TURMA:12.ºA/12.ºB. O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz)

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1 GUIA DE ESTUDO NÚMEROS COMPLEXOS TURMA:12.ºA/12.ºB 2017/2018 (ABRIL/MAIO) Números Complexos O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz) A famosa igualdade de Euler i e 10 A raiz quadrada de números negativos não surgiu, historicamente, associada à resolução de equações do segundo grau. A equação x 2 + 1=0, a que hoje atribuímos as soluções i e i, seria considerada impossível por qualquer matemático anterior ao século XVI. No entanto, certos problemas deram origem a expressões que, contendo raízes quadradas de números negativos, admitiam soluções normais. É na resolução da equação do 3.º grau, que Girolamo Cardano ( ) expõe no seu livro Ars Magna, que surgem raízes de números negativos em expressões que, quando abordadas com as regras operatórias vulgares, dão origem a números insuspeitos. Por exemplo, a equação considerada por Bombelli ( ), x 3 = 15x + 4, tem solução, dada pelo método de Cardano. As três soluções desta equação são números reais. 1. Introdução aos números complexos O conjunto dos números complexos (C) deve satisfazer as seguintes condições:. C contém um elemento i que satisfaz i i = i 2 = 1. O conjunto C contém IR e as operações da adição e multiplicação em C, são extensões da adição e da multiplicação de números reais, mantendo os mesmos elementos neutros, as propriedades comutativa e associativa, bem como a distributividade da multiplicação relativamente à adição.. Todo o elemento de C é da forma a + bi, com a, b IR Dois elementos de C da forma a + bi e c + di, com a, b, c, d IR, operam-se da seguinte forma:. a + bi = c +di a = c b = d. (a + bi)+ (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Página 1 de 13

2 2. O Corpo dos números complexos A cada número complexo x + yi corresponde um e um só par ordenado (x, y), com x, y IR. Inversamente, a cada par ordenado (x, y), com x, y IR corresponde um e um só número complexo x + yi. O conjunto IR 2 munido das operações adição «+» e multiplicação «x» definidas por: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) x (c, d) = (ac bd, ad + bc), com (a, b), (c, d) IR 2 Chama-se por corpo dos números complexos e representa-se por C. 2.1 Propriedades da adição e da multiplicação em C Adição Comutativa Associativa Elemento neutro (0,0) Multiplicação Comutativa Associativa Elemento neutro (1,0) Distributiva da multiplicação relativamente à adição 2.2. IR como subconjunto de C Se a cada a IR fizermos corresponder o par (a, 0) C podemos verificar que esta correspondência preserva as operações de adição e multiplicação. Assim, podemos afirmar que:. IR C. Cada elemento (x, 0) C é identificado com o número real x Unidade imaginária O número complexo (0, 1) representa-se por i e designa-se por unidade imaginária. Assim, (0, 1) = i sendo i 2 = Forma algébrica de um número complexo Dado um número complexo z, existe um único número real a e um único número real b tal que z = a + bi Assim, a + bi é a FORMA ALGÉBRICA do número complexo z. Página 2 de 13

3 Igualdade de números complexos na forma algébrica a + bi = c +di a = c b = d Seja o número complexo z = a + bi (a, b IR) diz-se que:. a é a parte real de z, simbolicamente Re(z) = a. b é a parte imaginária de z, simbolicamente Im(z) = b. z é um número real se e só se Im(z) = 0. z é um imaginário puro se e só se Re(z) = 0 e Im(z) 0 Operações na forma algébrica Adição (2 + i) + (3 4i) = 5 3i Subtração (2 + i) (3 4i) = i Multiplicação (2 + i) (3 4i) = 23-24i + 3i - i4i = 6 8i + 3i 4i 2 = 6 5i + 4 = 10 5i Potenciação de base i e expoente pertencente a IN 0 i 0 = 1 ; i 1 = i ; i 2 = -1; i 3 = -i ; ( ) i n = i r n 4 r q Potenciação (1 + 2i) 3 = (1 + 2i)(1 + 2i)(1 + 2i) = (1 + 2i + 2i + 4i 2 )(1 + 2i) = (-3 + 4i)(1+2i) = (-3 6i + 4i + 8i 2 ) = -11 2i Nota: Mais à frente falaremos da divisão e radiciação. Exercícios Manual Máximo, página 13 (1), página 14 (2) e página 15 (3 e 4) Página 3 de 13

