Matemática capítulo 2

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1 Matemática capítulo Eercícios propostos. Marque os seguintes pontos no plano cartesiano: (,), (,), (-,), D(-,-), E(,-), F(-,), G(,) θ. Determine os valores de a que satisfazem as condições dadas: a) O ponto P(a-,) pertença ao eio das ordenadas; b) O ponto P(a+, a) pertença ao eio das abscissas. c) O ponto P(a+,a) pertença à bissetriz dos quadrantes pares; d) O ponto P(a-, +) pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares.. Se o ponto P(,k) pertence à reta de equação: então o valor de k é: a). b). c). d). e). + - =,. Determine os valores de e que tornam e o mesmo ponto: a) (+, - + ) e (-, - + ) b) ( +, - 5 ) e (², - 9). c) (, + ) e (, ).. (FTRJ) No plano cartesiano abaio, a reta r passa pela origem e forma um ângulo θ com o eio. Escolhendo um ponto P (a, b) qualquer da reta r, e considerando θ = o, podemos afirmar que: a) Se P pertence ao º quadrante, então a = b. b) Se P pertence ao º quadrante, então a < b. c) a = b independente de qual quadrante estiver P. d) Se P pertence ao º quadrante, então a > b. 5. (Fuvest) Se (m + n, m - ) e ( - m, n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: a) b) c) d) / 6. (Uerj) Duas pessoas e decidem se encontrar em um determinado local, no período de tempo entre h e h. Para cada par ordenado (, ), pertencente à região pintada do gráfico a seguir, e representam, respectivamente, o instante de chegada de e ao local de encontro. (h) (h) Determine as coordenadas dos pontos da região pintada, os quais indicam: a) a chegada de ambas as pessoas ao local de encontro eatamente aos minutos; b) que a pessoa tenha chegado ao local de encontro aos minutos e esperado por durante minutos. 7. (Unifesp) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas ( +, - - ) e também por ( +, + ), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, é igual a a) 8. b) 6. c). d) 8. e) 9. 5

2 8. (Ufmg) Nesta figura, está representado um quadrado de vértices D: 5. (esgranrio) O ponto Q é o simétrico do ponto P(, ) em relação ao eio dos. O ponto R é o simétrico do ponto Q em relação à reta =. s coordenadas de R são: a) (, ) d) (, ) b) (, ) e) (, ) c) (, ) D = (a, b) = (, ) 5. (Ufba) Na figura, considere os pontos (, ), (, ), (, ) e D(, ) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto. = (, ) Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos e são = (, ) e = (, ). Então, é correto afirmar que o resultado da soma das coordenadas do vértice D é: a). b). c). d). 9. (Ufrgs) Os pontos (, ), (6, ) e são os vértices de um triângulo equilátero, sendo o segmento a base deste. O seno do ângulo formado pela o eio das abscissas e a reta suporte do lado no sentido anti-horário é a) b) c) d) e) 5. (Fuvest) Sejam = (, ) e = (, ) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento é obtido do segmento por uma rotação de 6 o, no sentido anti- -horário, em torno do ponto. s coordenadas do ponto são: a) (, + ). b) + 5,. c) (, + ). d) (, ). e) ( +,+ ). D om base nessa informação, pode-se afirmar: ) O triângulo D é equilátero. ) área do setor circular pintado é igual a π u.a. ) equação = representa a reta r. 8) O ângulo entre o eio O, no sentido positivo, e a reta r mede º. 6) imagem do ponto pela refleão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (, ). ) imagem do triângulo O pela homotetia de razão é um triângulo de área u.a. 6) imagem do ponto D pela rotação de 5º em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto de coordenadas (, ). 5. (Pucrj) Sejam e os pontos (, ) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento é: a) (, ) b) (, 6) c) (, 6) d) (, 7) e) (, ) 5. Determine o ponto médio do segmento de etremidades: a) (-,6) e (-5,) b) (-,-7) e (,-5) c) (-,-) e (-,-) 55. Uma das etremidades de um segmento é o ponto (-,-). Sabendo que M(,-) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto (, ), que é a outra etremidade do segmento. r 6

