O TEOREMA DE ARZELÁ ASCOLI. Osmar Rogério Reis Severiano¹, Fernando Pereira de Souza².

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1 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, O TEOREMA DE ARZELÁ ASCOLI Osmar Rogério Reis Severiano¹, Fernando Pereira de Souza² ¹Acadêmico do Curso de matemática CPTL/UFMS, bolsista do grupo PET Matemática CPTL ²Professor do Curso de Matemática CPTL/UFMS e colaborador do grupo PET Matemática E mail: osmar_rogerio@hotmailcom RESUMO Neste trabalho estudamos com detalhes o Teorema de Arzelá Ascoli, que é um resultado bem conhecido da Análise, porém, sua demonstração foi feita apenas no contexto da análise realpara demonstrarmos esse teorema fizemos apropriação de vários conceitos topológicos da reta, bem como da teoria de sequência de funções, como convergência uniforme e simples, acrescentamos ao trabalho o fato de que todo conjunto compacto possui um subconjunto denso enumerável, contudo na prova que apresentamos poderíamos ter apenas considerado os pontos racionais do intervalo fechado [a,b] dado no enunciado do teorema Finalizamos o trabalho enunciando e provando o Teorema de Arzelá Ascoli, cujo resultado fornece uma condição para que uma sequência de funções limitadas de domínio compacto admita uma subsequência convergente Palavras chave:equicontinuidade, Compacidade, Convergência Uniforme, Sequência de Funções, Análise INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA A Análise é uma área bastante estudada por suas aplicações em diversos ramos da ciência, e principalmente em várias áreas da Matemática, ela busca investigar e generalizar regras e criar teoremas Alguns de seus teoremas se destacam por sua importância em diversas áreas da matemática e áreas afins, assim procuramos apresentar um trabalho que fosse rico em consequências, principalmente no estudo de sequências de funções e na teoria de conjuntos compactos, dando enfoque para os espaços equicontínuos O Teorema de Arzelá Ascoli é muito importante para a análise, pois ele determina quais são as condições necessárias e suficientes para que um conjunto de funções de domínio compacto, atingindo valores reais seja compacto Historicamente foi Ascoli quem encontrou as condições suficientes para a compacidade e Arzelá quem estabeleceu as condições necessárias MATERIAIS E MÉTODOS Para chegarmos ao resultado desta pesquisa foram realizados, estudos dirigidos sob a orientação do professor, através de seminários expositivos e pesquisa bibliográfica documental, que proporcionaram uma série de discussões a respeito das hipóteses do Teorema de Arzelá

2 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Ascoli, bem como das proposições, corolários e lemas utilizados em sua demonstração No desenvolvimento desse trabalho ocorreu a apropriação de diversos conceitos ligados a análise Matemática e a topologia geral, como espaços métricos, funções contínuas, linguagem básica da topologia, sequência numéricas, sequência de funções, continuidade uniforme, espaços métricos completos e espaços métricos compactos; onde destacamos a caracterização dos espaços equicontínuospor fim apresentamos a prova do Teorema de Arzelá Ascoli, para um caso particular onde as funções possuem domínio compacto e contradomínio real, em sua demonstraçãousaremos o teorema de Bolzano Weierstress, juntamente o com o fato de que todo conjunto compacto possui um subconjunto enumerável denso RESULTADOS Antes de apresentarmos o teorema iremos formalizar alguns conceitos, e motivar o estudo dos espaços equicontínuos: Um subconjunto exemplo, citamos o conjunto : pode ser limitado e fechado sem ser compacto, como, que é limitado e fechado, no entanto não é compacto Apresentamos uma justificativa para este fato após a demonstração do teorema de Arzelá Ascoli Dizemos que um conjunto X é compacto se, e somente se, toda sequência de X admite uma subsequência convergente Dizemos que uma sequência de funções converge uniformemente para uma função, se dado, existe tal que se Dizemos que uma sequência de funções é de Cauchy, se dado existe, tal que se Dizemos que uma sequência de funções é uniformemente limitada se, para todo e todo, existe uma constante, tal que Uma sequência de funções é dita equicontínua, se Em seguida enunciamos um resultado da teoria dos conjuntos compactos, o qual afirma que todo conjunto compacto possui um subconjunto enumerável denso Este resultado