4 2.5. Representação geométrica de números complexos Para representar um número complexo, utilizamos o plano Oxy, onde no eixo dos xx representa-se a parte real e no eixo dos yy representa-se a parte imaginária. Este novo referencial, chama-se Plano de Argand ou Plano Complexo. A um certo número complexo z = a + bi podemos associar um ponto A (a, b). Este ponto chama-se afixo. O vetor OA= (a, b) é a imagem vetorial do número complexo z ou afixo vetorial de z. Exercício, Manual Máximo, página 16 (5) Imagem geométrica da soma de números complexos Propriedade Sendo z = x + yi e z 0 = a + bi, x, y, a, b IR, o afixo de z + z 0 é a imagem do ponto M, afixo de z, pela translação de vetor u (a, b) Exercício, Manual Máximo, página 17 (6) Simétrico de um número complexo. O simétrico do número complexo z = a + bi é o número complexo z= -a bi. O afixo do número complexo z é a imagem do afixo do número complexo z pela reflexão central de centro O, sendo O a origem do Plano Complexo. Página 4 de 13

5 2.6. Conjugado de um número complexo Conjugado de um número complexo. Dado um número complexo z = a + bi designa-se por conjugado de z o número complexo z = a bi. O afixo de z é a imagem do afixo de z pela reflexão de eixo real. Propriedades dos números complexos conjugados 1. z + w = z + w 2. z w = z w 3. z = z 4. Dado um número complexo z, tem-se que: 4.1. Re(z) = z+z Im(z) = z z 2i 5. Dado um número complexo z, tem-se que: 5.1. z é um número real se e somente se z = z 5.2. Se z 0, z é um número imaginário puro se e somente se z = - z Exercícios, Manual Máximo, página 20 (7 e 8) 2.7. Módulo de um número complexo Módulo de um número complexo Dado um número complexo z = a + bi, designa-se por módulo de z a medida da distância, no plano complexo, entre a origem e o afixo de z. Representa-se por z e é dado por: z = a 2 + b 2 Nota: O módulo de um número complexo estende a C a noção de módulo de um número real e o módulo do complexo nulo é zero. Exercício, Manual Máximo, página 21 (9) Módulo da diferença de dois números complexos O módulo da diferença de dois números complexos é igual à distância entre os seus afixos. Dados dois números complexos z 1 e z 2, de afixos A e B, respetivamente: AB = z 2 z 1 Exercício, Manual Máximo, página 22 (10) Página 5 de 13

6 Propriedades do módulo Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di 1. z = z 2. z 2 = z z 3. zw = z w 4. z + w z + w Exercício, Manual Máximo, página 23 (11) 2.8. Divisão de números complexos Inverso de um número complexo Dado um número complexo z não nulo, chama-se inverso de z ao número z tal que z z = 1 O inverso de um número complexo representa-se por 1 z É dado por: 1 z = 1 z 2 z Quociente de dois números complexos Dados números complexos z e w, com z 0, define-se quociente de w por z como sendo o número complexo pelo qual se tem de multiplicar z para obter w e representa-se por w z. Para dividir dois números complexos, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado de denominador: Divisão w z = w z z z = w z z i (2 i)(3 4 i) 6 8i 3i 4i 2 11i i (3 4 i)(3 4 i) 9 16i i Exercício, Manual Máximo, página 25 (12) Mais propriedades de módulos e conjugados 1. w z = w z 2. ( w ) w z = z Exercícios Manual Máximo, página 26 (13 e 14), página 27 (15), página 28 (16) Página 6 de 13

7 3. Forma trigonométrica de um número complexo 3.1. Números complexos unitários. Um número complexo z diz-se UNITÁRIO se z = 1. Um número complexo z é unitário se e somente se existir um número real θ tal que: z = cos θ + isin θ Exercício, Manual Máximo, página 29 (17) 3.2. Argumento de um número complexo Seja A o afixo de um número complexo z Qualquer uma das amplitudes do ângulo formado pelo semieixo real positivo e pela semirreta O A designa-se por argumento de z. Se θ é um argumento de z, então qualquer θ + 2kπ, k Z também é argumento de z. Ao representante dos argumentos de z que pertence ao intervalo ] π, π] chama-se ARGUMENTO PRINCIPAL de z e representa-se por Arg(z). Exercícios, Manual Máximo, página 30 (18 e 19) 3.3. Multiplicação e divisão de números complexos unitários Propriedades Sendo z 1 e z 2 números complexos unitários, z 1 = cosα + isinα e z 2 = cosβ + isinβ, então: 1. z 1 z 2 = cos(α + β) + isin(α + β) 2. z 1 z 2 = cos(α β) + isin(α β) 3.4. Exponencial complexa de i θ Se z é um número complexo unitário, z = cos θ + isin θ, z representa-se por z = e iθ, expressão que se designa por exponencial complexa de i θ, isto é: e iθ = cosθ + isinθ Página 7 de 13