3 56. Dados os pontos (, ) e (, 6), determinar as coordenadas de um ponto (sobre a reta que contêm ), tal que =. 57. alcule as coordenadas do ponto médio do segmento. Dados, (, 8), (, ). 58. (UFJF) Se (,), (,) e (6,) são os pontos médios dos lados de um triangulo, quais são os seus vértices? a) (, ),(5, ),(7, ) b) (, ), (, ), (, ) c) (, ), (, ), (5, 5) d) (, ), (, ), (, 5) 59. (PU) Sendo (, ), (, ), (, 6) e D(, ) vértices de um paralelogramo, então o ponto de intersecção de suas diagonais é: a) (, /) b) (, 5/) c) (, 7/) d) (, 5/) e) (, 7/) 6. (UFMG) Os pontos (,), (,) e (,) são vértices de um retângulo. O quarto vértice é o ponto: a) (9, ) b) (9, ) c) (9, ) d) (8, ) e) (8, ) 6. (Ufrj) Sejam M = (, ), M = (, ) e M = (,-) os pontos médios dos lados de um triângulo. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo. 6. (Pucmg) Os catetos e de um triângulo retângulo estão sobre os eios de um sistema cartesiano. Se M = (-, ) for o ponto médio da hipotenusa, é correto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices desse triângulo é igual a: a) b) c) d) 6. (Puccamp) Sabe-se que os pontos = (; ), = (; ) e = (; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo D. Nessas condições, o comprimento de D é a) b) c) d) 5 e) 5 6. (Ita) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (, ), (b, b) e (5b, ), com b >, são vértices de um retângulo. s coordenadas do quarto vértice são dadas por: a) ( b, b) b) (b, b) c) (b, b) d) (b, b) e) (b, b) 65. alcule a distância entre os pontos dados: a) (,7) e (,) b) E(,) e F(,5) c) H(-,-5) e O(,) 66. Demonstre que o triângulo com os vértices (,5), (,-) e (-,-) é isósceles e calcule seu perímetro. 67. Encontre as medianas relativas aos três lados do triângulo do eercício anterior. 68. (esgranrio) distância entre os pontos M(,-5) e N(-,7) do plano vale: a). b). c). d) 9. e) (Unesp) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P=(,), Q=(6,) e R=(,5), é a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo. 7. (FTMG) Os pontos (- 5, ) e (, - ) são etremidades de uma diagonal de um quadrado. O perímetro desse quadrado é a) 8 b) c) d) 8 7. (Fuvest) No plano cartesiano, os pontos (,) e (-,) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual a área do quadrado? a) b) c) d) e) 5 7. (UFS) Dados os pontos (-,-), (5, -7) e (,), determine sabendo que o ponto é equidistante dos pontos e a) 8 b) 6 c) 5 d) e) 7 7. (PU) Sendo (, ), (, -) e (-, ) os vértices de um triângulo, então esse triângulo é: a) retângulo e não isósceles b) retângulo e isósceles c) equilátero d) isósceles e não retângulo 7

4 7. (UEE) Se o triângulo de vértices nos pontos P (, ), P (, ) e P (, k) é retângulo, com ângulo reto em P, então k é: a) b) c) 5 d) 8 e) 75. (Ufba) onsidere, no plano cartesiano, os pontos (, ), (, ), (, 6), (, ), ( 6,) e um ponto que tem coordenadas positivas. Sabendo que = e ' ' ' = ' ' ', determine o produto das coordenadas do ponto. 76. (Pucrj) Seja d(p, Q) a distância entre os pontos P e Q. onsidere = (-, ) e = (, ) pontos do plano. O número de dx, d, pontos X = (, ) tais que dx, ( ) = ( ) = ( ) é igual a: a) b) c) d) e) 77. (Pucrj) O ponto = (, b) é equidistante dos pontos = (6, ) e = (, 6). Logo o ponto é: a) (, ). b) (, 6). c) (, ). d) (, ). e) (, ). 78. (Ueg) Na localização dos imóveis de uma cidade é usado como referência um sistema de coordenadas cartesianas em uma escala adequada. Neste sistema, a casa de número de uma determinada rua está localizada no ponto (-, ), enquanto a loja de número 7, que está na mesma rua, coincidiu com o ponto (, 6). Determine uma equação que relacione as coordenadas e de um ponto que indica a localização de um prédio comercial, de modo que os pontos, e sejam os vértices de um triângulo retângulo em. 79. (Unesp) distância do vértice da parábola a) 7/5 b) 9/5 c) d) /5 e) /5 = ( ) ( 6) à reta = (/) + 5 é: 8. (Ufba) onsiderando, no plano cartesiano, os pontos (, ), (, ) e (, ), determine todos os valores de para os quais a soma da distância de a e da distância de a seja menor ou igual a (Ufscar) Dados os pontos (,), (,) e (,), vértices de um triângulo, o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é a) d) 8. (Fgv) No plano cartesiano, o triângulo de vértices (, -), (m, ) e (, 6) é retângulo em. O valor de m é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 5 e) 5 8. (Unirio) onsidere a função real definida por f() = + 8 e um ponto (, ). Sabe-se que a distância de um ponto P do gráfico de f ao ponto é ponto P encontra-se no: a). quadrante. b). quadrante. c). quadrante. d). quadrante. e) ponto de origem do sistema.. O 8. (Unirio) onsidere um triângulo cujos vértices são (,) (, ) e (6, ) e responda às perguntas a seguir. a) Qual a soma das medidas dos lados com a medida da altura relativa ao vértice? b) Qual a classificação deste triângulo quanto às medidas de seus ângulos internos? 85. distância do ponto (a,) ao ponto (,) é igual a. alcule o valor de a. 86. (Uerj modificado) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo. 5 7 Em relação a esse triângulo, demonstre que ele é retângulo. 87. O comprimento da mediana relativa ao lado do triângulo, sendo (-, ), (, ) e (, 7) é: a) a) b) b) c) c) 5 d) d) e) e) 88. Duas circunferências são tangentes eternamente. O centro de uma circunferência está no ponto (, 5) e o centro da outra está no ponto (, ). alcule a soma dos raios dessas circunferências. b) e) 89. Dado um triângulo, com vértices (, ), (, 5) e (, ). alcule o seu perímetro. c) 8

