja 11, são: O único número formado que é múltiplo de 8 é o 56, então trocando os algarismos de posição, temos 65. 2) Observe com atenção a tabela. Ela foi preenchida de acordo com algumas regras. O número que deveria estar no lugar da letra A é o da alternativa? A) 225 B) 351 C) 405 D) 189 E) 126 Resposta: C

14 Solução: Ao somarmos os algarismos dos números até que fique um algarismo só, pode-se observar que todos os números da primeira coluna tem soma 3, os da segunda coluna somam 6, os da terceira coluna somam 9 e os da quarta coluna somam 3. Logo a resposta é 405, letra C. 3) Quantos triângulos há na figura a seguir? Resposta: 21 triângulos. Solução:

15 OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 6º e 7º Ano FINAL 1) Ângela comprou uma blusa em uma loja que dá um desconto de 20% sobre o preço da etiqueta nesse tipo de mercadoria. Por ter um cartão da loja, Ângela ganhou mais um desconto de 10%, também sobre o preço da etiqueta. Se Ângela pagou R$ 14 pela blusa, qual era o preço original dessa peça? Resposta:20 Reais Solução: Se Ângela recebeu um desconto de 20% e outro de 10 % sobre o preço da etiqueta, ela recebeu na verdade um desconto de 30%. Então ela pagou 70% do valor da blusa ao leva-la por R$ 14,00. Observe que: 70% = 14 reais 10% = 2 reais 100% = 20 reais. O preço original da blusa era de R$ 20,00. 2) Chamamos de "números olímpicos" os números que atendem às seguintes condições: i) Nenhum de seus algarismos é zero; ii) A soma de seus algarismos, exceto o primeiro, é igual ao primeiro algarismo. Um exemplo de número olímpico é o 7.331, pois: 7 = Qual é o menor número olímpico de quatro algarismos? Resposta: 3111 Solução: Devemos observar que nenhum algarismo é zero e que os algarismos podem repetir. Se o número tem 4 algarismos, e nenhum dos três últimos pode ser zero, será no mínimo 1. Se forem um, o primeiro algarismo deve ser 3. Logo, o menor número será ) Um caminhão pode carregar 30 sacos de areia ou 180 tijolos ou 45 sacos de cimento. Se forem colocados no caminhão 12 sacos de areia e 15 sacos de cimento, quantos tijolos ele ainda poderá carregar? Resposta: 48 tijolos Solução: Ao carregar 12 sacos de areia, o caminhão está carregando 2/5 de sua capacidade. Ao carregar 15 sacos de cimento, está carregando 1/3 de sua capacidade. Ao somarmos 2/5 com 1/3, obtemos 11/15 ou seja, ainda há disponibilidade para 4/15 de sua capacidade. E 4/15 de 180 tijolos são 48 tijolos. Pode carregar 48 tijolos. 4) Uma máquina está programada para fornecer cédulas de real a partir de valores digitados em seu teclado. Ela trabalha com notas de R$ 100, R$ 50, R$ 20,

16 R$ 10 e R$ 2. Quando digitamos 31201, ela libera três notas de R$ 100, uma de R$ 50, duas de R$ 20, nenhuma de R$ 10 e uma nota de R$ 2. Qual o valor, em reais, que vamos receber se fornecermos o número 12422? Resposta: 304 Reais Solução: Os dígitos, na ordem em que foram escritos referem-se à quantidade de cédulas de R$ 100, R$ 50, R$ 20, R$ 10 e R$ 1. Então, 12422, refere-se à uma nota de R$ 100, duas de R$ 50, quatro de R$ 20, duas de R$ 10 e duas notas de R$ 2, totalizando R$ 304. Iremos receber R$ ) Mariana costuma ir de bicicleta à mercearia. Entre ida e volta, o tempo gasto no deslocamento é de 16 minutos. Ontem, ela foi de bicicleta e voltou a pé, e o tempo total gasto foi de 24 minutos. Quantos minutos ela gastaria se fosse e voltasse da mercearia caminhando? Resposta: 32 minutos. Solução: Se Mariana gasta 16 minutos para ir e voltar de bicicleta, significa que gasta 8 minutos na ida e 8 minutos na volta. Se ela foi de bicicleta e voltou a pé gastando 24 minutos, pode-se concluir que 8 minutos foram na ida, de bicicleta e os 16 minutos restantes foram na volta, a pé. Se Mariana fosse e voltasse a pé, gastaria 16 min + 16 min, totalizando 32 minutos. O tempo gasto seria de 32 minutos.