8 3.5. Representação trigonométrica de um número complexo A representação de um número complexo z 0 na forma: z = z e iθ onde θ é um argumento de z, designa-se por forma trigonométrica ou forma polar de z. Cálculo do módulo = a b 2 2 Cálculo do argumento z = a + bi 1.º Identificar o quadrante a > 0 e b > 0, 1.º Q ; a < 0 e b > 0, 2.º Q; a < 0 e b < 0, 3.º Q; a > 0 e b < 0, 4.º Q 2.º b tg? a 1.ºQ tg ºQ 3.ºQ 4.ºQ Argumentos especiais: 1. Se z é um número complexo real positivo, então Argz = 0 + 2kπ, k Z. 2. Se z é um número complexo real negativo, então Argz = π + 2kπ, k Z 3. Se z é um número imaginário puro positivo, então Argz = π + 2kπ, k Z 2 4. Se z é um número imaginário puro negativo, então Argz = π + 2kπ, k Z 2 Exercícios, Manual Máximo, página 33 (20), página 34 (21) e página 35 (22) Página 8 de 13

9 Igualdade de números complexos na forma trigonométrica Dois números complexos são iguais se têm mesmo módulo e se os argumentos diferem de 2kπ, k Z z 1 = z 2 z 1 e iθ 1 = z 2 e iθ 2 z 1 = z 2 θ 1 = θ 2 + 2kπ, k Z Exercício, Manual Máximo, página 36 (23 e 24) Conjugado e simétrico na forma trigonométrica Exercícios, Manual Máximo, página 37 (25, 26 e 27) 3.6. Operações na forma trigonométrica Fórmula de De Moivre Operações na forma trigonométrica Página 9 de 13

10 Exercícios, Manual Máximo, página 38 (28), página 39 (29, 30 e 31), página 40 (32, 33 e 34), página 41 (35 e 36) 3.7. Raízes n-ésimas de números complexos Exercícios, Manual Máximo, página 43 (38, 39 e 40) Representação geométrica de n raízes de índice n de um número complexo As imagens geométricas das n raízes índice n de um número complexo w são vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio n w com centro na origem do referencial. n. As raízes têm todas o mesmo módulo: w. Os argumentos das raízes são dados por: α n + 2π n k, k = 0, 1,, n 1, isto é, os argumentos das n raízes estão em progressão aritmética de razão 2π n Exercícios, Manual Máximo, página 44 (41 e 42), página 45 (43 e 44) Página 10 de 13

11 Resolução de equações em C Exercícios, Manual Máximo, página 46 (45 e 46), página 47 (47), página 48 (48, 49 e 50), página 49 (51, 52 e 53) e página 50 (54, 55 e 56) 3.8. Interpretação geométrica da multiplicação de números complexos Afixo de um complexo como imagem numa rotação Exercício, Manual Máximo, página 51 (57) Afixo de um complexo como imagem numa rotação composta com uma homotetia Exercícios, Manual Máximo, página 52 (58), página 53 (59) Página 11 de 13

12 4. Domínios planos e condições em variável complexa Começamos por recordar o módulo da diferença de dois números complexos como sendo a distância entre os respetivos afixos isto é: Dados dois números complexos z 1 e z 2, de afixos A e B, respetivamente: AB = z 2 z 1 Considera z = x + yi o número complexo genérico. Exercícios, Manual Máximo, página 54 (60 e 61) Exercícios, Manual Máximo, página 55 (62 e 63) Página 12 de 13

13 Exercício, Manual Máximo, página 56 (64) Exercícios, Manual Máximo, página 57 (65, 66 e 67) Nota: Para reforço dos assuntos lecionados poderás realizar os exercícios das páginas 64, 65, 66 e 67 (Avaliação e Avaliação Global). FIM Página 13 de 13