5 9. Seja um heágono, tal que, ( ) ( ) 5 ), D(, ),E( 5, 5 ) e ( ),,5,5, (-5, F5, 5, são seus vértices. Determine os valores das diagonais, D, E, DF, E, e F. O que podemos concluir sobre esse heágono? 9. (Fatec) circunferência que passa pelos pontos O = (, ), = (, ) e = (, ) tem raio igual a: a) b) c) 9. (Uff) Determine o(s) valor(es) que r deve assumir para que o ponto (r, ) diste cinco unidades do ponto (, -). 9. (Unesp) Dados dois pontos, e, com coordenadas cartesianas (-, ) e (, -), respectivamente, conforme a figura, d) e) (Ufal) Na figura a seguir tem-se o losango D, com (;) e (;), e cuja diagonal forma ângulo de medida 6 o com o lado. D 6 o O perímetro desse losango é a) b) 6 c) d) e) (Ufrj) Sejam (, ) e 5, ( ) dois vértices de um triângulo equilátero. O vértice está no o quadrante. Determine suas coordenadas. 97. (Ufmg) Observe a figura. a) calcule a distância entre e. b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo são ( G, G ) =,, calcule as coordenadas (, ) do vértice do triângulo. 9. (Ufsm) Num plano, são dados pontos através de coordenadas: (,), (,), (6,5) e (5,). Ligando-se os pontos pela ordem dada e fechando o polígono através da ligação de (, ) e (5, ), por meio de segmentos de reta, obtémse um a) quadrado de perímetro 7 b) paralelogramo de perímetro 7 + c) losango de perímetro 7 d) retângulo de perímetro e) trapézio isósceles de perímetro D Nessa figura, D é um paralelogramo, as coordenadas do ponto são (6,) e os lados e D estão contidos, respectivamente, nas retas de equações = + e = -. Nesse caso, as coordenadas do ponto são a) 5 7, b) 7 9, c) (8, 8) d) (, 9) 9