3 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, será necessário para a construção da subsequência de funções que construiremos, além do próprio fato de toda bola aberta em conter um elemento de Proposição: Todo conjunto compacto possui um subconjunto enumerável denso A demonstração dessa proposição pode ser encontrada em [ 2 ] página 224 Usaremos também um conhecido teorema da Análise Real conhecido como teorema de Bolzano Weierstress, o qual afirma que toda sequência numérica limitada possui uma subsequência convergente, e juntamente com a proposição anunciada demonstraremos o Lema: Toda sequência de funções uma subsequência uniformemente convergente, uniformemente limitada e equicontínua, tem Dem:Seja um subconjunto enumerável denso de Pelo fato de, para alguma constante, concluímos por Bolzano Weierstress que existe uma subsequência de tal que é convergente, de modo análogo obtemos uma subsequência de tal que convergem Prosseguindo o processo obtemos um conjunto enumerável de subsequências da sequência original: Onde a sequência na n ésima linha converge nos pontos A sequência é uma subsequência de que converge em todos os pontos de X Por outro lado, segue da equicontinuidade que dado existe, tal que Agora pela densidade de X, temos que dados e, existe, tal que, ou seja, Logo, dado, existe tal que Note também que é convergente então existe, tal que sempre que Assim, usando a equicontinuidade e o fato acima temos:

4 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Logo a subsequência é de Cauchy e, portanto converge uniformemente Teorema de Arzelá Ascoli: Seja é compacto se, e só se, é fechado, limitado e equicontínuo Dem: Seja compacto, e,então mas pela compacidade de, existem, j tais que, Ou seja, Pelo fato de ser uniformemente contínua, existe tal que Seja, então Assim, Portanto é equicontínuo Reciprocamente, seja uma sequência em limitado, fechado e equicontínuo, então é uniformemente limitada e equicontínua, e pelo lema anterior admite uma subsequência convergente Citamos que o conjunto, não é compacto, de fato se W fosse compacto ele seria limitado, fechado e equicontínuo, no entanto se este conjunto fosse equicontínuo, para cada dado, existe tal que sempre que, Então tomando, e assumindo a existência de, satisfazendo a condição de equicontinuidade Definimos,, e nestas condições Seja em dada por, então segue da equicontinuidade que

5 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Como e pela continuidade do módulo, obtemos o seguinte resultado: Esse absurdo prova o fato de W não ser compacto DISCUSSÕES O teorema de Arzelá Ascoli caracteriza os conjuntos compactos de funções contínuas Essa caracterização é importante na demonstração da existência de soluções de equações diferenciais e de equações integrais, bem como em muitos problemas na Análise Matemática Tratamos o caso particular onde as funções possuem domínio compacto na reta e contradomínio real, mas de modo geral o teorema de Arzelá Ascoli pode ser estendido para funções continuas de domínio compacto CONCLUSÕES Neste trabalho fizemos uma breve discussão sobre convergência de sequências de funções e conjuntos equicontínuos, apresentamos uma condição adicional para que um conjunto limitado, (onde K é um compacto, e denota o conjunto das funções continuas de em tenha fecho compacto, uma vez que podemos ter limitado e fechado sem ser compacto, em nossos estudos enfocamos o caso particular onde são subconjuntos da reta REFERÊNCIAS: HONIG,C S, Aplicações da topologia à análise, IMPA, Rio de Janeiro,1976 LIMA, ELON LAGES, Espaços Métricos, IMPA, 4ªed Rio de Janeiro, IMPA, 2009 W Rudin, Functional Analysis, McGraw Hill, Springer Verlag, New York, 1973