6 98. (Uel) Seja uma diagonal do quadrado D. Se = (-, ) e = (, 5), a área de D, em unidades de área, é a) b) c) 8 d) 8 e) alcule a área do triângulo se (, ), (5,-) e (,-). 8. área do triângulo O esboçado na figura abaio é. alcular a área do trapézio cujos vértices são: (, ), (7, ), (6, 5) e D = ( 8, ).. alcular a área do triângulo de vértices (,), (,) e (6,5). a) 6 b) c) d) e) 8. alcular a área do triângulo de vértices (,), (7,8) e (,). a) 7 b) 5 c) d) 9 e). alcular a área do quadrilátero de vértices (,), (5,), (6,5) e D(,7). a) 7 d) 6 b) e) 8 c). (UFRS) Se (,), (,), (-,) e a área do triangulo é igual a 8, então o valor de é: a) ± d) ± 8 b) ± e) ± c) ± 6 5. (Unesp) Um triângulo tem vértices P = (,), Q = (,5) e R = (,). Sabendo-se que a área do triângulo é, calcule a abscissa do ponto R. a) 8 ou b) 9 ou c) ou 9 d) ou 8 e) ou 8 6. esgranrio) área do triângulo, cujos vértices são (, ), (, ) e (, ), é igual a: a) 6 d) b) 8 e) c) 9 7. Dados os pontos (,), (5,), (8,5) e D(,8) no plano cartesiano ortogonal, P é um ponto do.º quadrante tal que as áreas dos triângulos P e PD são, respectivamente, iguais a 5 e 6. Em tais condições, o a) / b) / c) 5/ d) 7/ 9. (Fatec) s retas r e s interceptam o eio das abcissas nos pontos e e são concorrentes no ponto P. Se suas equações são =+ e =-+, então a área do triângulo P é a) 7/ d) 9/5 b) 7/ e) 8/5 c) 7/. (Unesp) Sejam = (, ) e = (5, ) pontos do plano e r a reta de equação = /. a) Represente geometricamente os pontos e e esboce o gráfico da reta r. b) Se = (, /), com >, é um ponto da reta r, tal que o triângulo tem área 6, determine o ponto.. (Unicamp) Uma reta intersecciona nos pontos (, ) e (-, ) uma circunferência centrada na origem. a) Qual é o raio dessa circunferência? b) alcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos e e seus simétricos em relação à origem.. (Fgv) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são (5,), (,) e (8,-). a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por. b) alcule a área do triângulo.. (Uece) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual os pontos P = (, ) e Q = (, 6) são vértices do triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela ao segmento PQ que contém o ponto (8, 6) então a medida da área do triângulo PQM é u. a. = unidade de área a) 7 u. a. b) 8 u. a. c) 9 u. a. d) u. a. produto da abscissa pela ordenada de P pode ser igual a a) 8 d) b) e) 5 c)

7 . Um criador de coelhos pretende aproveitar uma parte de seu terreno irregular para fazer um cercado cujo formato está representado pelo quadrilátero D abaio, onde as dimensões estão em metros e em média é conveniente criar cada coelho em,5 m. Então quantos coelhos no máimo podem ser criados nesse cercado? 9. O valor de m, para que os pontos (m +, ), ( 6, 5) e (, ) sejam colineares, é: a) b),5 c),5 d) e). (PU) Os pontos (,), (,-) e (,7) são colineares. Determine o valor de.. (Pucrj) Os três pontos, P = (,) e Q = (5,6) no plano são colineares e Q = P. Determine o ponto. D 5. (Osec) Na figura, o triângulo é isósceles, com =. alcule a área do triângulo.. (FMU) Os pontos (k, ), (, - ) e (, ) são vértices de um triângulo. Então: a) k = b) k = c) k = d) k e) k. (UFRS) Os pontos (,), (,) e (a,b) são colineares. Para que esteja sobre o eio de abscissas, a e b devem ser, respectivamente, iguais a: a) e b) e 7 c) e d) 7 e e) e (, 8) (, 8). O valor de para que os pontos (,), (,) e (-,) sejam colineares é: a) b) c) d) e) 5. Os pontos (,), (,7) e (,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: a) k = b) k = c) k = d) k = e) k = 5 a) 5 b) 5 c) d) 7 c (, ) 6. (FESP) Se (, ), (, ) (, ), D(, ), então a área da região plana limitada pelo quadrilátero D é: a) b) c) 5 d) 6 e) 7 7. O valor de para que os pontos = (, 5), = (, ) e = (, ) sejam alinhados é: a) 8 b) 6 c) d) 8 e) onsidere os pontos (, 5), (, ) e,. Verifique se o ponto é ou não colinear com e. 6. Verifique se os pontos abaio estão alinhados: a) P (, ), P (-, ), P (, 5). b) P (, ), P (, ), P (, ). c) P (, ), P (-, 5), P (, -). d) P (, ), P (-, -), P (, -5). e) P ( 8, ), P (-, ), P (5, 5). f) P (, ), P (-, ), P (, 5). 7. Dados os pontos (, ) e (5, 5). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com e ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. 8. Dados os pontos (, ) e (, ). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com e ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. 9. Dados os pontos (-, ) e (, ). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com e ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.. Dados os pontos (, ) e (, 8). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com e ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.. Dados os pontos (, ) e (, ). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com e ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.

8 . (Ufpr) figura abaio apresenta o gráfico da reta r: + = no plano cartesiano.. Determine a equação dos Lugares Geométricos indicados nas figuras abaio: a) P r b) s coordenadas cartesianas do ponto P, indicado nessa figura, são: a) (, 6). b) (, ). c) (8, ). d) (6, ). e) (, 8).. Encontre o Lugar Geométrico dos pontos Equidistantes dos pontos (,) e (,-).. Encontre o Lugar Geométrico dos pontos Equidistantes dos pontos (,) e (-,). 5. Qual o lugar geométrico dos pontos equidistantes unidades de comprimento da origem do plano cartesiano?. Determine a equação dos Lugares Geométricos indicados nas figuras abaio: a) 6. Qual o lugar geométrico dos pontos equidistantes unidades de comprimento da origem do plano cartesiano? 7. Qual o lugar geométrico dos pontos equidistantes unidades do ponto (,)? 8. Qual o lugar geométrico dos pontos equidistantes unidades do ponto (-,-)? 9. Durante uma missão espacial, um astronauta fez uma saída para o eterior da nave ficando ligado a esta por um cabo de metros. b) O seu objetivo era recuperar uma peça que estava justamente a metros. Qual o Lugar Geométrico dos pontos aonde pode estar seu objeto perdido e qual a definição deste Lugar Geométrico.

9 . Determine as equações dos lugares geométricos identificados nos planos cartesianos abaio: a). che as intersecções entre os pares de retas abaio: a) = e + 6 = ; b) + 5 = e o eio O; c) + 8 = e = ; d) 5 + = e o eio O; e) + = e + = ; f) + 6 = e + = ; g) 5 + = e + = ; 5. che as intersecções entre as retas abaio e os eios O e O: a) + = b) = c) = d) 6 = b) m: mediatriz do segmento 6. Mostre que as retas de equação + =, + = e + = concorrem no mesmo ponto Demonstre que =, + = 8 e ( + k) ( k) 8 = concorrem no mesmo ponto, para qualquer valor de k. 8. (Ita) Seja m R + * tal que a reta - - m = determina, na circunferência ( - ) + ( + ) = 5, uma corda de comprimento 6. O valor de m é a) +. (Ufrgs) onsidere os gráficos das funções f e g, definidas por f() = + e g() = 6, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos e, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaio. b) + c) 5 d) 6+ e) 9. (Ufmg) reta de equação = + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação = + +. O valor de a é a) - b) - c) d) e) 5. Determinar o ponto de intersecção entre as duas retas dadas: distância entre os pontos e é a) b) c) d) 5 e) 6 = 5 + = 5. s retas r, s e t são definidas respectivamente, por =, 6 = e + =. alcule a área da região limitada por essas retas. 5. s retas r e (s) de equações + 7 = e 5 = respectivamente passam pelo ponto P(a, b). alcule o valor de (a + b).

10 Gabarito.. a) a=/ b) a= c) a=-/ d) a=5/. D. a) = e = / b) = ou = e = c) = e =. 5. E 6. a), b), E D 5. + = a) M(, 5) b) M(, 6) c) M(, ) 55. =(8, ) 56. (5/, /) 57. M (,5) D (, ) = (-, -) (, ) = (, 7) (, ) = (, ) 6. D 6. D a) b) c) Perímetro = m = 9 m = m = D ( + ) + ( ) = 79. E 8. { R - 6 } 8. D a) b) Triângulo cutângulo 85. a= 86. = ( 6, ) =, = ( ) = 8 =, ( ) = Logo, = p = = D = E = DF = E = F =. Esse heágono é regular. 9. D 9. r = ou r = 9. a) = b) (; ) = (, ) /. 87/. E E a) b) = (8,). a) r=5 b) S=5. (r) 5 a) ( ) / b) /.. 5 coelhos Sim 9. E. =. = (, ). E. D. 5. E 6. a) sim b) não c) sim d) não e) não f) não 7. s = r 8. s = r + 9. s = r/ + /. r =. s = r =. 6 + = 5. ² + ² = 6. ² + ² = 7. ( )² + ( )² = 8. ( + )² + ( + )² = 9 9. ircunferência. a) = b) =. a) ² + ² = b) ² + ² = 9. a) ( )² + ( )² = b) m: =. E. 5. D

11 6. a) (, 7) b) (5/, ) c) (/7, 6/7) d) (, ) e) ( /, 7/) f) (, 8) g) (, /) 7. a) O (, ) O (, /) b) O (-7/, ) O (, 7/6) c) O (, ) O (, ) d) O (, ) O (, -) 8. S = {(, )} 9. S = {(, )} 5. S = {(, )} 5. = 5. a + b = 55 5

12 notações 6